Случайные процессы

$\uparrow$ Предположим, что $\left[X_{t}: t \in T\right]$ — случайный процесс на $(\Omega , \mathscr {F}, P)$ и $A \in \mathscr {F}$. Покажите, что существует счётное подмножество $S$ множества $T$, для которого $P\left[A \| X_{t}, t \in T\right]= P\left[A \| X_{t}, t \in S\right]$ с вероятностью 1. Замените $A$ случайной величиной и докажите аналогичный результат.

Пусть $T$ произвольно, и пусть $K(s, t)$ — вещественная функция на $T \times T$. Предположим, что $K$ симметрична в том смысле, что $K(s, t)=K(t, s)$, и неотрицательно определена в том смысле, что $\sum_{i, j=1}^{k} K\left(t_{i}, t_{j}\right) x_{i} x_{j} \geq 0$ при $k \geq 1, t_{1}, \ldots , t_{k}$ из $T$ и вещественных $x_{1}, \ldots , x_{k}$. Покажите, что существует процесс $\left[X_{t}: t \in T\right]$, для которого $\left(X_{t_{1}}, \ldots , X_{t_{k}}\right)$ имеет центрированное нормальное распределение с ковариациями $K\left(t_{i}, t_{j}\right), i, j=1, \ldots , k$.

*Эту тему можно опустить.

Пусть $L$ — борелевское множество на прямой, пусть $\mathscr {L}$ состоит из борелевских подмножеств $L$, и пусть $L^{T}$ состоит из всех отображений из $T$ в $L$. Определите соответствующее понятие цилиндра, и пусть $\mathscr {L}^{T}$ — $\sigma$-алгебра, порождённая цилиндрами. Сформулируйте вариант Теоремы 36.1 для $\left(L^{T}, \mathscr {L}^{T}\right)$. Предположите, что $T$ счётно, и докажите эту теорему не подражая предыдущему доказательству, а заметив, что $L^{T}$ является подмножеством $R^{T}$ и лежит в $\mathscr {R}^{T}$.

Предположим, что случайные величины $X_{1}, X_{2}, \ldots$ принимают значения 0 и 1 и $P\left[X_{n}=1\right.$ б.ч. $]=1$. Пусть $\mu$ — распределение на ( 0,1 ] суммы $\sum_{n=1}^{\infty } X_{n} / 2^{n}$. Покажите, что на единичном интервале с мерой $\mu$ цифры нетерминирующего диадического разложения образуют случайный процесс с теми же конечномерными распределениями, что и $X_{1}, X_{2}, \ldots$.

36.3 ↑ Существует бесконечномерный вариант теоремы Фубини. В конструкции из Задачи 36.3 положим $L=I=(0,1), T=\left\{ 1,2, \ldots \right\}$, пусть $\mathscr {I}$ состоит из борелевских подмножеств $I$, и предположим, что каждое $k$-мерное распределение является $k$-кратным произведением лебеговой меры на единичном интервале. Тогда $I^{T}$ — счётное произведение копий ( 0,1 ), его элементы — последовательности $x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ точек ( 0,1 ), и теорема Колмогорова гарантирует существование на $(I^{T}, \mathscr {A}^{T})$ произведения вероятностных мер $\pi : \pi \left[x: x_{i} \leq \alpha_{i}, i \leq n\right]=\alpha_{1} \cdots \alpha_{n}$ для $0 \leq \alpha_{i} \leq 1$. Пусть $I^{n}$ обозначает $n$-мерный единичный куб.

Не все системы конечномерных распределений могут быть реализованы случайными процессами, для которых $\Omega$ — единичный интервал. Покажите, что на единичном интервале с лебеговой мерой не существует процесса $\left[X_{t}: t \geq 0\right]$, для которого $X_{t}$ независимы и принимают значения 0 и 1 с вероятностью $\frac{1}{2}$ каждое. Сравните с Задачей 1.1.

Вот применение теоремы существования, в котором $T$ не является подмножеством прямой. Пусть $(N, \mathscr {N}, \nu )$ — пространство с мерой, и пусть $T$ состоит из множеств $\mathscr {N}$ конечной $\nu$-меры. Задача состоит в построении обобщённого пуассоновского процесса — случайного процесса $\left[X_{A}: A \in T\right]$, такого что (i) $X_{A}$ имеет пуассоновское распределение со средним $\nu (A)$, и (ii) $X_{A_{1}}, \ldots , X_{A_{n}}$ независимы, если $A_{1}, \ldots , A_{n}$ дизъюнктны. Указание: чтобы определить конечномерные распределения, обобщите следующую конструкцию: для $A, B$ из $T$ рассмотрите независимые случайные величины $Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}$, имеющие пуассоновские распределения со средними $\nu \left(A \cap B^{c}\right), \nu (A \cap B), \nu \left(A^{c} \cap B\right)$, и положим $\mu_{A, B}$ равным распределению $\left(Y_{1}+Y_{2}, Y_{2}+Y_{3}\right)$.

36.2 ↑ Покажите, что $K(s, t)=\min \left\{ s, t\right\}$ неотрицательно определена; используйте Задачу 36.2, чтобы доказать существование процесса с конечномерными распределениями, предписанными для броуновского движения.

Пусть $X(t)$ — независимые стандартные нормальные величины, по одной для каждого диадического рационального $t$ (Теорема 20.4; в качестве вероятностного пространства можно использовать единичный интервал). Пусть $W(0)=0$ и $W(n)=\sum_{k=1}^{n} X(k)$. Предположим, что $W(t)$ уже определена для диадических рациональных ранга $\eta$, и положим

Докажите по индукции, что $W(t)$ для диадических $t$ имеют конечномерные распределения, предписанные для броуновского движения. Теперь постройте броуновское движение с непрерывными траекториями с помощью рассуждения, ведущего к Теореме 37.1. Это позволяет избежать обращения к теореме существования Колмогорова.

↑ Для каждого $n$ определим новые величины $W_{n}(t)$, полагая $W_{n}\left(k / 2^{n}\right)=W\left(k / 2^{n}\right)$ для диадических чисел порядка $n$ и интерполируя линейно между ними. Положим $\delta_{n}= \sup_{t \leq n}\left|W_{n+1}(t)-W_{n}(t)\right|$ и покажите, что

Конструкция из предыдущей задачи показывает, что здесь разность нормальна с дисперсией $1 / 2^{n+2}$. Найдите положительные $x_{n}$, такие что $\sum x_{n}$ и $\sum \mathbb {P}\left(\delta_{n} \geq x_{n}\right)$ оба сходятся, и заключите, что вне множества вероятности 0, $W_{n}(t, \omega )$ сходится равномерно на ограниченных интервалах. Замените $W(t, \omega )$ на $\lim_{n} W_{n}(t, \omega )$. Это даёт ещё одну конструкцию броуновского движения с непрерывными траекториями.

36.6 ↑ Пусть $T=[0, \infty )$, и пусть $P$ — вероятностная мера на $(R^{T}, \mathscr {R}^{T})$, имеющая конечномерные распределения, предписанные для броуновского движения. Пусть $C$ состоит из непрерывных элементов $R^{T}$.

Предположим, что $\left[W_{t}: t \geq 0\right]$ — некоторый случайный процесс с независимыми стационарными приращениями, удовлетворяющий $\mathbb {E}\left[W_{t}\right]=0$ и $\mathbb {E}\left[W_{t}^{2}\right]=t$. Покажите, что если конечномерные распределения сохраняются преобразованием (37.11), то они обязательно являются распределениями броуновского движения.

Покажите, что $\bigcap_{t>0} \sigma \left[W_{s}: s \geq t\right]$ содержит только множества вероятности 0 и 1. Сделайте то же самое для $\bigcap_{\epsilon >0} \sigma \left[W_{t}: 0<t<\epsilon \right]$; приведите примеры множеств в этой $\sigma$-алгебре.

Покажите с помощью прямого рассуждения, что $W(\cdot , \omega )$ с вероятностью $\mathbf{1}$ имеет неограниченную вариацию на $[0,1]$ : Пусть $Y_{n}=\sum_{i=1}^{2^{n}}\left|W\left(i 2^{-n}\right)-W\left((i-1) 2^{-n}\right)\right|$. Покажите, что $Y_{n}$ имеет среднее $2^{n / 2} \mathbb {E}\left[\left|W_{1}\right|\right]$ и дисперсию не более $\operatorname {Var}\left[\left|W_{1}\right|\right]$. Заключите, что $\sum \mathbb {P}\left(Y_{n}<n\right)<\infty$.

Покажите, что пуассоновский процесс, определённый формулой ( 23.5 ), измерим.

Покажите, что при $T=[0, \infty )$ координатный процесс $\left[Z_{t}: t \in T\right]$ на $\left(R^{T}, \mathscr {R}^{T}\right)$ неизмерим.

Распространите Теорему 37.4 на множество $[t: W(t, \omega )=\alpha ]$.

Пусть $\tau_{\alpha }$ — момент первого достижения броуновским движением уровня $\alpha >0: \tau_{\alpha }=\inf \left[t: W_{t} \geq \alpha \right]$. Покажите, что распределение $\tau_{\alpha }$ имеет на $(0, \infty )$ плотность

Покажите, что $\mathbb {E}\left[\tau_{\alpha }\right]=\infty$. Покажите, что $\tau_{\alpha }$ имеет то же распределение, что и $\alpha^{2} / N^{2}$, где $N$ — стандартная нормальная величина.

$\uparrow$ Предположим, что $X_{1}, X_{2}, \ldots$ независимы и каждая имеет распределение (37.46).

$37.11 \uparrow$ Пусть $\rho (s, t)$ — вероятность того, что траектория броуновского движения имеет хотя бы один нуль в $(s, t)$. Из (37.46) и марковского свойства выведите

Указание: обусловьте относительно $W_{s}$.

$\uparrow$

$\uparrow$ Покажите, что $\rho (s, t)=\rho \left(t^{-1}, s^{-1}\right)=\rho (c s, c t)$. Проверьте это с помощью (37.47), а также с помощью того факта, что преобразования (37.11) и (37.12) сохраняют свойства броуновского движения.

Выведите с помощью принципа отражения, что $(M_{t}, W_{t})$ имеет плотность

на множестве, где $y \geq 0$ и $y \geq x$. Теперь выведите из Теоремы 37.8 соответствующую предельную теорему для симметричного случайного блуждания.

Покажите с помощью преобразования (37.12), что для положительных $a$ и $b$ вероятность того, что процесс находится в пределах границ $-a t<W_{1}<b t$ для всех достаточно больших $t$, равна 1. Покажите, что $a /(a+b)$ — вероятность того, что последнее касание происходит сверху, а не снизу.

Вычисление с мартингалом, использованное для (37.39), работает и для наклонных границ. Для положительных $a, b, r$ пусть $\tau$ — наименьшее $t$, такое что либо $W_{t}=-a+r t$, либо $W_{t}=b+r t$, и пусть $p(a, b, r)$ — вероятность того, что выход происходит через верхнюю границу, то есть $W_{\tau }=b+r \tau$.