Теорема Хана — Банаха

Функционал $f$ на подпространстве $G = \left\{ \left(x_{1}, 0\right) \mid x_{1} \in \mathbb {R}\right\}$ пространства $\mathbb {R}^{2}$ определён формулой $f(x) = \alpha x_{1}, x = \left(x_{1}, 0\right) \in G$, где $\alpha \in \mathbb {R}$ фиксировано.

Описать все линейные продолжения $F$ функционала $f$ на $\mathbb {R}^{2}$. Для каких из этих продолжений $\left\| F\right\| = \left\| f\right\|$, если $\mathbb {R}^{2}$ снабжено нормой $\left\| \cdot \right\|_{p}, 1 \leq p \leq +\infty$? В каких случаях продолжение, сохраняющее норму, единственно?

Пусть $G = \left\{ x \in C(\left[0,1\right]) \mid \int_{0}^{1} x(t) d t = 0, x(1) = 0\right\}$. Построить функционал $f \in (C(\left[0,1\right]))^{*}$ такой, что $f(x) = 0, x \in G$, и $f\left(x_{1}\right) = f\left(x_{2}\right) = 1$, где $x_{1}(t) = 1, x_{2}(t) = 1-t, t \in [0,1]$.

Доказать, что существует ненулевой функционал $F \in \left(L_{\infty }(\left[a, b\right])\right)^{*}$ такой, что

Функционал $f$ определён на подпространстве $G = \left\{ \left(x_{1}, x_{2}, 0\right) \mid x_{1}, x_{2} \in \mathbb {R}\right\}$ пространства $\mathbb {R}^{3}$ формулой $f(x) = \alpha x_{1}+\beta x_{2}, x = \left(x_{1}, x_{2}, 0\right) \in G$, где $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ — некоторые фиксированные числа. Описать все линейные продолжения $F$ функционала $f$ на $\mathbb {R}^{3}$. Для каких из этих продолжений $\left\| F\right\| = \left\| f\right\|$, если $\mathbb {R}^{3}$ снабжено нормой $\left\| \cdot \right\|_{p}, \quad 1 \leq p \leq +\infty$? В каких случаях продолжение, сохраняющее норму, единственно?

Пусть дано $\alpha > 0$, $G = \left\{ \left(x_{1}, x_{1}\right) \mid x_{1} \in \mathbb {R}\right\} \subset \mathbb {R}^{2}, f(x) = \alpha x_{1}, x \in G$. Описать все линейные продолжения $F$ функционала $f$ на $\mathbb {R}^{2}$. Для каких из этих продолжений $\left\| F\right\| = \left\| f\right\|$, если $\mathbb {R}^{2}$ снабжено нормой $\left\| \cdot \right\|_{p}, 1 \leq p \leq +\infty$? В каких случаях продолжение, сохраняющее норму, единственно?

Пусть $f(x) = x_{1}, x \in L = \left\{ x = \left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb {R}^{2} \mid 2 x_{1}-x_{2} = 0\right\}$. Доказать, что существует единственное продолжение $F$ функционала $f$ на евклидово пространство $\mathbb {R}^{2}$, которое сохраняет норму. Найти это продолжение.

Пусть $(T, \mathcal{F}, \mu )$ — пространство с $\sigma$-конечной мерой, $1 \leq p < +\infty , A \in \mathcal{F}$, $G = \left\{ x \in L_{p}(T, \mu ) \mid x(t) = 0 \text{ для почти всех } t \in T \backslash A\right\} , a \in L_{q}(A, \mu ), q$ — сопряжённый показатель к $p$. Описать все непрерывные линейные продолжения $F$ на $L_{p}(T, \mu )$ функционала $f(x) = \int_{A} a(t) x(t) d \mu (t), x \in G$. Для каких из этих продолжений $\left\| F\right\| = \left\| f\right\|$?

Рассмотрим $c_{0}$ как подпространство пространства $c$. Описать все непрерывные линейные продолжения функционала $f \in c_{0}^{*}$ на $c$. Какие из них сохраняют норму?

Пусть $G = \left\{ x \in C(\left[0,1\right]) \mid x(0) = 0\right\}$. Построить непрерывный линейный функционал на $C(\left[0,1\right])$, равный нулю на $G$ и принимающий значение 2 на функции $x_{0}(t) = t+1, t \in [0,1]$.

Пусть $G = \left\{ x \in C(\left[0,1\right]) \mid x(0) = x(1) = 0\right\} , x_{1}(t) = 1, x_{2}(t) = t, t \in \left[0,1\right]$. Построить непрерывный линейный функционал на $C(\left[0,1\right])$, равный нулю на $G$ и такой, что

Пусть $A \subset [0,1]$ — измеримое по Лебегу множество положительной меры Лебега и $G = \left\{ x \in L_{2}(\left[0,1\right]) \mid x = 0 \text{ почти всюду на } A\right\}$. Построить функционал $f \in \left(L_{2}(\left[0,1\right])\right)^{*}$, равный нулю на $G$ и такой, что $f\left(x_{0}\right) = 1$, где $x_{0}(t) = t, t \in [0,1]$. Единственен ли такой функционал?

Пусть $X$ — НЛП и $G$ — линейное подмножество в $X$, которое мы будем рассматривать как НЛП с нормой, индуцированной нормой $X$.

Пусть $\Phi = \left\{ x \in l_{2} \mid \exists n \in \mathbb {N}: x_{k} = 0, k \geq n\right\}$ (множество элементов $l_{2}$, имеющих лишь конечное число ненулевых координат) с нормой $\left\| x\right\| = \left(\sum_{n = 1}^{\infty }\left|x_{n}\right|^{2}\right)^{1 / 2}$. Описать сопряжённое пространство $\Phi^{*}$.

Пусть $P = \left\{ x(t) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} t^{k} \mid n \in \mathbb {N} \cup \left\{ 0\right\} , a_{0}, \ldots , a_{n} \in \mathbb {C} \right\}$ — множество многочленов. Определить, какие из данных линейных функционалов на $P$ допускают непрерывное линейное продолжение на $C(\left[0,1\right])$, и, если такие продолжения существуют, найти их.

Доказать, что существуют ненулевые функционалы $F \in \left(L_{\infty }(\left[-1,1\right])\right)^{*}$ такие, что

Доказать, что существует функционал $F \in l_{\infty }^{*}$ такой, что $F(x) = \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}$ для каждой $x \in c$ и $F(x) = 0$ для каждой $x \in l_{\infty }$ вида $x = \left(0, x_{2}, 0, x_{4}, 0, \ldots \right)$.

Доказать, что включение $L_{1}(\left[a, b\right]) \subset \left(L_{\infty }(\left[a, b\right])\right)^{*}$ является строгим.

Доказать, что для любого банахова предела (см. задачу 4.20):

Пусть $X$ — НЛП, $G \subset X$ — подпространство, $X^{*}$ — строго нормированное пространство (см. задачу 1.94). Доказать, что для каждого функционала из $G^{*}$ существует единственное продолжение на $X^{*}$, сохраняющее норму.

Пусть $f$ — непрерывный линейный функционал на подпространстве $c_{0} \subset l_{\infty }$. Доказать, что существует единственное непрерывное линейное продолжение $f$ на $l_{\infty }$, сохраняющее норму функционала.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A$ — множество индексов. Системы

называются биортогональными, если $f_{\alpha }\left(x_{\beta }\right) = \delta_{\alpha \beta }, \alpha , \beta \in A$, где $\delta_{\alpha \beta }$ — символ Кронекера $\left(\delta_{\alpha \beta } = 0, \alpha \neq \beta , \delta_{\alpha \alpha } = 1\right)$.

Пусть $X$ — НЛП, $\left\{ x_{1}, \ldots , x_{n}\right\} \subset X$ — линейно независимая система и $c_{1}, \ldots , c_{n} \in \mathbb {K}$. Доказать, что существует функционал $f \in X^{*}$ такой, что $f\left(x_{k}\right) = c_{k}, k = 1, \ldots , n$.

Пусть $X$ — НЛП, $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X,\left\{ c_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathbb {K}, M > 0$. Показать, что функционал $f \in X^{*}$ такой, что $f\left(x_{n}\right) = c_{n}, n \geq 1$, и $\left\| f\right\| \leq M$, существует тогда и только тогда, когда для любой конечной системы $\left\{ \lambda_{1}, \ldots , \lambda_{m}\right\} \subset \mathbb {K}$ выполняется неравенство

Верно ли, что в НЛП $X$ элементы $x$ и $y$ равны, если равенство $f(x) = f(y)$ выполняется

Пусть $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\}$ — фиксированная последовательность элементов НЛП $X$, а $L$ — её линейная оболочка. Доказать, что $x \in \bar{L}$ тогда и только тогда, когда для каждого функционала $f \in X^{*}$ равенства $f\left(x_{n}\right) = 0, n \geq 1$, влекут $f(x) = 0$.

Доказать, что система функций $\left\{ t^{100 k}: k \geq k_{0}\right\} , k_{0} \in \mathbb {N}$, тотальна в $L_{p}(\left[a, b\right]), 1 \leq p < +\infty$ при $a \geq 0$.

Пусть $X$ — НЛП, $x \in X$. Доказать, что

Пусть $X$ — рефлексивное банахово пространство. Доказать, что каждый функционал $f \in X^{*}$ достигает максимума своего модуля на $\bar{B}(0,1)$.

Пусть $X$ — НЛП, $G \subset X$ — его подпространство, $x \in X$. Доказать, что элемент $y_{0} \in G$ удовлетворяет условию $\rho (x, G) = \left\| x-y_{0}\right\|$ тогда и только тогда, когда существует функционал $f \in X^{*}$ такой, что $\left\| f\right\| = 1, f(x) = \left\| x-y_{0}\right\|$ и $f(y) = 0, y \in G$.

Доказать, что конечномерное НЛП рефлексивно.

Найти образ $\varphi (y) \in l_{\infty }$ элемента $y \in c$ при каноническом вложении из теоремы 4.3.

Теорема 4.3: Пусть $X$ — НЛП. Отображение $\varphi : X \rightarrow X^{* *}$, где $\varphi (x) = F_{x}, x \in X$, линейно, инъективно и сохраняет норму, т.е. $\left\| F_{x}\right\|_{X^{* *}} = \left\| x\right\|_{X}$.

Доказать, что пространства $c$ и $c_{0}$ нерефлексивны.

Доказать, что подпространство рефлексивного пространства рефлексивно.

Доказать, что банахово пространство $X$ рефлексивно тогда и только тогда, когда сопряжённое пространство $X^{*}$ рефлексивно.

Пусть $X$ — банахово пространство и пространство $X^{*}$ сепарабельно. Доказать, что пространство $X$ сепарабельно. Верно ли обратное утверждение?

Верно ли, что

Доказать, что функционал $F(g) = \int_{0}^{1 / 2} d g(t), g \in B V_{0}(\left[0,1\right])$, линеен и непрерывен на $B V_{0}(\left[0,1\right])$. Вывести отсюда, что пространство $C(\left[0,1\right])$ нерефлексивно.

Доказать нерефлексивность пространств $C(\left[0,1\right])$ и $l_{1}$ с помощью утверждения задачи 4.33;

Объяснить геометрический смысл

Пусть $X$ — НЛП и $M \subset X$ — замкнутое множество. Положим

Пусть $X$ — НЛП. Верно ли, что для произвольного подпространства $L \subset X^{*}$ существует подпространство $M \subset X$ такое, что $L = M^{\perp }$?

Пусть $X$ — банахово пространство, $M \subset X^{*}$. Рассмотрим следующие утверждения:

(a) $M$ — тотальное множество в $X^{*}$;

(b) если $x \in X$ таков, что $f(x) = 0$ для всех $f \in M$, то $x = 0$.

Пусть $M = \left\{ \delta_{t} \mid t \in [a, b]\right\} \subset (C(\left[a, b\right]))^{*}$, где $\delta_{t}(x) = x(t), x \in C(\left[a, b\right])$.

Доказать, что в действительном НЛП $X$ каждый замкнутый шар с центром в точке 0 является пересечением некоторого семейства множеств вида $\left\{ x \in X \mid f(x) \leq a\right\}$, где $f \in X^{*}, a \in \mathbb {R}$.

Пусть $X$ — НЛП. Доказать, что

Пусть $X$ — линейное пространство. Доказать, что

Пусть $p$ — полуаддитивный положительно однородный функционал на действительном линейном пространстве $X$. Доказать, что

Для комплексного линейного пространства $X$ то же пространство, снабжённое операциями сложения и умножения на действительные числа, становится действительным линейным пространством. Оно обозначается через $X_{\mathbb {R}}$ и называется действительным пространством, ассоциированным с $X$. Пусть $p$ — полунорма на $X$. Доказать, что

Пусть $X$ — комплексное НЛП, $X_{\mathbb {R}}$ — действительное пространство, ассоциированное с $X$ (см. задачу 4.54). Гиперплоскость $M_{0}$ в $X_{\mathbb {R}}$ называется действительной гиперплоскостью в $X$. Доказать, что

Доказать, что НЛП $X$ строго нормировано (см. задачу 1.94) тогда и только тогда, когда для каждого функционала $f \in X^{*} \backslash \left\{ 0\right\}$ существует не более одного элемента $x \in \bar{B}(0,1)$, для которого $f(x) = \left\| f\right\|$.

Пусть $X$ — действительное линейное пространство, $p: X \rightarrow \mathbb {R}$ — полуаддитивный положительно однородный функционал. Доказать, что существует линейный функционал $F: X \rightarrow \mathbb {R}$ такой, что $F(x) \leq p(x), x \in X$.

Пусть $M(\mathbb {R})$ — линейное пространство ограниченных действительных функций на $\mathbb {R}$ с периодом 1. Для $x \in M(\mathbb {R})$ определим

где инфимум берётся по всем конечным наборам действительных чисел $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{k}$. Доказать, что $p$ является полуаддитивным положительно однородным функционалом на $M(\mathbb {R})$.