Характеристические функции

Найдите две зависимые случайные величины $X$ и $Y$ такие, что $\phi_{X+Y}(t) = \phi_{X}(t) \phi_{Y}(t)$ для всех $t$.

Если $\phi$ — характеристическая функция, покажите, что $\operatorname {Re}\left\{ 1-\phi (t)\right\} \geq \frac{1}{4} \operatorname {Re}\left\{ 1-\phi (2 t)\right\}$, и выведите, что $1-\left|\phi (2 t)\right| \leq 8\left\{ 1-\left|\phi (t)\right|\right\}$.

Кумулянтная производящая функция $K_{X}(\theta )$ случайной величины $X$ определяется как $K_{X}(\theta ) = \log \mathbb {E}\left[e^{\theta X}\right]$ — логарифм производящей функции моментов $X$. Если последняя конечна в окрестности начала координат, то $K_{X}$ имеет сходящееся разложение Тейлора:

и $k_{n}(X)$ называется $n$-м кумулянтом (или семиинвариантом) $X$.

Пусть $X$ имеет распределение $N(0,1)$, и покажите, что кумулянты $X$ равны $k_{2}(X) = 1, k_{m}(X) = 0$ при $m \neq 2$.

Говорят, что случайная величина $X$ имеет решётчатое распределение, если существуют такие $a$ и $b$, что $X$ принимает значения в множестве $L(a, b) = \left\{ a+b m: m = 0, \pm 1, \ldots \right\}$. Шагом такой величины $X$ называется максимальное значение $b$, для которого существует $a$ такое, что $X$ принимает значения в $L(a, b)$.

Пусть $X$ — случайная величина с плотностью $f$. Покажите, что $\left|\phi_{X}(t)\right| \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \pm \infty$.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — независимые величины, причём $X_{i}$ имеет распределение $N\left(\mu_{i}, 1\right)$, и пусть $Y = X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}$. Покажите, что характеристическая функция $Y$ равна

где $\theta = \mu_{1}^{2}+\mu_{2}^{2}+\cdots +\mu_{n}^{2}$. Говорят, что случайная величина $Y$ имеет нецентральное хи-квадрат распределение с $n$ степенями свободы и параметром нецентральности $\theta$, обозначаемое $\chi^{2}(n ; \theta )$.

Пусть $X$ имеет распределение $N(\mu , 1)$, а $Y$ — распределение $\chi^{2}(n)$, и предположим, что $X$ и $Y$ независимы. Говорят, что случайная величина $T = X / \sqrt{Y / n}$ имеет нецентральное $t$-распределение с $n$ степенями свободы и параметром нецентральности $\mu$. Если $U$ и $V$ независимы, причём $U$ имеет распределение $\chi^{2}(m ; \theta )$, а $V$ — распределение $\chi^{2}(n)$, то говорят, что $F = (U / m) /(V / n)$ имеет нецентральное $F$-распределение с $m$ и $n$ степенями свободы и параметром нецентральности $\theta$, обозначаемое $F(m, n ; \theta )$.

Пусть $X$ — случайная величина с плотностью $f$ и характеристической функцией $\phi$. Покажите, при подходящем условии на $f$, что

Если $X$ и $Y$ — непрерывные случайные величины, покажите, что

Пусть $X$ и $Y$ независимы с распределениями $N\left(\mu , \sigma^{2}\right)$ и $N\left(0, \sigma^{2}\right)$, где $\sigma^{2} > 0$. Покажите, что $R = \sqrt{X^{2}+Y^{2}}$ имеет плотность

Этот интеграл можно выразить через модифицированную функцию Бесселя.

Для каждой из следующих совместных функций плотности пары $(X, Y)$ найдите совместную производящую функцию моментов $M(s, t) = \mathbb {E}\left[e^{s X+t Y}\right]$ и, используя её, найдите $\operatorname {Cov}\left[X, Y\right]$.