Задачи

Пусть $G$ — подпространство гильбертова пространства $H$ и $f \in G^{*}$. Описать все непрерывные линейные продолжения $F$ функционала $f$ на $H$. Какие из них сохраняют норму?

Решить задачу (1) для $G = \left\{ x \in H \mid (x, h) = 0\right\}$ и $f(x) = (x, a), x \in G$, где $a, h \in H$ — фиксированные элементы.

Решить задачу (1) для $G = \left\{ x \in H \mid \left(x, h_{i}\right) = 0,1 \leq i \leq n\right\}$ и $f(x) = (x, a), x \in G$, где $a \in H$ — фиксированный элемент, а $\left\{ h_{i}: 1 \leq i \leq n\right\} \subset H$ — фиксированная ортонормированная система.

$f\left(x_{1}\right) = 2, f\left(x_{2}\right) = 3$;

$f\left(x_{1}\right) = 2,\left\| f\right\| = 2, f\left(x_{2}\right) \leq 0$.

Пусть $G$ плотно в $X$. Доказать, что $G^{*} = X^{*}$.

Верно ли обратное утверждение?

$f(x) = a_{0}$;

$f(x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k}$;

$f(x) = \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{k} a_{k}$;

$f(x) = \sum_{k = 0}^{N} c_{k} a_{k}$, где $N \in \mathbb {N}$ и $c_{0}, \ldots , c_{N} \in \mathbb {R}$ — фиксированные числа.

$F(x) = x(0)$ для каждой $x \in C(\left[-1,1\right])$;

$F(x) = x(0)$ для каждой $x \in L_{\infty }(\left[-1,1\right])$ такой, что $x$ непрерывна в точке 0 (т.е. существует непрерывная в точке 0 функция $\tilde{x}$ такая, что $x(t) = \tilde{x}(t)$ почти всюду на $\left[-1,1\right]$);

$F(x) = 0$ для каждой $x \in L_{\infty }(\left[-1,1\right])$ такой, что $x$ непрерывна в точке 0;

$F(x) = 0$ для каждой $x \in L_{\infty }(\left[-1,1\right])$ такой, что $x = 0$ почти всюду на $\left[-1,0\right]$ или функция $x$ непрерывна в точке 0.

Доказать, что существует функционал $F \in l_{\infty }^{*}$ такой, что $F(x) = \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}$ для каждой $x \in c ;$

Доказать, что включение $l_{1} \subset l_{\infty }^{*}$ является строгим.

Пусть $l_{\infty }$ — действительное банахово пространство. Доказать, что существует функционал $f \in l_{\infty }^{*}$ такой, что

(a) $\left\| f\right\| = 1$;

(b) $f(e) = 1$ для $e = (1,1,1, \ldots )$;

(c) $f(T x) = f(x)$ для всех $x \in l_{\infty }$, где $T\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) = \left(x_{2}, x_{3}, \ldots \right)$. Любой функционал $f \in l_{\infty }^{*}$ со свойствами

(a)-(c) называется банаховым пределом и обозначается $\operatorname {Lim}_{n \rightarrow \infty } x_{n} = f(x), x \in l_{\infty }$.

Доказать, что $\operatorname {Lim}_{n \rightarrow \infty } x_{n}$ обладает следующими свойствами:

1. если $x_{n} \geq 0, n \geq 1$, то $\operatorname {Lim}_{n \rightarrow \infty } x_{n} \geq 0$;

2. $\liminf_{n \rightarrow \infty } x_{n} \leq \operatorname {Lim}_{n \rightarrow \infty } x_{n} \leq \limsup_{n \rightarrow \infty } x_{n}$;

3. если $x_{n} \rightarrow a, n \rightarrow \infty$, то $\operatorname {Lim}_{n \rightarrow \infty } x_{n} = a$.

Существует $x \in l_{\infty }$ такой, что $x_{n} = 1$ для бесконечного числа индексов $n$, но $\operatorname {Lim}_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 0$.

Существуют $x, y \in l_{\infty }$ такие, что $\operatorname {Lim}_{n \rightarrow \infty } x_{n} y_{n} \neq \operatorname {Lim}_{n \rightarrow \infty } x_{n} \cdot \operatorname {Lim}_{n \rightarrow \infty } y_{n}$.

Пусть $B([0,+\infty ))$ — линейное пространство ограниченных действительных функций на $[0,+\infty )$ с нормой $\left\| x\right\| = \sup_{t \geq 0}\left|x(t)\right|, \quad x \in B([0,+\infty ))$. Доказать, что существует функционал $f \in (B([0,+\infty )))^{*}$ такой, что

(a) $\left\| f\right\| = 1$;

(b) $f(e) = 1$ для $e(t) = 1, t \geq 0$;

(c) $f\left(T_{s} x\right) = f(x)$ для всех $x \in B([0,+\infty ))$ и $s > 0$, где $T_{s} x(t) = x(t+s), t \geq 0$.

Для любого функционала $f \in (B([0,+\infty )))^{*}$ со свойствами (a)-(c) обозначим $\operatorname {Lim}_{t \rightarrow +\infty } x(t) = f(x), x \in B([0,+\infty ))$. Доказать, что $\operatorname {Lim}_{t \rightarrow +\infty } x(t)$ обладает следующими свойствами:

1. если $x(t) \geq 0, t \geq 0$, то $\operatorname {Lim}_{t \rightarrow +\infty } x(t) \geq 0$;

2. $\liminf_{t \rightarrow +\infty } x(t) \leq \operatorname {Lim}_{t \rightarrow +\infty } x(t) \leq \limsup_{t \rightarrow +\infty } x(t)$;

3. если $x(t) \rightarrow a, t \rightarrow +\infty$, то $\operatorname {Lim}_{t \rightarrow +\infty } x(t) = a$.

Пусть $\left\{ x_{1}, \ldots , x_{n}\right\} \subset X$ — линейно независимая система. Доказать, что существует биортогональная к ней система.

Верно ли утверждение пункта (1) для бесконечной системы линейно независимых элементов пространства $X$?

Пусть $\left\{ x_{\alpha }: \alpha \in A\right\} \subset X,\left\{ f_{\alpha }: \alpha \in A\right\} \subset X^{*}$ — биортогональные системы. Верно ли, что система $\left\{ x_{\alpha }: \alpha \in A\right\} \subset X$ линейно независима? Верно ли, что система $\left\{ f_{\alpha }: \alpha \in A\right\} \subset X^{*}$ линейно независима?

При каких условиях на линейно независимую систему $\left\{ x_{\alpha }: \alpha \in A\right\} \subset X$ существует биортогональная система?

Пусть $\left\{ f_{1}, \ldots , f_{n}\right\} \subset X^{*}$ — линейно независимая система. Доказать, что в $X$ существует биортогональная к ней система.

для всех $f \in X^{*}$?

для всех $f$ из тотального подмножества в $X^{*}$?

Пусть $X$ — бесконечномерное НЛП. Показать, что $X^{*}$ — бесконечномерное пространство.

Верно ли обратное утверждение к утверждению (1)?

Как связаны размерности пространств $X$ и $X^{*}$, если оба эти пространства конечномерны?

Каждое рефлексивное НЛП является банаховым пространством?

Если для банахова пространства $X$ множество $\varphi (X)$ плотно в $X^{* *}$, где $\varphi : X \rightarrow X^{* *}$ — каноническое вложение из теоремы 4.3, то $X$ рефлексивно?

с помощью утверждения задачи 4.33.

с помощью утверждения задачи $4.40^{*}$.

следствия 4.1 теоремы Хана-Банаха в $\mathbb {R}^{3}$, если $G$ — прямая, проходящая через начало координат;

следствия 4.2 теоремы Хана-Банаха в $\mathbb {R}^{2}$ и $\mathbb {R}^{3}$.

Доказать, что $M^{\perp }$ является подпространством в $X$.

Чему равно $M^{\perp }$, если $X$ — гильбертово пространство?

Доказать, что $\left\{ x \in X \mid f(x) = 0 \text{ для всех } f \in M^{\perp }\right\} = \overline{\operatorname {span}(M)}$.

Доказать, что если $X$ — рефлексивное пространство и $M \subset X$ — подпространство, то $M^{\perp \perp } = M$ (точнее, $M^{\perp \perp } = \varphi (M)$, где $\varphi : X \rightarrow X^{* *}$ — каноническое вложение из теоремы 4.3).

Верно ли утверждение пункта (4) для нерефлексивного пространства $X$?

Доказать, что $M^{\perp \perp } \cap X = \overline{\operatorname {span}(M)}$ (точнее, $M^{\perp \perp } \cap \varphi (X) = \varphi (\overline{\operatorname {span}(M)})$).

Доказать, что (a) влечёт (b).

Доказать, что если $X$ — рефлексивное банахово пространство, то (b) влечёт (a).

Пусть $X$ — сопряжённое пространство к некоторому банахову пространству, и (b) влечёт (a). Доказать, что пространство $X$ рефлексивно.

Доказать, что если $x \in C(\left[a, b\right])$ и $f(x) = 0$ для всех $f \in M$, то $x = 0$, но множество $M$ не тотально в $(C(\left[a, b\right]))^{*}$.

Найти $\overline{\operatorname {span}(M)}$ в $(C(\left[a, b\right]))^{*}$.

Доказать, что в сепарабельном НЛП $X$ каждый замкнутый шар является пересечением счётного семейства множеств вида $\left\{ x \in X \mid \left|f(x)-b\right| \leq a\right\}$, где $f \in X^{*}, a \in \mathbb {R}, b \in \mathbb {K}$.

Доказать, что в действительном сепарабельном НЛП $X$ каждый замкнутый шар является пересечением счётного семейства множеств вида $\left\{ x \in X \mid f(x) \leq a\right\}$, где $f \in X^{*}, a \in \mathbb {R}$.

Подмножество $G \subset X$ является гиперподпространством тогда и только тогда, когда существует функционал $f \in X^{*} \backslash \left\{ 0\right\}$ такой, что $G = \operatorname {Ker} f$.

Подмножество $M \subset X$ является гиперплоскостью тогда и только тогда, когда существуют функционал $f \in X^{*} \backslash \left\{ 0\right\}$ и $\lambda \in \mathbb {K}$ такие, что $M = \left\{ x \in X \mid f(x) = \lambda \right\}$.

Если функционал $p: X \rightarrow \mathbb {R}$ является полунормой, то $p(x) \geq 0, x \in X$;

Если $p$ — полунорма, то $\left|p(x)-p(y)\right| \leq p(x-y), x, y \in X$;

Если $f$ — линейный функционал на $X$, то функционал $p(x) = \left|f(x)\right|, x \in X$, является полунормой;

Если $p$ — полунорма и $f$ — линейный функционал на $X$ такой, что $f(x) \leq p(x), x \in X$, то $\left|f(x)\right| \leq p(x), x \in X$.

$p$ не обязательно является полунормой;

утверждение пункта (4) задачи 4.52 может быть неверным для $p$.

Если $f$ — линейный функционал на $X$, для которого $\left|f(x)\right| \leq p(x), x \in X$, и $g(x) = \mathrm{Re}\left(f(x)\right), h(x) = \mathrm{Im}\left(f(x)\right), x \in X$, то $g, h$ — линейные функционалы на $X_{\mathbb {R}}$ такие, что $\left|g(x)\right| \leq p(x),\left|h(x)\right| \leq p(x), x \in X$, а также $h(x) = -g(i x), x \in X$.

Если $g$ — линейный функционал на $X_{\mathbb {R}}$, для которого $\left|g(x)\right| \leq p(x), x \in X$, и $f(x) = g(x)-i g(i x), x \in X$, то $f$ — линейный функционал на $X$ такой, что $\left|f(x)\right| \leq p(x), x \in X$.

Если $M_{0}$ — действительная гиперплоскость, то $i M_{0}$ также является действительной гиперплоскостью в $X$.

Множество $M \subset X$ является гиперподпространством в $X$ тогда и только тогда, когда существует действительное гиперподпространство $M_{0}$ в $X$ такое, что $M = M_{0} \cap \left(i M_{0}\right)$.

Если множество $M \subset X$ является гиперплоскостью в $X$, то существуют действительные гиперплоскости $M_{1}, M_{2}$ в $X$ такие, что $M = M_{1} \cap M_{2}$.

Пусть $M(\mathbb {R})$ — линейное пространство ограниченных действительных функций на $\mathbb {R}$ с периодом 1, $p$ — полуаддитивный положительно однородный функционал на $M(\mathbb {R})$, определённый в задаче 4.58, а $F: M(\mathbb {R}) \rightarrow \mathbb {R}$ — линейный функционал такой, что $F(x) \leq p(x), x \in M(\mathbb {R})$ (такой функционал существует согласно задаче 4.57). Доказать, что

(a) если $x(t) \geq 0, t \in \mathbb {R}$, то $F(x) \geq 0$;

(b) $F\left(T_{s} x\right) = F(x)$ для всех $x \in M(\mathbb {R})$ и $s \in \mathbb {R}$, где

(c) $F(e) = 1$ для $e(t) = 1, t \in \mathbb {R}$;

(d) если $x(t) = \chi_{\left[a, b\right]}(t)$ при $t \in [0,1], 0 \leq a < b \leq 1$, то $F(x) = b-a$.

Доказать, что каждый линейный функционал $F$ на $M(\mathbb {R})$, удовлетворяющий условиям (a)-(c), совпадает с интегралом Римана $\int_{0}^{1} x(t) d t$ для интегрируемых по Риману на $\left[0,1\right]$ функций $x$.

Доказать, что функционал $F$, удовлетворяющий условиям (a)-(c), можно выбрать так, чтобы он совпадал с интегралом Лебега $\int_{0}^{1} x(t) d t$ для интегрируемых по Лебегу на $\left[0,1\right]$ функций $x$.

Доказать, что каждому множеству $A \subset [0,1]$ можно сопоставить число $\mu (A)$, «меру» множества $A$, таким образом, что для любых множеств $A \subset [0,1], B \subset [0,1]$ выполняются следующие условия:

(a) если $A \cap B = \varnothing$, то $\mu (A \cup B) = \mu (A)+\mu (B)$;

(b) $\mu (A) \geq 0$;

(c) если множество $A$ можно перевести в множество $B$ параллельным переносом, то $\mu (A) = \mu (B)$;

(d) $\mu (\left[0,1\right]) = 1$.

Пусть множество $A \subset [0,1]$ измеримо по Жордану. Доказать, что $\mu (A)$ равно мере Жордана множества $A$.