Квантильная регрессия

Пусть $g_{\alpha }(u) := u\left(\alpha - \; \mathbb {1}_{u < 0}\right)$, где $\alpha \in (0, 1)$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[g_{\alpha }\left(X-x_{\alpha }\right)\right]$ является выпуклой функцией по $x_{\alpha }$.

Для модели линейной регрессии $X_{k} = h_{k}^{\top }\theta +e_{k}$ рассмотрим задачу квантильной регрессии $\widehat{\theta }(\alpha ) := \arg \min_{\theta } J_{\alpha }(\theta )$, где $J_{\alpha }(\theta ) := \sum_{k = 1}^{n} g_{\alpha }\left(X_{k}-h_{k}^{\top }\theta \right)$ и $g_{\alpha }(u) := u\left(\alpha - \; \mathbb {1}_{u < 0}\right)$. Покажите, что решения задач из примеров 14.5 и 14.6, полученные с помощью ВВНК-метода, совпадают с решениями этой задачи квантильной регрессии для $\alpha = 0,5$, построенными по тем же наблюдениям.

Для модели простой регрессии

где $\varepsilon_{k}$ — независимые центрированные СВ с одинаковой дисперсией, решите задачу квантильной регрессии $\widehat{\theta }(\alpha ) := \arg \min_{\theta } \sum_{k = 1}^{n} g_{\alpha }\left(X_{k}-\theta_{1}-\theta_{2} h_{k}\right)$ (где $g_{\alpha }(u) := u\left(\alpha - \; \mathbb {1}_{u < 0}\right)$) по трем наблюдениям $\left(h_{k}, X_{k}\right) = [(-1,-1) ;(0,2) ;(1 ; 0)]$ при различных значениях $\alpha \in (0,1)$. Проанализируйте полученные результаты, используя теорему 16.2.

Для наблюдений, описываемых уравнением линейной регрессии $X_{k} = \theta_{1}+\theta_{2} h_{k}+\varepsilon_{k}$, $k = 1, \ldots , n$, где $\varepsilon_{k} \sim \mathcal{N}\left(0 ; \sigma^{2}\right)$, приведенных в табл. 11.3, постройте график, на котором изобразите наблюдения и решение задачи квантильной регрессии $\widehat{\theta }(\alpha ) := \arg \min_{\theta } \sum_{k = 1}^{n} g_{\alpha }\left(X_{k}-\theta_{1}-\theta_{2} h_{k}\right)$ (где $g_{\alpha }(u) := u\left(\alpha - \; \mathbb {1}_{u < 0}\right)$) для $\alpha = [0,05,0,1, \ldots , 0,95]$.

Таблица 11.3