Некоторые приложения

Пусть $X$ — число событий из последовательности $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$, которые происходят. Пусть $S_{m} = \mathbb {E}\left[\binom {X}{m}\right]$ — среднее значение случайного биномиального коэффициента $\binom {X}{m}$, и покажите, что

Каждый человек в группе из $n$ человек выбирает другого наугад. Найдите вероятность:

Пусть $X$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n$ и $p$, и покажите, что

Найдите предел этого выражения при $n \rightarrow \infty$ и $p \rightarrow 0$, где предел берётся так, что $n p \rightarrow \lambda$, где $0 < \lambda < \infty$. Прокомментируйте.

Монету подбрасывают многократно, и орёл выпадает с вероятностью $p$ при каждом подбрасывании. Пусть $h_{n}$ — вероятность чётного числа орлов в первых $n$ подбрасываниях, причём по соглашению 0 считается чётным числом. Найдите разностное уравнение для $h_{n}$ и выведите, что их производящая функция равна $\frac{1}{2}\left\{ (1+2 p s-s)^{-1}+(1-s)^{-1}\right\}$.

Несимметричную монету подбрасывают многократно, причём $\mathbb {P}\left(\mathrm{H}\right) = p = 1-q$. Пусть $X$ — число подбрасываний до первого появления ОРО (HTH), а $Y$ — число подбрасываний до первого появления ОРО или РОР (THT). Покажите, что $\mathbb {E}\left[s^{X}\right] = \left(p^{2} q s^{3}\right) /\left(1-s+p q s^{2}-p q^{2} s^{3}\right)$, и найдите $\mathbb {E}\left[s^{Y}\right]$.

Стопка (уже изрядно потрёпанных) писем снова роняется и раскладывается по конвертам наугад, давая $X_{n}$ совпадений. Покажите, что $\mathbb {P}\left(X_{n} = j\right) = (j+1) \mathbb {P}\left(X_{n+1} = j+1\right)$. Выведите, что производные $G_{n}(s) = \mathbb {E}\left[s^{X_{n}}\right]$ удовлетворяют равенству $G_{n+1}^{\prime } = G_{n}$, и тем самым выведите заключение примера (3.4.3), а именно:

Пусть $X$ имеет распределение Пуассона с параметром $\Lambda$, где $\Lambda$ имеет показательное распределение с параметром $\mu$. Покажите, что $X$ имеет геометрическое распределение.

Напомним из упражнения (3.3.2), что каждая пачка переоценённого товара содержит бесполезную пластиковую фигурку. Существует четыре типа фигурок, и каждая пачка с равной вероятностью содержит любую из четырёх. Пусть $T$ — число пачек, которые вы вскрываете, прежде чем впервые соберёте полный набор. Найдите $\mathbb {E}\left[s^{T}\right]$ и $\mathbb {P}\left(T = k\right)$.

Библиотека разрешает читателю держать на руках не более $m$ книг одновременно. Перед посещением у вас на руках $B$ книг, имеющих биномиальное распределение $\operatorname {bin}(m, p)$. При каждом посещении удерживаемая книга остаётся у вас с вероятностью $r$ и возвращается в противном случае; при заданном числе $R$ оставленных книг вы берёте ещё $N$ книг с распределением $\operatorname {bin}(m-R, \alpha )$. Считая обычную независимость, найдите распределение числа $A = R+N$ книг, находящихся на руках после посещения. Покажите, что после большого числа посещений число книг на руках имеет приближённо распределение $\operatorname {bin}(m, s)$, где $s = \alpha /[1-r(1-\alpha )]$. Можете считать, что $0 < \alpha , p, r < 1$.

Совпадения ещё раз, продолжение упражнения (5.2.7). Каждый конверт адресован верно с вероятностью $t$ и неверно в противном случае (считайте обычную независимость). Условлено, что неверно адресованный конверт не может считаться совпадением, даже если он содержит правильное письмо. Покажите, что число $Y_{n}$ верно адресованных совпадений удовлетворяет равенству

Обратите внимание на предельное распределение Пуассона.

Случайная величина называется простой, если она может принимать лишь конечное число значений. Покажите, что простую случайную величину $X$ можно смоделировать с помощью конечной последовательности бернуллиевских случайных величин, в том смысле, что существуют независимые бернуллиевские случайные величины $\left\{ B_{j}: j = 1,2, \ldots , m\right\}$ с соответствующими параметрами $b_{j}$ и вещественные числа $\left\{ r_{j}\right\}$, такие что $Y = \sum_{j} r_{j} B_{j}$ имеет то же распределение, что и $X$.