Задачи

Игральную кость бросают десять раз. Какова вероятность того, что сумма очков равна 27?

Монету подбрасывают многократно, и орёл выпадает с вероятностью $p$ при каждом подбрасывании.

Монету подбрасывают многократно, и орёл выпадает с вероятностью $p$ при каждом подбрасывании. Найдите производящую функцию вероятностей числа $T$ подбрасываний до того, как серия из $n$ орлов появится впервые.

Найдите производящую функцию отрицательной биномиальной функции вероятности

где $0 < p < 1$ и $r$ — положительное целое число. Выведите среднее значение и дисперсию.

Для простого случайного блуждания покажите, что вероятность $p_{0}(2 n)$ того, что частица возвращается в начало координат на $(2 n)$-м шаге, удовлетворяет $p_{0}(2 n) \sim (4 p q)^{n} / \sqrt{\pi n}$, и, используя это, докажите, что блуждание возвратное тогда и только тогда, когда $p = \frac{1}{2}$. Вам понадобится формула Стирлинга: $n!\sim n^{n+\frac{1}{2}} e^{-n} \sqrt{2 \pi }$.

Симметричное случайное блуждание в двух измерениях определяется как последовательность точек $\left\{ \left(X_{n}, Y_{n}\right) : n \geq 0\right\}$, которая эволюционирует следующим образом: если $\left(X_{n}, Y_{n}\right) = (x, y)$, то $\left(X_{n+1}, Y_{n+1}\right)$ — одна из четырёх точек $(x \pm 1, y),(x, y \pm 1)$, каждая из которых выбирается с равной вероятностью $\frac{1}{4}$. Если $\left(X_{0}, Y_{0}\right) = (0,0)$:

Рассмотрим одномерное случайное блуждание $\left\{ S_{n}\right\}$, заданное как

где $0 < p < 1$.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые величины, принимающие значения в положительных целых числах, такие что

для некоторого $p$ и всех $0 \leq k \leq n$. Покажите, что $X$ и $Y$ имеют распределения Пуассона.

В ветвящемся процессе, размеры семей которого имеют среднее $\mu$ и дисперсию $\sigma^{2}$, найдите дисперсию $Z_{n}$ — размера $n$-го поколения, при условии, что $Z_{0} = 1$.

Группа $\left\{ A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{r}\right\}$ из $r( > 2)$ человек играет в следующую игру. $A_{1}$ и $A_{2}$ делают ставку на подбрасывание симметричной монеты. Проигравший кладёт $£ 1$ в банк, победитель продолжает играть с $A_{3}$. В следующей ставке проигравший кладёт $£ 1$ в банк, победитель продолжает играть с $A_{4}$, и так далее. Победитель $(r-1)$-й ставки продолжает играть с $A_{1}$, и цикл начинается заново. Банк забирает первый, кто по очереди обыграет всех остальных.

Ветвящийся процесс имеет единственного родоначальника.

Покажите, что число $Z_{n}$ особей в $n$-м поколении ветвящегося процесса удовлетворяет $\mathbb {P}\left(Z_{n} > N \mid Z_{m} = 0\right) \leq G_{m}(0)^{N}$ при $n < m$.

Распределение случайной величины $X$ называется бесконечно делимым, если для всех положительных целых $n$ существует последовательность $Y_{1}^{(n)}, Y_{2}^{(n)}, \ldots , Y_{n}^{(n)}$ независимых одинаково распределённых случайных величин таких, что $X$ и $Y_{1}^{(n)}+Y_{2}^{(n)}+\cdots +Y_{n}^{(n)}$ имеют одинаковое распределение.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые величины, каждая из которых принимает значения 0 или 1 с вероятностями $1-p$ и $p$, где $0 < p < 1$. Пусть $N$ — случайная величина, принимающая значения в положительных целых числах, не зависящая от $X_{i}$, и запишем $S = X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N}$. Запишите условную производящую функцию $N$ при условии $S = N$ через производящую функцию вероятностей $G$ величины $N$. Покажите, что $N$ имеет распределение Пуассона тогда и только тогда, когда $\mathbb {E}\left[x^{N}\right]^{p} = \mathbb {E}\left[x^{N} \mid S = N\right]$ для всех $p$ и $x$.

Если $X$ и $Y$ имеют совместную производящую функцию вероятностей

найдите маргинальные функции вероятности $X$ и $Y$, а также функцию вероятности $X+Y$. Найдите также условную производящую функцию вероятностей $G_{X \mid Y}(s \mid y) = \mathbb {E}\left[s^{X} \mid Y = y\right]$ величины $X$ при условии $Y = y$. Говорят, что пара $X, Y$ имеет двумерное отрицательное биномиальное распределение.

Если $X$ и $Y$ имеют совместную производящую функцию вероятностей

найдите маргинальные распределения $X, Y$ и распределение $X+Y$, показав, что $X$ и $Y$ имеют распределение Пуассона, а $X+Y$ — нет, если только $\gamma = 0$.

Определим

при $a, b > 0$. Покажите, что

Пусть $X, Y, Z$ — независимые случайные величины $N(0,1)$. Используя характеристические функции и производящие функции моментов (преобразования Лапласа), найдите распределения

Пусть $X$ имеет плотность $f$ и характеристическую функцию $\phi$, и предположим, что $\int_{-\infty }^{\infty }\left|\phi (t)\right| d t < \infty$. Выведите, что

Рассмотрим ветвящийся процесс, размеры семей в котором имеют геометрическую функцию вероятностей $f(k) = q p^{k}, k \geq 0$, где $\mu = p / q > 1$. Пусть $Z_{n}$ — размер $n$-го поколения, и предположим, что $Z_{0} = 1$. Покажите, что условное распределение $Z_{n} / \mu^{n}$ при условии $Z_{n} > 0$ сходится при $n \rightarrow \infty$ к показательному распределению с параметром $1-\mu^{-1}$.

Случайная величина $X$ называется симметричной, если $X$ и $-X$ одинаково распределены. Покажите, что $X$ симметрична тогда и только тогда, когда мнимая часть её характеристической функции тождественно равна нулю.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые одинаково распределённые величины с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Пусть $\phi (t)$ — их общая характеристическая функция.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, каждая из которых имеет плотность Коши $f(x) = \left\{ \pi \left(1+x^{2}\right)\right\}^{-1}$, и пусть $Z = \frac{1}{2}(X+Y)$.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — независимые величины с характеристическими функциями $\phi_{1}, \phi_{2}, \ldots , \phi_{n}$. Опишите случайные величины, обладающие следующими характеристическими функциями:

Какие из следующих функций являются характеристическими:

Покажите, что характеристическая функция $\phi$ случайной величины $X$ удовлетворяет неравенству $\left|1-\phi (t)\right| \leq \mathbb {E}\left[\left|t X\right|\right]$.

Предположим, что $X$ и $Y$ имеют совместную характеристическую функцию $\phi (s, t)$. Покажите, что при выполнении соответствующих условий дифференцируемости

для любых натуральных $m$ и $n$.

Если $X$ имеет функцию распределения $F$ и характеристическую функцию $\phi$, покажите, что при $t > 0$

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые величины, равномерно распределённые на [0,1]. Пусть $M_{n} = \max \left\{ X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}\right\}$; покажите, что $n\left(1-M_{n}\right) \xrightarrow {\mathrm{D}} X$, где $X$ имеет показательное распределение с параметром 1. Характеристические функции использовать не обязательно.

Если $X$ является

Вспомните, что вы регулярно покупаете некоторый невыразимо скучный товар. Чтобы привлечь ваше внимание, производители кладут в каждую упаковку небольшой предмет, который также скучен и вдобавок бесполезен, но существует $n$ различных его видов. Как обычно, предположим, что каждая упаковка с равной вероятностью содержит любой из этих видов. Пусть $T_{n}$ — число упаковок, купленных до того, как вы соберёте полный набор из $n$ предметов. Покажите, что $n^{-1}\left(T_{n}-n \log n\right) \xrightarrow {\mathrm{D}} T$, где $T$ — случайная величина с функцией распределения $\mathbb {P}\left(T \leq x\right) = \exp \left(-e^{-x}\right),-\infty < x < \infty$.

Найдите последовательность $\left(\phi_{n}\right)$ характеристических функций, обладающую тем свойством, что предел $\phi (t) = \lim_{n \rightarrow \infty } \phi_{n}(t)$ существует при всех $t$, но сама функция $\phi$ не является характеристической.

Несимметричная монета подбрасывается $N$ раз, где $N$ — случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром $\lambda$.

Бинарное дерево — это дерево (как в разделе о ветвящихся процессах), в котором каждый узел имеет ровно двух потомков. Предположим, что каждый узел дерева независимо от всех остальных узлов окрашивается в чёрный цвет с вероятностью $p$ и в белый — в противном случае. Для произвольного пути $\pi$, содержащего $n$ узлов и начинающегося в корне дерева, пусть $B(\pi )$ — число чёрных узлов в $\pi$, а $X_{n}(k)$ — число таких путей $\pi$, для которых $B(\pi ) \geq k$. Покажите, что существует $\beta_{c}$ такое, что

и покажите, как определить значение $\beta_{c}$. Докажите, что

Используя теорему о непрерывности (5.9.5), покажите, что при $n \rightarrow \infty$,

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины с нулевыми средними, такие что $\mathbb {E}\left[\left|X_{j}^{3}\right|\right] < \infty$ для всех $j$. Покажите, что $S_{n} = X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$ удовлетворяет условию $S_{n} / \sqrt{\operatorname {Var}\left[S_{n}\right]} \xrightarrow {\mathrm{D}} N(0,1)$ при $n \rightarrow \infty$, если

Могут оказаться полезными следующие шаги. Пусть $\sigma_{j}^{2} = \operatorname {Var}\left[X_{j}\right], \sigma (n)^{2} = \operatorname {Var}\left[S_{n}\right], \rho_{j} = \mathbb {E}\left[\left|X_{j}^{3}\right|\right]$, а $\phi_{j}$ и $\psi_{n}$ — характеристические функции $X_{j}$ и $S_{n} / \sigma (n)$ соответственно. (i) Используя теорему Тейлора, покажите, что $\left|\phi_{j}(t)-1\right| \leq 2 t^{2} \sigma_{j}^{2}$ и $\left|\phi_{j}(t)-1+\frac{1}{2} \sigma_{j}^{2} t^{2}\right| \leq \left|t\right|^{3} \rho_{j}$ при $j \geq 1$. (ii) Покажите, что $\left|\log (1+z)-z\right| \leq \left|z\right|^{2}$, если $\left|z\right| \leq \frac{1}{2}$, где логарифм берётся в своём главном значении. (iii) Покажите, что $\sigma_{j}^{3} \leq \rho_{j}$, и выведите из условия, что $\max_{1 \leq j \leq n} \sigma_{j} / \sigma (n) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, откуда следует, что $\max_{1 \leq j \leq n}\left|\phi_{j}(t / \sigma (n))-1\right| \rightarrow 0$. (iv) Выведите верхнюю оценку для $\left|\log \phi_{j}(t / \sigma (n))-\frac{1}{2} t^{2} \sigma_{j}^{2} / \sigma (n)^{2}\right|$ и просуммируйте её, чтобы получить $\log \psi_{n}(t) \rightarrow -\frac{1}{2} t^{2}$.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые величины, каждая из которых принимает значения $+1$ или $-1$ с вероятностями $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$. Покажите, что

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — независимые случайные величины $N\left(\mu , \sigma^{2}\right)$. Определим $\bar{X} = n^{-1} \sum_{1}^{n} X_{i}$ и $Z_{i} = X_{i}-\bar{X}$. Найдите совместную характеристическую функцию $\bar{X}, Z_{1}, Z_{2}, \ldots , Z_{n}$ и с её помощью докажите, что $\bar{X}$ и $S^{2} = (n-1)^{-1} \sum_{1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ независимы.

Пусть $X$ имеет распределение $N(0,1)$, и пусть $Y = e^{X}$; говорят, что $Y$ имеет логнормальное распределение. Покажите, что плотность $Y$ равна

Для $\left|a\right| \leq 1$ определим $f_{a}(x) = \left\{ 1+a \sin (2 \pi \log x)\right\} f(x)$. Покажите, что $f_{a}$ является плотностью с конечными моментами всех (положительных) порядков, ни один из которых не зависит от значения $a$. Семейство $\left\{ f_{a}:\left|a\right| \leq 1\right\}$ содержит плотности, не определяемые однозначно своими моментами.

Рассмотрим случайное блуждание, шаги которого являются независимыми одинаково распределёнными целочисленными случайными величинами с ненулевым средним. Докажите, что это блуждание невозвратно.

Пусть $\left\{ X_{r}: r \geq 1\right\}$ — одинаково распределённые целочисленные интервалы между моментами процесса рекуррентных событий. Пусть $L$ — самый ранний момент, к которому образовался интервал длины $a$, не содержащий момента наступления события. Покажите, что для целого $a$

Несимметричная монета выпадает орлом с вероятностью $p( = 1-q)$. Она подбрасывается многократно до первого момента $W_{n}$, к которому выпало $n$ орлов подряд. Пусть $\mathbb {E}\left[s^{W_{n}}\right] = G_{n}(s)$. Покажите, что $G_{n} = p s G_{n-1} /\left(1-q s G_{n-1}\right)$, и выведите отсюда, что

При $n$ подбрасываниях несимметричной монеты, выпадающей орлом с вероятностью $p( = 1-q)$, пусть $L_{n}$ — длина самой длинной серии подряд идущих орлов. Покажите, что при $r \geq 1$

Случайный процесс $\left\{ X_{n}: n \geq 1\right\}$ убывает с геометрической скоростью в том смысле, что в отсутствие внешнего воздействия $X_{n+1} = \frac{1}{2} X_{n}$. Однако в любой момент $n$ процесс также увеличивается на $Y_{n}$ с вероятностью $\frac{1}{2}$, где $\left\{ Y_{n}: n \geq 1\right\}$ — последовательность независимых показательных случайных величин с параметром $\lambda$. Найдите предельное распределение $X_{n}$ при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $G(s) = \mathbb {E}\left[s^{X}\right]$, где $X \geq 0$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[(X+1)^{-1}\right] = \int_{0}^{1} G(s) d s$, и вычислите это выражение, если $X$ имеет распределение

Найдите плотность величины $\sum_{r = 1}^{N} X_{r}$, где $\left\{ X_{r}: r \geq 1\right\}$ независимы и имеют показательное распределение с параметром $\lambda$, а $N$ имеет геометрическое распределение с параметром $p$ и независима от $X_{r}$.

Пусть $X$ имеет конечную ненулевую дисперсию и характеристическую функцию $\phi (t)$. Покажите, что

является характеристической функцией, и найдите соответствующее распределение.

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную плотность

Покажите, что $\phi_{X}(t) \phi_{Y}(t) = \phi_{X+Y}(t)$ и что $X$ и $Y$ зависимы. Найдите плотность вероятности $X+Y$.

6.6), продолжение. Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ независимы и равномерно распределены на $(0,1)$, и пусть $m(x) = \mathbb {E}\left[N\right]$, где $N = \min \left\{ n: \sum_{r = 1}^{n} X_{r} > x\right\}$ при $x > 0$. Покажите, что $m^{\prime }(x) = m(x)-m(x-1)$, и выведите отсюда, что преобразование Лапласа $m^{*}(s) = \int_{0}^{\infty } m(x) e^{-s x} d x$ задаётся формулой $m^{*}(s) = 1 /\left(e^{-s}+s-1\right)$ при $s \neq 0$. Отсюда докажите, что

Пусть $S_{n} = \sum_{r = 1}^{n} X_{r}$ — частичная сумма последовательности независимых случайных величин, равномерно распределённых на $(0,1)$. Для $x \in \mathbb {R}$ пусть $\left\{ x\right\}$ обозначает ближайшее к $x$ целое число, и пусть $R_{n} = \sum_{r = 1}^{n}\left\{ X_{r}\right\}$.