Большие уклонения

Симметричную монету подбрасывают $n$ раз, при этом орёл выпадает $H_{n}$ раз, а решка — $T_{n}$ раз. Пусть $S_{n} = H_{n}-T_{n}$. Покажите, что

Что происходит, если $a \geq 1$?

Покажите, что

при $n \rightarrow \infty$, где $0 < a < 1$ и

Найдите асимптотическое поведение $T_{n}^{1 / n}$, где

Покажите, что производящая функция моментов $X$ конечна в окрестности начала координат тогда и только тогда, когда $X$ имеет экспоненциально убывающие хвосты, в том смысле, что существуют положительные постоянные $\lambda$ и $\mu$, такие что $\mathbb {P}\left(\left|X\right| \geq a\right) \leq \mu e^{-\lambda a}$ при $a > 0$. [В свете этого наблюдения условие теоремы о больших уклонениях (5.11.4) выглядит вполне естественным].

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины с распределением Коши, и пусть $S_{n} = X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$. Найдите $\mathbb {P}\left(S_{n} > a n\right)$.

Неравенство Чернова для испытаний Бернулли. Пусть $S = \sum_{r = 1}^{n} X_{r}$ — сумма независимых бернуллиевских случайных величин $X_{r}$, принимающих значения в $\left\{ 0,1\right\}$, где $\mathbb {E}\left[X_{r}\right] = p_{r}$ и $\mathbb {E}\left[S\right] = \mu > 0$. Покажите, что