G/G/1

Покажите, что для очереди $G / G / 1$ моменты начала периодов занятости сервера образуют процесс восстановления.

Рассмотрим очередь $\mathrm{G} / \mathrm{M}(\mu ) / 1$ в состоянии равновесия вместе с двойственной (неустойчивой) очередью $\mathrm{M}(\mu ) / \mathrm{G} / 1$. Покажите, что периоды простоя последней очереди распределены экспоненциально. Используя теорию двойственности очередей, выведите для первой очереди, что: (a) распределение времени ожидания представляет собой смесь экспоненциального распределения и атома в нуле, и (b) равновесная длина очереди геометрическая.

Рассмотрим $\mathrm{G} / \mathrm{M}(\mu ) / 1$ и пусть $G$ — функция распределения $S-X$, где $S$ и $X$ — типичные (независимые) время обслуживания и время между поступлениями. Покажите, что уравнение Винера–Хопфа

для предельного распределения времени ожидания $F$ удовлетворяется функцией $F(x) = 1-\eta e^{-\mu (1-\eta ) x}, x \geq 0$. Здесь $\eta$ — наименьший положительный корень уравнения $x = M_{X}(\mu (x-1))$, где $M_{X}$ — производящая функция моментов $X$.