7.1

Примеры с решениями

[3/100%]
Показать
LaTeX
Задача 7.1

Исследовать последовательность операторов An:X→X,n≥1A_{n}: X \rightarrow X, n \geq 1 на равномерную, сильную и слабую сходимость, если

?
(1)

X=l2,Anx=(0,0,…,0⏟n−1,xnn,xn+1n+1,…,x2n2n,0,0,…)X = l_{2}, A_{n} x = (\underbrace{0,0, \ldots , 0}_{n-1}, \frac{x_{n}}{n}, \frac{x_{n+1}}{n+1}, \ldots , \frac{x_{2 n}}{2 n}, 0,0, \ldots );

(2)

X=l2,Anx=(x1,…,xn,0,0,…)X = l_{2}, A_{n} x = \left(x_{1}, \ldots , x_{n}, 0,0, \ldots \right);

(3)

X=l2,Anx=(0,0,…,0⏟n−1,x1,0,0,…)X = l_{2}, A_{n} x = (\underbrace{0,0, \ldots , 0}_{n-1}, x_{1}, 0,0, \ldots );

(4)

X=C([0,1]),(Anx)(t)=∫01(t−s)2+1nx(s)dsX = C(\left[0,1\right]),\left(A_{n} x\right)(t) = \int_{0}^{1} \sqrt{(t-s)^{2}+\frac{1}{n}} x(s) d s;

(5)

X=C([0,1]),(Anx)(t)=∫01tnx(s)dsX = C(\left[0,1\right]),\left(A_{n} x\right)(t) = \int_{0}^{1} t^{n} x(s) d s;

(6)

X=Lp(R),1≤p<+∞,(Anx)(t)=e−(t−n)2x(t)X = L_{p}(\mathbb {R}), 1 \leq p < +\infty ,\left(A_{n} x\right)(t) = e^{-(t-n)^{2}} x(t);

(7)

X=Lp(R),1≤p<+∞,(Anx)(t)={x(t−n),t≥n,0,t<n.X = L_{p}(\mathbb {R}), 1 \leq p < +\infty ,\left(A_{n} x\right)(t) = \begin{cases} x(t-n), & t \geq n, \\ 0, & t < n. \end{cases}

Задача 7.2

При каких условиях на число α∈C\alpha \in \mathbb {C} последовательность операторов An:lp→lp,1≤p≤+∞A_{n}: l_{p} \rightarrow l_{p}, 1 \leq p \leq +\infty, определённая формулой

Anx=(αnx1,αn−1x2,…,αxn,0,0,…),x∈lp, A_{n} x = \left(\alpha ^{n} x_{1}, \alpha ^{n-1} x_{2}, \ldots , \alpha x_{n}, 0,0, \ldots \right), x \in l_{p},

сходится равномерно, слабо, сильно?

?
Задача 7.3

Пусть XX — банахово пространство, и последовательности {x,xn:n≥1}⊂X\left\{ x, x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X и {A,An:n≥1}⊂L(X)\left\{ A, A_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathcal{L}(X) таковы, что xn→x,An→wA,n→∞x_{n} \rightarrow x, A_{n} \xrightarrow {w} A, n \rightarrow \infty. Доказать, что Anxn→wAxA_{n} x_{n} \xrightarrow {w} A x, n→∞n \rightarrow \infty.

?