Производящие функции

Найдите производящие функции следующих функций вероятности и укажите, где они сходятся. Затем вычислите их средние значения и дисперсии.

Пусть $X( \geq 0)$ имеет производящую функцию вероятностей $G$, и обозначим $t(n) = \mathbb {P}\left(X > n\right)$ «хвостовые» вероятности $X$. Покажите, что производящая функция последовательности $\left\{ t(n): n \geq 0\right\}$ равна $T(s) = (1-G(s)) /(1-s)$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[X\right] = T(1)$ и $\operatorname {Var}\left[X\right] = 2 T^{\prime }(1)+T(1)-T(1)^{2}$.

Пусть $G_{X, Y}(s, t)$ — совместная производящая функция вероятностей $X$ и $Y$. Покажите, что $G_{X}(s) = G_{X, Y}(s, 1)$ и $G_{Y}(t) = G_{X, Y}(1, t)$. Покажите, что

Найдите совместные производящие функции следующих совместных функций вероятности и укажите, при каких значениях переменных ряды сходятся.

Монету подбрасывают $n$ раз, и орёл выпадает с вероятностью $p$ при каждом подбрасывании. Считая обычную независимость, покажите, что совместная производящая функция вероятностей чисел $H$ и $T$ орлов и решек равна $G_{H, T}(x, y) = \left\{ p x+(1-p) y\right\}^{n}$. Обобщите этот вывод, чтобы найти совместную производящую функцию вероятностей мультиномиального распределения из упражнения (3.5.1).

Пусть $X$ имеет биномиальное распределение $\operatorname {bin}(n, U)$, где $U$ равномерно распределена на $(0,1)$. Покажите, что $X$ равномерно распределена на $\left\{ 0,1,2, \ldots , n\right\}$.

Покажите, что

— это совместная производящая функция четырёх переменных, независимых попарно и потройно, но тем не менее не являющихся независимыми в совокупности.

Пусть $p_{r} > 0$ и $a_{r} \in \mathbb {R}$ при $1 \leq r \leq n$. Какая из следующих функций является производящей функцией моментов, и для какой случайной величины?

Пусть $G_{1}$ и $G_{2}$ — производящие функции вероятностей, и пусть $0 \leq \alpha \leq 1$. Покажите, что $G_{1} G_{2}$ и $\alpha G_{1}+(1-\alpha ) G_{2}$ являются производящими функциями вероятностей. Обязательно ли $G(\alpha s) / G(\alpha )$ является производящей функцией вероятностей?

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые непрерывные случайные величины с общей функцией распределения $F$, не зависящие от принимающей положительные целые значения случайной величины $Z$. Определим максимум $M = \max \left\{ X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{Z}\right\}$. Покажите, что

где $G$ — производящая функция вероятностей $Z$.

Пусть $0 < p = 1-q < 1$, и пусть $X$ имеет геометрическую функцию вероятности $f(x) = q^{x-1} p$ при $x = 1,2, \ldots$. Найдите производящую функцию вероятностей $Y = \min \left\{ n, X\right\}$ при фиксированном $n \geq 1$, и покажите, что $\mathbb {E}\left[Y\right] = \left(1-q^{n}\right) / p$.

Пусть $X_{i}$ — число шаров в $i$-й из последовательности урн, и предположим, что $X_{i}$ независимы с общей производящей функцией вероятностей $G_{X}$. Имеется $N$ таких урн, где $N$ не зависит от $X_{i}$ и имеет производящую функцию вероятностей $G_{N}$. Каждый шар «немечен» с вероятностью $u$ и помечен в противном случае, причём метки появляются независимо.