2.1

Примеры с решениями

[5/100%]
Показать
LaTeX
Задача 2.1

Доказать, что скалярное произведение в гильбертовом пространстве является непрерывной функцией по каждому из аргументов.

?
Задача 2.2

Пусть LL и MM — линейные множества в гильбертовом пространстве HH, и L⊥ML \perp M.

?
(1)

Доказать, что для всех x∈L⨁Mx \in L \bigoplus M представление x=x′+x′′,x′∈L,x′′∈Mx = x^{\prime }+x^{\prime \prime }, x^{\prime } \in L, x^{\prime \prime } \in M, единственно.

(2)

Пусть H=L⨁MH = L \bigoplus M. Доказать, что M⊥=LM^{\perp } = L.

Задача 2.3

Найти ортогональное дополнение в L2([−1,1])L_{2}(\left[-1,1\right]) множества всех чётных функций.

?
Примечание.
?

Функция x∈L2([−1,1])x \in L_{2}(\left[-1,1\right]) называется чётной, если x(t)=x(−t)x(t) = x(-t) для почти всех t∈[−1,1]t \in [-1,1]. Понятие нечётной функции вводится аналогично.

Задача 2.4

Пусть LL — тотальное множество в гильбертовом пространстве HH. Доказать, что L⊥={0}L^{\perp } = \left\{ 0\right\}.

?
Задача 2.5

Найти ортогональное дополнение множества M={ekt∣k≥10}M = \left\{ e^{k t} \mid k \geq 10\right\} в L2([0,1])L_{2}(\left[0,1\right]).

?