Оценивание в мультиколлинеарных моделях

Выведите формулы (13.11) - (13.13) для вычисления с.к.-погрешности произвольной оценки $\tilde{\theta }_{n}$ вектора $\theta$.

Покажите, что для произвольной ридж-оценки $\bar{\theta }_{n}(k)$ величины $l_{n}(k)$ и $d_{n}(k)$ определяются соотношениями, соответственно, (13.16) и (13.17).

Покажите, что при $k = 0$ выполнено $\bar{\theta }_{n}(k) = \widehat{\theta }_{n}, l_{n}(k) = 0, d_{n}(k) = \sigma^{2} \operatorname {tr}\left[W_{n}^{-1}\right]$.

Рассмотрите предельные значения ридж-оценки $\bar{\theta }_{n}(k)$ и ее характеристик $l_{n}(k), d_{n}(k)$ и $\Delta_{n}(k)$ при $k \rightarrow \infty$. К чему приводит использование в алгоритме ридж-оценивания слишком больших значений параметра регуляризации $k$ ?

Используя данные табл. 13.1 , постройте $\bar{\theta }_{n}(k)$ и $\Delta_{n}(k)$ для $k = 0,05$, $k = 0,5$ и $k = 5$. Выберите из этих оценок лучшую по критерию минимума с.к.-погрешности $\Delta_{n}(k)$.

Пусть $\tilde{\theta }_{n}$ равна $\widehat{\theta }_{n}$ или $\bar{\theta }_{n}(0,0167), \widetilde{z}_{m} = \widetilde{h}_{m} \widetilde{\theta }_{n}$ — соответствующая оценка точного значения измеряемой зависимости $z_{m}^{(0)} = h_{m} \theta^{(0)}$, $m = 1, \ldots , n$. Пусть также $\delta_{n} = \sum_{m = 1}^{n}\left(\widetilde{z}_{m}-z_{m}^{(0)}\right)^{2}$. Для какой из оценок величина $\delta_{n}$ будет меньше? Сильно ли изменяется величина $\delta_{n}$ при переходе от МНК-оценки $\bar{\theta }_{n}(0)$ к ридж-оценке $\bar{\theta }_{n}(0,0167)$ ? Верно ли утверждение: МНК не позволяет построить «хорошие» оценки параметров $\theta^{(0)}$, но позволяет весьма точно оценить измеряемую зависимость $\left\{ z_{m}^{(0)}, m = 1, \ldots , n\right\}$ ?

Используя данные из табл. 13.3, найдите оценки параметров модели производственной функции $Y = F(K, L)$, если: