Гильбертовы пространства

Доказать, что скалярное произведение в гильбертовом пространстве является непрерывной функцией по каждому из аргументов.

Пусть $L$ и $M$ — линейные множества в гильбертовом пространстве $H$, и $L \perp M$.

Найти ортогональное дополнение в $L_{2}(\left[-1,1\right])$ множества всех чётных функций.

Пусть $L$ — тотальное множество в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что $L^{\perp } = \left\{ 0\right\}$.

Найти ортогональное дополнение множества $M = \left\{ e^{k t} \mid k \geq 10\right\}$ в $L_{2}(\left[0,1\right])$.

Пусть $\alpha = \left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \right)$, где $\alpha_{k} > 0, k \geq 1$. Рассмотрим множество $l_{2, \alpha }$ всех числовых последовательностей $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$, для которых $\sum_{k = 1}^{\infty } \alpha_{k}\left|x_{k}\right|^{2} < \infty$. Проверить, что $l_{2, \alpha }$ является гильбертовым пространством со скалярным произведением $(x, y) = \sum_{k = 1}^{\infty } \alpha_{k} x_{k} \overline{y_{k}}, x, y \in l_{2, \alpha }$.

Построить ортонормированный базис в пространстве $l_{2, \alpha }$ в следующих случаях:

Определить, для каких $\alpha = \left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \right)$, где $\alpha_{k} > 0, k \geq 1$, выполняется включение $l_{2, \alpha } \subset l_{2}$.

Доказать, что в банаховых пространствах $c_{0}, l_{p}, L_{p}(\left[a, b\right]), p \neq 2$, норма не порождается скалярным произведением.

Доказать, что для произвольных $x, y, z$ в гильбертовом пространстве выполняется тождество Аполлония:

Доказать, что для произвольных $x, y, z, u$ в гильбертовом пространстве выполняется неравенство Птолемея:

Доказать, что в гильбертовом пространстве над полем $\mathbb {K}$ элементы $x$ и $y$ ортогональны тогда и только тогда, когда

Доказать, что в комплексном гильбертовом пространстве выполняется тождество поляризации:

Как оно выглядит в действительном гильбертовом пространстве?

Пусть $X$ — комплексное НЛП, и пусть функция $S: X \times X \rightarrow \mathbb {C}$ обладает следующими свойствами:

Пусть $X$ — комплексное НЛП, в котором норма удовлетворяет правилу параллелограмма $\left\| x+y\right\|^{2}+\left\| x-y\right\|^{2} = 2\left(\left\| x\right\|^{2}+\left\| y\right\|^{2}\right)$ для всех $x, y \in X$. Доказать, что формула

$x, y \in X$, определяет скалярное произведение в пространстве $X$, и $\left\| \cdot \right\|$ является нормой, порождённой этим скалярным произведением.

Пусть $p$ — измеримая по Лебегу функция на $(a, b)$ такая, что $p(t) > 0$ для почти всех $t \in (a, b)$, и $L_{2, p}(\left[a, b\right]) = \left\{ x \left\lvert \, p^{\frac{1}{2}} x \in L_{2}(\left[a, b\right])\right.\right\}$. Доказать, что $L_{2, p}(\left[a, b\right])$ является гильбертовым пространством со скалярным произведением $(x, y) = \int_{a}^{b} x(t) \overline{y(t)} p(t) d t$. При каких $p$ выполняется включение $L_{2, p}(\left[a, b\right]) \subset L_{2}(\left[a, b\right])$?

Пусть $\left\{ x_{k}: k \geq 1\right\}$ — ортогональная система в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что ряд $\sum_{k = 1}^{\infty } x_{k}$ сходится в $H$ тогда и только тогда, когда $\sum_{k = 1}^{\infty }\left\| x_{k}\right\|^{2} < \infty$.

Доказать, что конечная система $\left\{ x_{1}, \ldots , x_{n}\right\}$ элементов гильбертова пространства линейно независима тогда и только тогда, когда её определитель Грама

отличен от нуля.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $x, y \in H,\left\| x\right\| = \left\| y\right\| = 1, a, b \in \mathbb {R}$. Доказать, что $\left\| a x+b y\right\| = \left\| b x+a y\right\|$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $\left\{ x_{n}\right\} \subset H,\left\{ y_{n}\right\} \subset H$, и $\left\| x_{n}\right\| = \left\| y_{n}\right\| = 1, n \geq$ 1. Доказать, что

Доказать, что элемент $x$ гильбертова пространства $H$ ортогонален подпространству $L$ тогда и только тогда, когда $\left\| x\right\| \leq \left\| x-y\right\|$ для всех $y \in L$.

Доказать, что для произвольного множества $M \subset H$ ортогональное дополнение $M^{\perp }$ является подпространством.

Пусть $M \subset N \subset H$. Доказать, что $M^{\perp } \supset N^{\perp }$.

Доказать, что

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Доказать, что

Пусть $L = \left\{ x \in L_{2}(\mathbb {R}) \mid x(t) = 0, t \geq 0(\bmod m)\right\}$. Доказать, что $L$ является подпространством в $L_{2}(\mathbb {R})$, и найти ортогональное дополнение $L$.

Пусть $L \subset H$. Доказать, что $\overline{\operatorname {span}(L)} = H$ тогда и только тогда, когда $L^{\perp } = \left\{ 0\right\}$.

Найти в $L_{2}(\left[0,1\right])$ ортогональное дополнение множества

Найти в $L_{2}(\left[-1,1\right])$ ортогональное дополнение множества

Найти в $L_{2}(\left[-\pi , \pi \right])$ ортогональное дополнение множества

Найти в $l_{2}$ ортогональное дополнение множества

Доказать, что функция

определяет скалярное произведение в линейном пространстве $C^{1}(\left[a, b\right])$. Пополнение пространства $C^{1}(\left[a, b\right])$ по норме, порождённой этим скалярным произведением, является гильбертовым пространством, называемым пространством Соболева $W_{2}^{1}(\left[a, b\right])$.

Найти ортогональное дополнение множества $\left\{ e^{i k t} \mid k \in \mathbb {Z}\right\}$ в пространстве $W_{2}^{1}(\left[-\pi , \pi \right])$.

Рассмотрим пространство $H$, состоящее из функций $x: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, для которых $\left\{ x \in \mathbb {R} \mid x(t) \neq 0\right\}$ — счётное множество и $\sum_{t \in \mathbb {R}}\left|x(t)\right|^{2} < +\infty$. Доказать, что $H$ является несепарабельным гильбертовым пространством со скалярным произведением $(x, y) = \sum_{t \in \mathbb {R}} x(t) y(t), x, y \in H$.

Доказать, что система функций $\left\{ e^{-i n t} \mid n \in \mathbb {Z}\right\}$ полна в $L_{2}(\left[a, b\right])$ тогда и только тогда, когда $b-a \leq 2 \pi$.

Пусть $L$ — линейная оболочка множества $\left\{ e^{i \lambda t} \mid \lambda \in \mathbb {R}\right\}$, снабжённая скалярным произведением $(x, y) = \lim_{T \rightarrow \infty } \frac{1}{2 T} \int_{-T}^{T} x(t) \overline{y(t)} d t, x, y \in L$. Доказать, что

Доказать, что система функций Хаара

где $x_{k n}(t) = \begin{cases} 2^{\frac{n}{2}}, & t \in \left[\frac{k-1}{2^{n}}, \frac{k-1 / 2}{2^{n}}\right), \\ -2^{\frac{n}{2}}, & t \in \left[\frac{k-1 / 2}{2^{n}}, \frac{k}{2^{n}}\right), \\ 0, & t \in [0,1] \backslash \left[\frac{k-1}{2^{n}}, \frac{k}{2^{n}}\right), \end{cases} \quad x_{0}(t) = 1, t \in [0,1]$, является ортонормированным базисом в пространстве $L_{2}(\left[0,1\right])$.

Проверить, что следующие системы ортогональны в $H$:

Доказать, что в задаче 2.38

В пространстве $L_{2}(\mathbb {R})$ рассмотрим множество

где $C_{0}(\mathbb {R})$ — множество непрерывных функций на $\mathbb {R}$, обращающихся в нуль вне некоторого конечного интервала, см. задачу $1.54^{\circ }$. Доказать, что $M$ плотно в $L_{2}(\mathbb {R})$.

В пространстве $l_{2}$ найти ортогональное дополнение множества

Пусть $M \subset H$, где $H$ — гильбертово пространство. Всегда ли верна формула $H = M \oplus M^{\perp }$?

Пусть $\left\{ e_{n}: n \geq 1\right\}$ — стандартный базис в $l_{2}, x_{1} = \sum_{k = 1}^{\infty } \frac{e_{k}}{k}$ и $H = \operatorname {span}\left(\left\{ x_{1}, e_{k} : k \geq 2\right\} \right) \subset l_{2}$. Доказать, что в предгильбертовом пространстве $H$ множество $M = \left\{ e_{n}: n \geq 2\right\}$ является полной ортонормированной системой, но $\overline{\operatorname {span}(M)} \neq H$.

Доказать, что сепарабельное пространство со скалярным произведением полно тогда и только тогда, когда каждая полная ортонормированная система в этом пространстве является базисом.

Доказать, что в гильбертовом пространстве существует плотное линейное подмножество, не совпадающее со всем пространством, тогда и только тогда, когда пространство бесконечномерно.

Пусть $\left\{ e_{n}: n \geq 1\right\}$ — линейно независимая система элементов гильбертова пространства $H$ такая, что $\sum_{n = 1}^{\infty } c_{n} e_{n} = 0$ для некоторой последовательности $\left\{ c_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathbb {K}$. Верно ли, что $c_{n} = 0, n \geq 1$?

Пусть $H$ — гильбертово пространство над полем $\mathbb {K},\left\{ e_{n}: n \geq 1\right\} \subset H$ — ортонормированная система и $x = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} e_{n}$, где $x_{n} \in \mathbb {K}, n \geq 1$. Доказать, что $x_{n} = \left(x, e_{n}\right), n \geq 1$.

Доказать, что система $\left\{ t^{n}, t \in [0,1]: n \geq 0\right\}$ линейно независима, и её замкнутая линейная оболочка равна $L_{2}(\left[0,1\right])$, но не для каждой $x \in L_{2}(\left[0,1\right])$ существуют коэффициенты $\left\{ c_{n}: n \geq 0\right\}$ такие, что $x(t) = \sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} t^{n}$ (сходимость здесь понимается в смысле сходимости в $L_{2}(\left[0,1\right])$). Противоречит ли это утверждению теоремы 2.6? Почему?

Теорема 2.6: Пусть $\left\{ e_{n}: n \geq 1\right\}$ — ортонормированная последовательность в гильбертовом пространстве $H$. Тогда следующие условия равносильны:

Пусть $D = \bar{B}(0,1) \subset \mathbb {C}$ — замкнутый единичный круг на комплексной плоскости, $A_{2}(D)$ — множество функций $x \in L_{2}(D)$, для которых $x(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} z^{n}$ при $\left|z\right| < 1$. Доказать, что $A_{2}(D)$ является пополнением множества $P(D)$ всех многочленов, определённых на $D$, по норме $L_{2}(D)$.

Применить процесс ортогонализации к последовательности $\left\{ z^{n}: n \geq 0\right\} , z = t+i s$, относительно следующего скалярного произведения на множестве всех многочленов $P(\mathbb {C})$:

Описать пополнение множества $P(\mathbb {C})$.

Пусть $\left\{ \varphi_{n}: n \geq 1\right\}$ и $\left\{ \psi_{n}: n \geq 1\right\}$ — полные ортонормированные системы в $L_{2}\left(X_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1}\right)$ и $L_{2}\left(X_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2}\right)$ соответственно, а $\mu_{i}$ — $\sigma$-конечные меры на $\mathcal{F}_{i}, i = 1,2$. Доказать, что $e_{n, m}(x, y) = \varphi_{n}(x) \psi_{m}(y),(x, y) \in X = X_{1} \times X_{2}, n, m \geq$ 1, является полной ортонормированной системой в $L_{2}(X, \mathcal{F}, \mu )$, где $\mu = \mu_{1} \times \mu_{2}, \mathcal{F} = \sigma \left(\mathcal{F}_{1} \times \mathcal{F}_{2}\right)$.

Доказать, что гильбертово пространство равномерно выпукло (см. задачу 1.98).

Пусть $M$ — непустое замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что в $M$ существует единственный элемент с наименьшей нормой. Показать, что условие выпуклости существенно.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $x_{0} \in H, r > 0$. Для $x \in H \backslash S\left(x_{0}, r\right)$ найти $y \in S\left(x_{0}, r\right)$ такой, что $\rho \left(x, S\left(x_{0}, r\right)\right) = \left\| x-y\right\|$.

Пусть $x \in H$ и $M \subset H$ — замкнутое выпуклое множество в действительном гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что $y \in M$ удовлетворяет условию $\rho (x, M) = \left\| x-y\right\|$ тогда и только тогда, когда $(x-y, y-z) \geq 0$ для всех $z \in M$.

Пусть $L$ — одномерное подпространство гильбертова пространства $H, a \in L, a \neq 0$. Доказать, что $\rho \left(x, L^{\perp }\right) = \frac{\left|(x, a)\right|}{\left\| a\right\| }$ для всех $x \in H$.

Для множества $M_{n} = \left\{ x \in l_{2} \mid \sum_{k = 1}^{n} x_{k} = 0\right\} , n \in \mathbb {N}$, найти $M_{n}^{\perp }, \rho \left(x_{0}, M_{n}\right)$ и $\lim_{n \rightarrow \infty } \rho \left(x_{0}, M_{n}\right)$, где $x_{0} = (1,0, \ldots )$.

Пусть $M, N$ — подпространства гильбертова пространства $H$, и для каждого $x \in H$ существуют единственные $x_{1} \in M$ и $x_{2} \in N$ такие, что $x = x_{1}+x_{2}$. Верно ли, что $N = M^{\perp }$?

Пусть

Доказать, что $M$ и $N$ — подпространства $l_{2}$, множество $M+N$ плотно в $l_{2}$, но $M+N \neq l_{2}$, т.е. $M+N$ не является подпространством $l_{2}$.

Пусть $\left\{ e_{n}: n \geq 1\right\}$ — ортонормированный базис в $H, u_{n} = \cos \frac{1}{n} \cdot e_{2 n}+\sin \frac{1}{n} \cdot e_{2 n+1}$. Доказать, что $\left\{ u_{n}: n \geq 1\right\}$ — ортонормированная система. Положим $M = \overline{\operatorname {span}\left(\left\{ e_{2 n}: n \geq 1\right\} \right)}$ и $N = \operatorname {span}\left(\left\{ u_{n}: n \geq 1\right\} \right)$. Доказать, что линейное множество $M+N$ не замкнуто.

Пусть $M$ и $N$ — подпространства гильбертова пространства $H$. Доказать, что $M+N$ является подпространством $H$, если выполняется следующее условие:

в частности, если $M \perp N$.

Пусть $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} ,\left\{ y_{n}: n \geq 1\right\}$ — ортонормированные системы в $L_{2}(\left[a, b\right])$ и $L_{2}(\left[b, c\right])$ соответственно, $\lambda > 0, \mu > 0, \lambda^{2}+\mu^{2} = 1$. Положим

Доказать, что $\left\{ z_{n}: n \geq 1\right\}$ — ортонормированная система в $L_{2}(\left[a, c\right])$. Обязательно ли $\left\{ z_{n}: n \geq 1\right\}$ является ортонормированным базисом в $L_{2}(\left[a, c\right])$, если $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\}$ и $\left\{ y_{n}: n \geq 1\right\}$ — ортонормированные базисы в $L_{2}(\left[a, b\right])$ и $L_{2}(\left[b, c\right])$ соответственно?

Пусть $a < b < c$ и $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\}$ — произвольная счётная система функций из $L_{2}(\left[a, b\right])$. Доказать, что функции $x_{n}$ можно продолжить на отрезок $\left[b, c\right]$ так, чтобы получить ортогональную систему в $L_{2}(\left[a, c\right])$.

Показать, что функции $x_{n, k}(t) = \sqrt{2} \chi_{\left[k-1, k\right]}(t) \sin \pi n t$ при $n \in \mathbb {N}, k \in \mathbb {N}$ образуют ортонормированный базис в $L_{2}([0,+\infty ))$, а при $n \in \mathbb {N}, k \in \mathbb {Z}$ они образуют ортонормированный базис в $L_{2}(\mathbb {R})$.