Задачи, в которых употребляются операции с матрицами и специальные виды матриц (14.33-14.44)

Справедливы ли тождества $(n$ — порядок матрицы $A)$:

Пусть $A$ — квадратная матрица порядка $n; b_{ij}$ — дополнительный минор ее элемента $a_{ij}; c_{ij}$ — алгебраическое дополнение элемента $a_{ij}$; из них образованы матрицы $B = \left(b_{ij}\right)$, $C = \left(c_{ij}\right)$. Доказать, что $\operatorname {det} B = \operatorname {det} C = (\operatorname {det} A)^{n - 1}$.

Доказать, что определитель эрмитовой матрицы вещественное число.

Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен 0.

Доказать, что если матрица $A$ унитарна, то $\left|\operatorname {det} A\right| = 1$.

Доказать, что для любой вещественной матрицы $A$ выполнено $\operatorname {det} AA^{T} \geqslant 0$.

Пусть $B_{1}, \ldots , B_{k}$ — квадратные матрицы, $H =\left[\begin{smallmatrix} B_{1} & & O \\ & \ddots & \\ O & & B_{k}\end{smallmatrix}\right]$ — блочно диагональная матрица. Доказать, что $\operatorname {det} H^{\square } = \operatorname {det} B_{1} \ldots \operatorname {det} B_{k}$.

Пусть $A, D$ — квадратные матрицы, $H =\left[\begin{smallmatrix} A & O \\ B & D\end{smallmatrix}\right]$ — блочно треугольная матрица. Доказать, что

Пусть $A$ — квадратная матрица порядка $n, \operatorname {det} A = a, H =\left[\begin{smallmatrix} A & 2A \\ 3A & 4A\end{smallmatrix}\right]$. Вычислить $\operatorname {det} H^{\square }$.

Пусть $A$ — квадратная матрица, $A^{2}, A^{3}, A^{4}$ — ее степени, $H =\left[\begin{smallmatrix} A & A^{2} \\ A^{3} & A^{4}\end{smallmatrix}\right]$. Вычислить $\operatorname {det} H^{\square }$.

Выразить определитель кронекеровского произведения $A\otimes B$ через определители матриц $A, B$.