Глава 7

Равномерная, сильная и слабая операторные сходимости

[30/83%]
Показать
LaTeX
§
7.1 · Примеры с решениями[3/100%]
Задача 7.1

Исследовать последовательность операторов An:X→X,n≥1A_{n}: X \rightarrow X, n \geq 1 на равномерную, сильную и слабую сходимость, если

?
(1)

X=l2,Anx=(0,0,…,0⏟n−1,xnn,xn+1n+1,…,x2n2n,0,0,…)X = l_{2}, A_{n} x = (\underbrace{0,0, \ldots , 0}_{n-1}, \frac{x_{n}}{n}, \frac{x_{n+1}}{n+1}, \ldots , \frac{x_{2 n}}{2 n}, 0,0, \ldots );

(2)

X=l2,Anx=(x1,…,xn,0,0,…)X = l_{2}, A_{n} x = \left(x_{1}, \ldots , x_{n}, 0,0, \ldots \right);

(3)

X=l2,Anx=(0,0,…,0⏟n−1,x1,0,0,…)X = l_{2}, A_{n} x = (\underbrace{0,0, \ldots , 0}_{n-1}, x_{1}, 0,0, \ldots );

(4)

X=C([0,1]),(Anx)(t)=∫01(t−s)2+1nx(s)dsX = C(\left[0,1\right]),\left(A_{n} x\right)(t) = \int_{0}^{1} \sqrt{(t-s)^{2}+\frac{1}{n}} x(s) d s;

(5)

X=C([0,1]),(Anx)(t)=∫01tnx(s)dsX = C(\left[0,1\right]),\left(A_{n} x\right)(t) = \int_{0}^{1} t^{n} x(s) d s;

(6)

X=Lp(R),1≤p<+∞,(Anx)(t)=e−(t−n)2x(t)X = L_{p}(\mathbb {R}), 1 \leq p < +\infty ,\left(A_{n} x\right)(t) = e^{-(t-n)^{2}} x(t);

(7)

X=Lp(R),1≤p<+∞,(Anx)(t)={x(t−n),t≥n,0,t<n.X = L_{p}(\mathbb {R}), 1 \leq p < +\infty ,\left(A_{n} x\right)(t) = \begin{cases} x(t-n), & t \geq n, \\ 0, & t < n. \end{cases}

Задача 7.2

При каких условиях на число α∈C\alpha \in \mathbb {C} последовательность операторов An:lp→lp,1≤p≤+∞A_{n}: l_{p} \rightarrow l_{p}, 1 \leq p \leq +\infty, определённая формулой

Anx=(αnx1,αn−1x2,…,αxn,0,0,…),x∈lp, A_{n} x = \left(\alpha ^{n} x_{1}, \alpha ^{n-1} x_{2}, \ldots , \alpha x_{n}, 0,0, \ldots \right), x \in l_{p},

сходится равномерно, слабо, сильно?

?
Задача 7.3

Пусть XX — банахово пространство, и последовательности {x,xn:n≥1}⊂X\left\{ x, x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X и {A,An:n≥1}⊂L(X)\left\{ A, A_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathcal{L}(X) таковы, что xn→x,An→wA,n→∞x_{n} \rightarrow x, A_{n} \xrightarrow {w} A, n \rightarrow \infty. Доказать, что Anxn→wAxA_{n} x_{n} \xrightarrow {w} A x, n→∞n \rightarrow \infty.

?
§
7.2 · Задачи[27/81%]
Задача 7.4

Доказать следующие утверждения:

?
(1)

если предел существует, то он единственен для любой сходимости операторов;

(2)

равномерная сходимость влечёт сильную сходимость;

(3)

сильная сходимость влечёт слабую сходимость;

(4)

обратные утверждения к утверждениям (2) и (3) неверны;

(5)

в конечномерном пространстве равномерная, сильная и слабая сходимости равносильны.

Задача 7.5

Как выглядят равномерная, сильная и слабая сходимость операторов для операторов из L(X,K)\mathcal{L}(X, \mathbb {K}), где XX — НЛП, т.е. для функционалов?

?
Задача 7.6

Пусть X1X_{1} и X2X_{2} — нормированные линейные пространства, {An:n≥1}⊂L(X1,X2),A∈L(X1,X2)\left\{ A_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathcal{L}\left(X_{1}, X_{2}\right), A \in \mathcal{L}\left(X_{1}, X_{2}\right). Доказать, что для сходимости An→sA,n→∞A_{n} \xrightarrow {s} A, n \rightarrow \infty, достаточно, а если X1X_{1} — банахово пространство, то и необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

(a) последовательность {∥An∥:n≥1}\left\{ \left\| A_{n}\right\| : n \geq 1\right\} ограничена;

(b) существует тотальное множество M⊂X1M \subset X_{1} такое, что Anx→Ax,n→∞A_{n} x \rightarrow A x, n \rightarrow \infty, в X2X_{2} для всех x∈Mx \in M.

?
Задача 7.7

Сформулировать и доказать теоремы, аналогичные задаче 7.6∘7.6^{\circ }, для слабой сходимости операторов.

Задача 7.6: Пусть X1X_{1} и X2X_{2} — нормированные линейные пространства, {An:n≥1}⊂L(X1,X2),A∈L(X1,X2)\left\{ A_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathcal{L}\left(X_{1}, X_{2}\right), A \in \mathcal{L}\left(X_{1}, X_{2}\right). Доказать, что для сходимости An→sA,n→∞A_{n} \xrightarrow {s} A, n \rightarrow \infty, достаточно, а если X1X_{1} — банахово пространство, то и необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

(a) последовательность {∥An∥:n≥1}\left\{ \left\| A_{n}\right\| : n \geq 1\right\} ограничена;

(b) существует тотальное множество M⊂X1M \subset X_{1} такое, что Anx→Ax,n→∞A_{n} x \rightarrow A x, n \rightarrow \infty, в X2X_{2} для всех x∈Mx \in M.

?
Задача 7.8

Исследовать последовательность операторов An:lp→lp,n≥1A_{n}: l_{p} \rightarrow l_{p}, n \geq 1, на равномерную, сильную и слабую сходимость.

?
(1)

Anx=(0,…,0⏟n,x1,x2,…),1≤p<+∞A_{n} x = (\underbrace{0, \ldots , 0}_{n}, x_{1}, x_{2}, \ldots ), 1 \leq p < +\infty;

(2)

Anx=(xn+1,xn+2,…),1≤p≤+∞;A_{n} x = \left(x_{n+1}, x_{n+2}, \ldots \right), 1 \leq p \leq +\infty ;

(3)

Anx=(0,…,0⏟n−1,xn,0,0,…),1≤p<+∞A_{n} x = (\underbrace{0, \ldots , 0}_{n-1}, x_{n}, 0,0, \ldots ), 1 \leq p < +\infty;

(4)

Anx=(0,…,0⏟n−1,xn,xn+1,…),1≤p<+∞A_{n} x = (\underbrace{0, \ldots , 0}_{n-1}, x_{n}, x_{n+1}, \ldots ), 1 \leq p < +\infty;

(5)

Anx=(xn,xn−1,x2,…x1,0,0,…),1≤p≤+∞;A_{n} x = \left(x_{n}, x_{n-1}, x_{2}, \ldots x_{1}, 0,0, \ldots \right), 1 \leq p \leq +\infty ;

(6)

Anx=(x1n,x2n−1,…,xn1,0,0,…),1≤p<+∞;A_{n} x = \left(\frac{x_{1}}{n}, \frac{x_{2}}{n-1}, \ldots , \frac{x_{n}}{1}, 0,0, \ldots \right), 1 \leq p < +\infty ;

(7)

Anx=(0,…,0⏟n−1,nx2n,0,0,…),1≤p≤+∞;A_{n} x = (\underbrace{0, \ldots , 0}_{n-1}, \sqrt{n} x_{2 n}, 0,0, \ldots ), 1 \leq p \leq +\infty ;

(8)

Anx=(∑m=1nxm,0,0,…),1≤p≤+∞;A_{n} x = \left(\sum_{m = 1}^{n} x_{m}, 0,0, \ldots \right), 1 \leq p \leq +\infty ;

(9)

Anx=(1+n1+nx1,1+n1+2nx2,1+n1+3nx3,…,1+n1+n2xn,0,0,…),1≤p≤+∞;A_{n} x = \left(\frac{1+n}{1+n} x_{1}, \frac{1+n}{1+2 n} x_{2}, \frac{1+n}{1+3 n} x_{3}, \ldots , \frac{1+n}{1+n^{2}} x_{n}, 0,0, \ldots \right), 1 \leq p \leq +\infty ;

(10)

Anx=(nnx1,nnx2,…,nnxn,…),1≤p≤+∞;A_{n} x = \left(\sqrt[n]{n} x_{1}, \sqrt[n]{n} x_{2}, \ldots , \sqrt[n]{n} x_{n}, \ldots \right), 1 \leq p \leq +\infty ;

(11)

Anx=(nnx1,nnx2,…,nnxn,0,0,…),1≤p<+∞;A_{n} x = \left(\sqrt[n]{n} x_{1}, \sqrt[n]{n} x_{2}, \ldots , \sqrt[n]{n} x_{n}, 0,0, \ldots \right), 1 \leq p < +\infty ;

(12)

Anx=(xn2n,xn+12n+1,…,x2n3n,0,0,…),1≤p≤+∞;A_{n} x = \left(\frac{x_{n}}{2 n}, \frac{x_{n+1}}{2 n+1}, \ldots , \frac{x_{2 n}}{3 n}, 0,0, \ldots \right), 1 \leq p \leq +\infty ;

(13)

Anx=(1+n1+nx1,1+n1+2nx2,1+n1+3nx3,…,1+n1+knxk,…),1≤p≤+∞;A_{n} x = \left(\frac{1+n}{1+n} x_{1}, \frac{1+n}{1+2 n} x_{2}, \frac{1+n}{1+3 n} x_{3}, \ldots , \frac{1+n}{1+k n} x_{k}, \ldots \right), 1 \leq p \leq +\infty ;

(14)

Anx=(1+n1+nx1,1+n1+2nx2,1+n1+3nx3,…,1+n1+knxk,0,0,…),1≤p≤+∞A_{n} x = \left(\frac{1+n}{1+n} x_{1}, \frac{1+n}{1+2 n} x_{2}, \frac{1+n}{1+3 n} x_{3}, \ldots , \frac{1+n}{1+k n} x_{k}, 0,0, \ldots \right), 1 \leq p \leq +\infty, где k∈Nk \in \mathbb {N} фиксировано.

Задача 7.9

Исследовать последовательность операторов из пунктов (3), (6) и (11) задачи 7.8∘7.8^{\circ } на равномерную, сильную или слабую сходимость в случае p=+∞p = +\infty.

?
Задача 7.10

Найти необходимые и достаточные условия на последовательность комплексных чисел {αn:n≥1}\left\{ \alpha_{n}: n \geq 1\right\}, при которых последовательность операторов An:lp→lpA_{n}: l_{p} \rightarrow l_{p}, 1≤p≤+∞,n≥11 \leq p \leq +\infty , n \geq 1, сходится равномерно, сильно, слабо, если

?
(1)

Anx=(αnx1,0,0,…)A_{n} x = \left(\alpha_{n} x_{1}, 0,0, \ldots \right);

(2)

Anx=(0,0,…,0⏟n−1,αnx1,0,0,…)A_{n} x = (\underbrace{0,0, \ldots , 0}_{n-1}, \alpha_{n} x_{1}, 0,0, \ldots );

(3)

Anx=(α1x1,α2x2,…,αnxn,0,0,…)A_{n} x = \left(\alpha_{1} x_{1}, \alpha_{2} x_{2}, \ldots , \alpha_{n} x_{n}, 0,0, \ldots \right);

(4)

Anx=(αnx1,αnx2,…,αnxn,0,0,…)A_{n} x = \left(\alpha_{n} x_{1}, \alpha_{n} x_{2}, \ldots , \alpha_{n} x_{n}, 0,0, \ldots \right);

(5)

Anx=(0,0,…,0⏟n−1,α1x1,α2x2,…,αnxn,0,0,…)A_{n} x = (\underbrace{0,0, \ldots , 0}_{n-1}, \alpha_{1} x_{1}, \alpha_{2} x_{2}, \ldots , \alpha_{n} x_{n}, 0,0, \ldots );

(6)

Anx=(0,0,…,0⏟n−1,αnx1,αn−1x2,…,α1xn,0,0,…)A_{n} x = (\underbrace{0,0, \ldots , 0}_{n-1}, \alpha_{n} x_{1}, \alpha_{n-1} x_{2}, \ldots , \alpha_{1} x_{n}, 0,0, \ldots );

(7)

Anx=(αnxn,αn−1xn+1,…,α1x2n−1,0,0,…)A_{n} x = \left(\alpha_{n} x_{n}, \alpha_{n-1} x_{n+1}, \ldots , \alpha_{1} x_{2 n-1}, 0,0, \ldots \right);

(8)

Anx=(αnx1,αn+1x2,…)A_{n} x = \left(\alpha_{n} x_{1}, \alpha_{n+1} x_{2}, \ldots \right);

(9)

Anx=(αnx1,αn+1x2,…,α2n−1xn,0,0,…)A_{n} x = \left(\alpha_{n} x_{1}, \alpha_{n+1} x_{2}, \ldots , \alpha_{2 n-1} x_{n}, 0,0, \ldots \right);

(10)

Anx=(αnx1,αn−1x2,…,α1xn,0,0,…)A_{n} x = \left(\alpha_{n} x_{1}, \alpha_{n-1} x_{2}, \ldots , \alpha_{1} x_{n}, 0,0, \ldots \right).

Задача 7.11

Исследовать последовательность операторов An:C([0,1])→C([0,1])A_{n}: C(\left[0,1\right]) \rightarrow C(\left[0,1\right]) на равномерную, сильную и слабую сходимость.

?
(1)

(Anx)(t)=tn(1−t)x(t);\left(A_{n} x\right)(t) = t^{n}(1-t) x(t) ;

(2)

(Anx)(t)=tnx(t)\left(A_{n} x\right)(t) = t^{n} x(t);

(3)

(Anx)(t)=e−ntx(t)\left(A_{n} x\right)(t) = e^{-n t} x(t);

(4)

(Anx)(t)=x(t)⋅sin⁡nt\left(A_{n} x\right)(t) = x(t) \cdot \sin n t;

(5)

(Anx)(t)=∫01(tn+sn)x(s)ds\left(A_{n} x\right)(t) = \int_{0}^{1}\left(t^{n}+s^{n}\right) x(s) d s;

(6)

(Anx)(t)=x(t)⋅sin⁡tn\left(A_{n} x\right)(t) = x(t) \cdot \sin \frac{t}{n};

(7)

(Anx)(t)=∫01(t+s)n3x(s)ds\left(A_{n} x\right)(t) = \int_{0}^{1} \frac{(t+s)^{n}}{3} x(s) d s;

(8)

(Anx)(t)=∫01(t+s)n3nx(s)ds\left(A_{n} x\right)(t) = \int_{0}^{1} \frac{(t+s)^{n}}{3^{n}} x(s) d s;

(9)

(Anx)(t)=∫0t(∑k=0n(−1)ks2k+1(2k+1)!)x(s)ds;\left(A_{n} x\right)(t) = \int_{0}^{t}\left(\sum_{k = 0}^{n} \frac{(-1)^{k} s^{2 k+1}}{(2 k+1)!}\right) x(s) d s ;

(10)

(Anx)(t)=x(t1+1n)\left(A_{n} x\right)(t) = x\left(t^{1+\frac{1}{n}}\right);

(11)

(Anx)(t)=(t10n−t2n)x(t);\left(A_{n} x\right)(t) = \left(t^{10 n}-t^{2 n}\right) x(t) ;

(12)

(Anx)(t)=t∫01x(sin⁡nπ2s)ds\left(A_{n} x\right)(t) = t \int_{0}^{1} x\left(\sin^{n} \frac{\pi }{2} s\right) d s;

(13)

(Anx)(t)=t∫01x(s)sin⁡nπ2sds\left(A_{n} x\right)(t) = t \int_{0}^{1} x(s) \sin^{n} \frac{\pi }{2} s d s;

(14)

(Anx)(t)=∫01t1+(2s)n1+(2s)2nx(s)ds\left(A_{n} x\right)(t) = \int_{0}^{1} t \frac{1+(2 s)^{n}}{1+(2 s)^{2 n}} x(s) d s;

(15)

(Anx)(t)=ln⁡(1+nt)1+ntx(t)\left(A_{n} x\right)(t) = \frac{\ln (1+n t)}{1+n t} x(t);

(16)

(Anx)(t)=ln⁡(1+t)1+ntx(t)\left(A_{n} x\right)(t) = \frac{\ln (1+t)}{1+n t} x(t);

(17)

(Anx)(t)=∫01t2ln⁡(1+ns)1+nsx(s)ds\left(A_{n} x\right)(t) = \int_{0}^{1} t^{2} \frac{\ln (1+n s)}{1+n s} x(s) d s;

(18)

(Anx)(t)=∫0tn2nx(s)ds;\left(A_{n} x\right)(t) = \int_{0}^{\frac{t^{n}}{2^{n}}} x(s) d s ;

(19)

(Anx)(t)=∫0tnx(s)ds;\left(A_{n} x\right)(t) = \int_{0}^{t^{n}} x(s) d s ;

(20)

(Anx)(t)=(1−t)n∫0tnx(s)ds\left(A_{n} x\right)(t) = (1-t)^{n} \int_{0}^{t^{n}} x(s) d s;

(21)

(Anx)(t)=n∫tt+1nx(s)ds\left(A_{n} x\right)(t) = n \int_{t}^{t+\frac{1}{n}} x(s) d s, где x(s)=x(1)x(s) = x(1) при s>1s > 1.

Задача 7.12

Исследовать последовательность операторов An:Lp(T)→Lp(T)A_{n}: L_{p}(T) \rightarrow L_{p}(T) на равномерную, сильную и слабую сходимость.

?
(1)

T=R,(Anx)(t)=x(t+n),1≤p<+∞;T = \mathbb {R},\left(A_{n} x\right)(t) = x(t+n), 1 \leq p < +\infty ;

(2)

T=R,(Anx)(t)={x(t),t≥n,0,t<n,1≤p<+∞;T = \mathbb {R},\left(A_{n} x\right)(t) = \begin{cases} x(t), & t \geq n, \\ 0, & t < n, \end{cases} \quad 1 \leq p < +\infty ;

(3)

T=R,(Anx)(t)=11+∣t−n∣x(t),1≤p<+∞;T = \mathbb {R},\left(A_{n} x\right)(t) = \frac{1}{1+\left|t-n\right|} x(t), 1 \leq p < +\infty ;

(4)

T=[0,1],(Anx)(t)=tn∫01snx(s)ds,1≤p<+∞;T = \left[0,1\right],\left(A_{n} x\right)(t) = t^{n} \int_{0}^{1} s^{n} x(s) d s, 1 \leq p < +\infty ;

(5)

T=[0,1],(Anx)(t)=x(t)cos⁡nt,p=2T = \left[0,1\right],\left(A_{n} x\right)(t) = x(t) \cos n t, p = 2;

(6)

T=[0,1],(Anx)(t)=x(t)cos⁡ent,p=2T = \left[0,1\right],\left(A_{n} x\right)(t) = x(t) \cos e^{n} t, p = 2;

(7)

T=[0,1],(Anx)(t)=x(t)cos⁡net,p=2T = \left[0,1\right],\left(A_{n} x\right)(t) = x(t) \cos n e^{t}, p = 2;

(8)

T=[0,1],(Anx)(t)=x(t)cos⁡ent,p=2T = \left[0,1\right],\left(A_{n} x\right)(t) = x(t) \cos e^{n t}, p = 2;

(9)

T=R,(Anx)(t)=x(t)⋅χ[ln⁡n,2ln⁡n](t),1≤p<+∞;T = \mathbb {R},\left(A_{n} x\right)(t) = x(t) \cdot \chi_{\left[\ln n, 2 \ln n\right]}(t), 1 \leq p < +\infty ;

(10)

T=[0,1],(Anx)(t)=tnx(t),p=1T = \left[0,1\right],\left(A_{n} x\right)(t) = \sqrt[n]{t} x(t), p = 1;

(11)

T=[0,1],(Anx)(t)=∫01t2(sn−s2n)x(s)ds,1≤p<+∞T = \left[0,1\right],\left(A_{n} x\right)(t) = \int_{0}^{1} t^{2}\left(s^{n}-s^{2 n}\right) x(s) d s, 1 \leq p < +\infty.

Задача 7.13

Пусть {pn:n≥1}⊂C([a,b])\left\{ p_{n}: n \geq 1\right\} \subset C(\left[a, b\right]) — фиксированная последовательность,

(Anx)(t)=pn(t)x(t),t∈[a,b],x∈C([a,b]). \left(A_{n} x\right)(t) = p_{n}(t) x(t), t \in [a, b], x \in C(\left[a, b\right]).

При каких условиях на последовательность {pn:n≥1}\left\{ p_{n}: n \geq 1\right\} последовательность операторов {An:n≥1}\left\{ A_{n}: n \geq 1\right\} сходится

?
(1)

равномерно;

(2)

сильно;

(3)

слабо? Определить вид предельного оператора.

Задача 7.14

Пусть X1,X2X_{1}, X_{2} — банаховы пространства.

?
(1)

Доказать, что пространство L(X1,X2)\mathcal{L}\left(X_{1}, X_{2}\right) полно относительно сильной сходимости операторов, т.е. каждая последовательность {An:n≥1}⊂L(X1,X2)\left\{ A_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathcal{L}\left(X_{1}, X_{2}\right), для которой {Anx:n≥1}\left\{ A_{n} x: n \geq 1\right\} фундаментальна в X2X_{2} для каждого x∈X1x \in X_{1}, сходится сильно к некоторому оператору A∈L(X1,X2)A \in \mathcal{L}\left(X_{1}, X_{2}\right).

(2)

При каких условиях на банаховы пространства X1X_{1} и X2X_{2} пространство L(X1,X2)\mathcal{L}\left(X_{1}, X_{2}\right) полно относительно слабой сходимости?

Задача 7.15

В Lp(R),1≤p<+∞L_{p}(\mathbb {R}), 1 \leq p < +\infty, определим оператор сдвига

(Asx)(t)=x(t+s),t∈R,x∈Lp(R),s∈R \left(A_{s} x\right)(t) = x(t+s), t \in \mathbb {R}, x \in L_{p}(\mathbb {R}), s \in \mathbb {R}

Пусть sn→s,n→∞s_{n} \rightarrow s, n \rightarrow \infty, и sn≠s,n≥1s_{n} \neq s, n \geq 1. Доказать, что Asn→sAsA_{s_{n}} \xrightarrow {s} A_{s}, но Asn⇏AsA_{s_{n}} \nRightarrow A_{s}.

?
Задача 7.16

Пусть XX — пространство C1([0,1])C^{1}(\left[0,1\right]) с нормой ∥x∥=max⁡t∈[0,1]∣x(t)∣,x∈C1([0,1])\left\| x\right\| = \max_{t \in [0,1]}\left|x(t)\right|, x \in C^{1}(\left[0,1\right]). Определим оператор An:X→C([0,1])A_{n}: X \rightarrow C(\left[0,1\right]) формулой (Anx)(t)=n(x(t+1n)−x(t)),t∈[0,1],x∈X,n≥1\left(A_{n} x\right)(t) = n\left(x\left(t+\frac{1}{n}\right)-x(t)\right), \quad t \in [0,1], \quad x \in X, \quad n \geq 1 (если t>1t > 1, положим x(t)=x(1)+x−′(1)(t−1)x(t) = x(1)+x_{-}^{\prime }(1)(t-1).) Доказать, что

?
(1)

для каждой x∈Xx \in X последовательность {Anx:n≥1}\left\{ A_{n} x: n \geq 1\right\} сходится по норме в C([0,1])C(\left[0,1\right]);

(2)

последовательность {∥An∥:n≥1}\left\{ \left\| A_{n}\right\| : n \geq 1\right\} не ограничена;

(3)

пространство L(X,C([0,1]))\mathcal{L}(X, C(\left[0,1\right])) не полно относительно сильной операторной топологии.

Противоречат ли эти утверждения принципу равномерной ограниченности?

Задача 7.17

Обозначим через C~\widetilde{C} пространство всех 2π2 \pi-периодических непрерывных функций на R\mathbb {R}. Его можно отождествить с подпространством в C([−π,π])C(\left[-\pi , \pi \right]), состоящим из функций xx таких, что x(−π)=x(π)x(-\pi ) = x(\pi ). Для любых n≥1n \geq 1 и t∈[−π,π]t \in [-\pi , \pi ] положим

(Snx)(t)=1π∫−ππDn(t−s)x(s)ds \left(S_{n} x\right)(t) = \frac{1}{\pi } \int _{-\pi }^{\pi } D_{n}(t-s) x(s) d s

где Dn(t)=12+∑k=1ncos⁡kt=sin⁡2n+12t2sin⁡t2D_{n}(t) = \frac{1}{2}+\sum_{k = 1}^{n} \cos k t = \frac{\sin \frac{2 n+1}{2} t}{2 \sin \frac{t}{2}} — ядро Дирихле. Доказать, что

?
(1)

Sn→sI,Sn⇏IS_{n} \xrightarrow {s} I, S_{n} \nRightarrow I в L2([−π,π])L_{2}(\left[-\pi , \pi \right]);

(2)

∫−ππ∣Dn(t)∣dt>Aln⁡n,n≥1\int_{-\pi }^{\pi }\left|D_{n}(t)\right| d t > A \ln n, n \geq 1, для некоторой константы A>0A > 0;

(3)

существуют функции x∈C~(x∈L1([−π,π]))x \in \widetilde{C}\left(x \in L_{1}(\left[-\pi , \pi \right])\right), для которых ряд Фурье по тригонометрической системе не сходится к xx в C~\widetilde{C} (соответственно в L1([−π,π])L_{1}(\left[-\pi , \pi \right]));

(4)

для любого t0∈[−π,π]t_{0} \in [-\pi , \pi ] существует функция x∈C~x \in \widetilde{C}, для которой ряд Фурье в точке t0t_{0} не сходится к x(t0)x\left(t_{0}\right);

(5)

существуют функции x∈C([−π,π])x \in C(\left[-\pi , \pi \right]) и y∈L1([−π,π])y \in L_{1}(\left[-\pi , \pi \right]) такие, что ряд

a0α02+∑n=1∞(anαn+bnβn) \frac{a_{0} \alpha _{0}}{2}+\sum _{n = 1}^{\infty }\left(a_{n} \alpha _{n}+b_{n} \beta _{n}\right)

расходится, где {a0,an,bn:n≥1},{α0,αn,βn:n≥1}\left\{ a_{0}, a_{n}, b_{n}: n \geq 1\right\} ,\left\{ \alpha_{0}, \alpha_{n}, \beta_{n}: n \geq 1\right\} — коэффициенты Фурье функций xx и yy соответственно.

Задача 7.18

Пусть X1X_{1} — банахово пространство, X2X_{2} — НЛП, и отображение B:X1×X1→X2B: X_{1} \times X_{1} \rightarrow X_{2} линейно и непрерывно по каждой переменной. Доказать, что BB совместно непрерывно.

?
Задача 7.19

Пусть XX — НЛП, состоящее из алгебраических многочленов одной переменной с нормой ∥x∥=∫01∣x(t)∣dt\left\| x\right\| = \int_{0}^{1}\left|x(t)\right| d t, и B(x,y)=∫01x(t)y(t)dtB(x, y) = \int_{0}^{1} x(t) y(t) d t. Доказать, что функционал BB линеен и непрерывен по каждой переменной, но не является непрерывным на X×XX \times X.

?
Задача 7.20

Пусть XX — банахово пространство и {A,B,An,Bn:n≥1}⊂L(X)\left\{ A, B, A_{n}, B_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathcal{L}(X). Доказать, что

?
(1)

An→sA,Bn→sB⇒AnBn→sABA_{n} \xrightarrow {s} A, B_{n} \xrightarrow {s} B \Rightarrow A_{n} B_{n} \xrightarrow {s} A B;

(2)

An⇉A,Bn⇉B⇒AnBn⇉ABA_{n} \rightrightarrows A, B_{n} \rightrightarrows B \Rightarrow A_{n} B_{n} \rightrightarrows A B;

(3)

An→wA,Bn→wB⇏AnBn→wABA_{n} \xrightarrow {w} A, B_{n} \xrightarrow {w} B \nRightarrow A_{n} B_{n} \xrightarrow {w} A B.

Задача 7.21

Пусть XX — банахово пространство, {x,xn:n≥1}⊂X\left\{ x, x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X и {A,An:n≥1}⊂L(X)\left\{ A, A_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathcal{L}(X). Доказать, что

?
(1)

An→sA,xn→x⇒Anxn→AxA_{n} \xrightarrow {s} A, x_{n} \rightarrow x \Rightarrow A_{n} x_{n} \rightarrow A x;

(2)

An⇉A,xn→wx⇒Anxn→wAxA_{n} \rightrightarrows A, x_{n} \xrightarrow {w} x \Rightarrow A_{n} x_{n} \xrightarrow {w} A x;

(3)

An→sA,xn→wx⇏Anxn→wAxA_{n} \xrightarrow {s} A, x_{n} \xrightarrow {w} x \nRightarrow A_{n} x_{n} \xrightarrow {w} A x.

Задача 7.22

Пусть HH — гильбертово пространство, {An:n≥1}⊂L(H),sup⁡n≥1∥An∥<+∞\left\{ A_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathcal{L}(H), \sup_{n \geq 1}\left\| A_{n}\right\| < +\infty, и ∃L⊂H,Lˉ=H,∀x,y∈L:∃lim⁡n→∞(Anx,y)\exists L \subset H, \bar{L} = H, \forall x, y \in L: \exists \lim_{n \rightarrow \infty }\left(A_{n} x, y\right).

Доказать, что существует A∈L(H)A \in \mathcal{L}(H) такой, что An→wAA_{n} \xrightarrow {w} A.

?
Задача 7.23

Пусть HH — сепарабельное гильбертово пространство. Доказать, что любой замкнутый шар в L(H)\mathcal{L}(H) является слабо компактным множеством (т.е. каждая ограниченная последовательность в L(H)\mathcal{L}(H) содержит слабо сходящуюся подпоследовательность).

?
Задача 7.24

Пусть XX — банахово пространство, A∈L(X),{λk:k≥0}⊂R,φ(t)=∑n=1∞λntnA \in \mathcal{L}(X),\left\{ \lambda_{k}: k \geq 0\right\} \subset \mathbb {R}, \varphi (t) = \sum_{n = 1}^{\infty } \lambda_{n} t^{n}, t∈Rt \in \mathbb {R}, — сумма степенного ряда, сходящегося на R\mathbb {R}. Доказать, что последовательность {φn(A):n≥0}\left\{ \varphi_{n}(A): n \geq 0\right\}, где φn(A)=∑k=0nλkAk,n≥0,A0=I\varphi_{n}(A) = \sum_{k = 0}^{n} \lambda^{k} A^{k}, n \geq 0, A^{0} = I, сходится в L(X)\mathcal{L}(X) к некоторому оператору φ(A)∈L(X)\varphi (A) \in \mathcal{L}(X).

Доказать, что при условии λk≥0,k≥0\lambda_{k} \geq 0, k \geq 0, выполняется неравенство ∥φ(A)∥≤φ(∥A∥)\left\| \varphi (A)\right\| \leq \varphi (\left\| A\right\| ).

?
Задача 7.25

Доказать, что для ограниченного оператора A∈L(X)A \in \mathcal{L}(X), где XX — банахово пространство, операторы

eA=∑k=0∞Akk!,sin⁡A=∑k=0∞(−1)kA2k+1(2k+1)!,cos⁡A=∑k=0∞(−1)kA2k(2k)!, e^{A} = \sum _{k = 0}^{\infty } \frac{A^{k}}{k!}, \sin A = \sum _{k = 0}^{\infty } \frac{(-1)^{k} A^{2 k+1}}{(2 k+1)!}, \cos A = \sum _{k = 0}^{\infty } \frac{(-1)^{k} A^{2 k}}{(2 k)!},

корректно определены, и eA,sin⁡A,cos⁡A∈L(X)e^{A}, \sin A, \cos A \in \mathcal{L}(X).

?
Задача 7.26

Пусть XX — банахово пространство, A∈L(X)A \in \mathcal{L}(X). Доказать, что ряд ∑n=0∞An\sum_{n = 0}^{\infty } A^{n} сходится в L(X)\mathcal{L}(X) тогда и только тогда, когда для некоторого k∈Nk \in \mathbb {N} выполняется неравенство ∥Ak∥<1\left\| A^{k}\right\| < 1.

?
Задача 7.27

Доказать, что каждый линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве является сильным пределом последовательности ограниченных конечномерных операторов тогда и только тогда, когда пространство сепарабельно.

?
Задача 7.28

Обозначим через TnT_{n} подпространство пространства C~\widetilde{C} (см. задачу 7.17*), состоящее из тригонометрических многочленов степени не выше nn. Оператор U∈L(C~)U \in \mathcal{L}(\tilde{C}) называется полиномиальным (тригонометрическим) оператором степени nn, если Ux∈TnU x \in T_{n} для всех x∈C~x \in \widetilde{C} и Ux=xU x = x для всех x∈Tnx \in T_{n}. Доказать следующие утверждения:

?
(1)

Следующие операторы являются полиномиальными: оператор SnS_{n} из задачи 7.17*; оператор, который сопоставляет каждой функции её интерполяционный (тригонометрический) многочлен, построенный по фиксированному набору узлов.

(2)

(Зигмунд-Марцинкевич-Берман) Если UU — полиномиальный оператор степени nn, то 12π∫−ππ(Uxτ)(s−τ)dτ=(Snx)(s),s∈R,x∈C~\frac{1}{2 \pi } \int_{-\pi }^{\pi }\left(U x^{\tau }\right)(s-\tau ) d \tau = \left(S_{n} x\right)(s), s \in \mathbb {R}, x \in \widetilde{C}, где xτ(t)=x(t+τ),t∈R,τ∈Rx^{\tau }(t) = x(t+\tau ), \quad t \in \mathbb {R}, \quad \tau \in \mathbb {R}, и для каждого s∈Rs \in \mathbb {R} подынтегральная функция непрерывна по τ\tau.

(3)

Если UU — полиномиальный оператор степени nn, то ∥U∥≥∥Sn∥>Aln⁡n,n≥1\left\| U\right\| \geq \left\| S_{n}\right\| > A \ln n, n \geq 1, для некоторой константы A>0A > 0.

(4)

Последовательность {Un:n≥1}\left\{ U_{n}: n \geq 1\right\} полиномиальных операторов, где UnU_{n} — оператор степени nn, не сходится сильно в C~\widetilde{C}.

Задача 7.29

Линейный оператор A:C([a,b])→C([a,b])A: C(\left[a, b\right]) \rightarrow C(\left[a, b\right]), где C([a,b])C(\left[a, b\right]) — действительное пространство, называется неотрицательным, если для всех x∈C([a,b])x \in C(\left[a, b\right]) таких, что x(t)≥0x(t) \geq 0 для всех t∈[a,b]t \in [a, b], выполняется (Ax)(t)≥0(A x)(t) \geq 0 для всех t∈[a,b]t \in [a, b]. Доказать, что

?
(1)

Неотрицательный оператор непрерывен, и ∥A∥=∥Ae0∥\left\| A\right\| = \left\| A e_{0}\right\|, где e0(t)=1e_{0}(t) = 1, t∈[a,b]t \in [a, b].

(2)

(Коровкин) Если {An:n≥1}\left\{ A_{n}: n \geq 1\right\} — последовательность неотрицательных операторов, то An→sIA_{n} \xrightarrow {s} I в C([a,b])C(\left[a, b\right]) тогда и только тогда, когда выполняется сходимость Anek→ek,n→∞A_{n} e_{k} \rightarrow e_{k}, n \rightarrow \infty, для ek(t)=tk,t∈[a,b],k=0,1,2e_{k}(t) = t^{k}, t \in [a, b], k = 0,1,2.

Верен ли аналогичный критерий слабой сходимости неотрицательных операторов?

Задача 7.30

Пусть X=Lp([0,1])X = L_{p}(\left[0,1\right]) или X=C([0,1])X = C(\left[0,1\right]), оператор Kn:X→XK_{n}: X \rightarrow X сопоставляет каждой функции x∈Xx \in X многочлен Канторовича

(Knx)(t)=∑k=0n(nk)xnktk(1−t)n−k,t∈[0,1] \left(K_{n} x\right)(t) = \sum _{k = 0}^{n}\binom {n}{k} x_{n k} t^{k}(1-t)^{n-k}, t \in [0,1]

где xnk=(n+1)∫kn+1k+1n+1x(t)dt,0≤k≤n,n≥1x_{n k} = (n+1) \int_{\frac{k}{n+1}}^{\frac{k+1}{n+1}} x(t) d t, 0 \leq k \leq n, n \geq 1. Доказать, что

?
(1)

Kn→sIK_{n} \xrightarrow {s} I в C([0,1])C(\left[0,1\right]);

(2)

Kn→sIK_{n} \xrightarrow {s} I в Lp([0,1]),1≤p<+∞L_{p}(\left[0,1\right]), 1 \leq p < +\infty.

Верно ли это утверждение для p=+∞p = +\infty?