Банк задач по математике

Задача 5.6.1

(a)(b)

?

(a)

Неравенство Йенсена. Функция $u: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ называется выпуклой, если для $a \in \mathbb {R}$ существует $\lambda = \lambda$ (a) такое, что $u(x) \geq u(a)+\lambda (x-a)$ для всех $x$ . Нарисуйте диаграмму, иллюстрирующую это определение. Выпуклая функция $u$ называется строго выпуклой, если $\lambda (a)$ строго возрастает по $a$ .

(i) Покажите, что если $u$ выпукла, а $X$ — случайная величина с конечным средним, то $\mathbb {E}\left[u(X\right]) \geq u(\mathbb {E}\left[X\right])$ .

(ii) Покажите далее, что если $u$ строго выпукла и $\mathbb {E}\left[u(X\right]) = u(\mathbb {E}\left[X\right])$ , то $X$ п.н. постоянна.

(b)

Энтропия плотности вероятности $f$ определяется как $H(f) = -\int_{\mathbb {R}} f(x) \log f(x) d x$ , а носителем $f$ называется $S(f) = \left\{ x \in \mathbb {R}: f(x) > 0\right\}$ . Покажите, что среди функций плотности с носителем $\mathbb {R}$ и конечным средним $\mu$ и дисперсией $\sigma^{2} > 0$ максимальной энтропией обладает нормальная плотность $N\left(\mu , \sigma^{2}\right)$ , и никакая другая.

Задача 5.6.2

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — случайные величины, удовлетворяющие $\mathbb {E}\left[\sum_{i = 1}^{\infty }\left|X_{i}\right|\right] < \infty$ . Покажите, что

\mathbb {E}\left[\sum _{i = 1}^{\infty } X_{i}\right] = \sum _{i = 1}^{\infty } \mathbb {E}\left[X_{i}\right]

?

Задача 5.6.3

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}$ — последовательность случайных величин, удовлетворяющая $X_{n} \leq Y$ п.н. для некоторого $Y$ с $\mathbb {E}\left[\left|Y\right|\right] < \infty$ . Покажите, что

\mathbb {E}\left[\limsup _{n \rightarrow \infty } X_{n}\right] \geq \limsup _{n \rightarrow \infty } \mathbb {E}\left[X_{n}\right]

?

Задача 5.6.4

Предположим, что $\mathbb {E}\left[\left|X^{r}\right|\right] < \infty$ , где $r > 0$ . Выведите, что $x^{r} \mathbb {P}\left(\left|X\right| \geq x\right) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \infty$ . Обратно, предположим, что $x^{r} \mathbb {P}\left(\left|X\right| \geq x\right) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \infty$ , где $r \geq 0$ , и покажите, что $\mathbb {E}\left[\left|X^{s}\right|\right] < \infty$ при $0 \leq s < r$ .

?

Задача 5.6.5

Покажите, что $\mathbb {E}\left[\left|X\right|\right] < \infty$ тогда и только тогда, когда выполняется следующее: для всех $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что $\mathbb {E}\left[\left|X\right| I_{A}\right] < \epsilon$ для всех $A$ , таких что $\mathbb {P}\left(A\right) < \delta$ .

?

Задача 5.6.6

Пусть $M = \max \left\{ X, Y\right\}$ , где $X, Y$ имеют некоторое совместное распределение. Покажите, что $\operatorname {Var}\left[M\right] \leq \operatorname {Var}\left[X\right]+ \operatorname {Var}\left[Y\right]$ .

?

Задача 5.6.7

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ — события, и пусть $S$ — число тех из них, которые происходят. Покажите, что

\mathbb {P}\left(S > 0\right) \geq \sum _{r = 1}^{n} \frac{\mathbb {P}\left(I_{r} = 1\right)}{\mathbb {E}\left[S \mid I_{r} = 1\right]}

где $I_{r}$ — индикаторная функция события $A_{r}$ .

?

Ожидание ещё раз