Банк задач по математике

Задача 15.1

(1)(2)

Используя данные табл. 15.4 методом приведения модели к линейной, оцените параметры модели производства Кобба-Дугласа [6]:

Таблица 15.4 (данные приведены в процентах к базовому 1960 г., $i = 11$ )

$i$	$Y_{i}$	$K_{i}$	$L_{i}$	$i$	$Y_{i}$	$K_{i}$	$L_{i}$
1	33,15	33,77	79,92	11	100,00	100,00	100,00
2	38,20	37,59	84,52	12	109,56	111,59	99,54
3	42,56	42,35	87,60	13	120,27	123,93	102,81
4	47,35	46,96	91,41	14	131,21	138,10	106,44
5	53,46	52,18	95,83	15	141,78	154,31	110,91
6	60,34	58,64	97,61	16	153,41	170,42	115,65
7	66,33	65,64	96,32	17	167,09	186,13	118,66
8	73,01	72,50	96,60	18	183,65	201,73	122,55
9	81,29	80,45	99,14	19	199,91	217,68	126,62
10	90,56	89,67	100,66	20	215,20	235,10	130,61

?

(1)

$Y(K, L) = A e^{\lambda t} K^{\alpha } L^{1-\alpha }$ ;

(2)

$Y(K, L) = A e^{\lambda t} K^{\alpha } L^{\beta }$ .

Задача 15.2

Используя данные табл. 15.1, оцените параметры модели

y(x) = \theta _{1} \cdot \theta _{2}^{x}

Таблица 15.1

$k$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$x_{k}$	4	5	5	6	8	10	8	7	11	6
$y_{k}$	1,5	2,0	1,4	2,3	2,7	4,0	2,3	2,5	6,6	1,7

методом Гаусса-Ньютона. Сравните с результатами примера 15.1.

?

Задача 15.3

В условиях примера 15.2 найдите точные выражения для компонент вектора $F_{i}^{(m)}$ .

?

Задача 15.4

Зависимость переменной $y$ от $x$ имеет вид дробно-рациональной функции

y(x) = \frac{\theta _{1}+\theta _{2} x}{\theta _{3}+\theta _{4} x} .

Разработайте алгоритм оценивания параметров $\left\{ \theta_{1}, \ldots , \theta_{4}\right\}^{\top }$ по наблюдениям

y_{k} = y\left(x_{k} ; \theta \right)+\varepsilon _{k}, \quad k = 1, \ldots , n

методом Гаусса-Ньютона.

?

Нелинейные регрессионные модели