§ 14

Определители

[44/64%]
Показать
LaTeX
Подпараграф
14.1 · Перестановки (14.1-14.3)[3/33%]
Задача 14.1
?
(1)

Доказать, что последовательно переставляя соседние числа, можно поменять местами любые два элемента перестановки, сохранив при этом расположение остальных элементов.

(2)

Доказать, что четность перестановки изменится, если в ней поменять местами два элемента.

Задача 14.2
?
(1)

Доказать, что конечное число (k)(k) раз переставляя соседние числа, можно расположить элементы перестановки в порядке возрастания. Однозначно ли определено kk?

(2)

Пусть ss — число нарушений порядка в перестановке. Доказать, что числа kk и ss имеют одинаковую четность.

(3)

Указать последовательность из ss перемен мест в парах соседних чисел, в результате которой все элементы перестановки будут расположены в порядке возрастания.

Задача 14.3

Последовательно переставляя соседние числа, расположить элементы следующих перестановок в порядке возрастания. Найти число нарушений порядка и определить четность перестановки:

?
(1)

(54321)\left(\begin{array}{lllll}5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right)

(2)

(645231)\left(\begin{array}{llllll}6 & 4 & 5 & 2 & 3 & 1\end{array}\right)

(3)

(124563)\left(\begin{array}{llllll}1 & 2 & 4 & 5 & 6 & 3\end{array}\right)

(4)

(124359876)\left(\begin{array}{lllllllll}1 & 2 & 4 & 3 & 5 & 9 & 8 & 7 & 6\end{array}\right)

(5)

(987654321)\left(\begin{array}{lllllllll}9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right)

(6)

(432159876)\left(\begin{array}{lllllllll}4 & 3 & 2 & 1 & 5 & 9 & 8 & 7 & 6\end{array}\right)

(7)

(n,n−1,…,1)(n, n - 1, \ldots , 1)

(8)

(1,3,5,…,2n−1,2,4,6,…,2n)(1, 3, 5, \ldots , 2n - 1, 2, 4, 6, \ldots , 2n)

(9)

(2,4,6,…,2n,1,3,5,…,2n+1)(2, 4, 6, \ldots , 2n, 1, 3, 5, \ldots , 2n + 1).

Подпараграф
14.2 · Вычисление определителей (14.4-14.32)[29/69%]
Задача 14.4

Вычислить определитель второго порядка:

?
(1)

∣A5∣\left|\mathbf{A}_{5}\right|. A5=[1−11−1]\mathbf{A}_{5} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

∣A6∣\left|\mathbf{A}_{6}\right|. A6=[3457]\mathbf{A}_{6} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{smallmatrix}\right].

(3)

∣A7∣\left|\mathbf{A}_{7}\right|. A7=[1+22−52+51−2]\mathbf{A}_{7} = \left[\begin{smallmatrix} 1+\sqrt{2} & 2-\sqrt{5} \\ 2+\sqrt{5} & 1-\sqrt{2} \end{smallmatrix}\right].

(4)

∣A81∣\left|\mathbf{A}_{81}\right|. A81=[1+i2311−i2]\mathbf{A}_{81} = \left[\begin{smallmatrix} 1+i \sqrt{2} & 3 \\ 1 & 1-i \sqrt{2} \end{smallmatrix}\right].

(5)

∣A77∣\left|\mathbf{A}_{77}\right|. A77=[cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α]\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right].

(6)

∣A8∣\left|\mathbf{A}_{8}\right|. A8=[13574136472842328523]\mathbf{A}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} 13574 & 13647 \\ 28423 & 28523 \end{smallmatrix}\right].

Задача 14.5

Вычислить ∣A78∣\left|\mathbf{A}_{78}\right| при ε=eπi/3\varepsilon = e^{\pi i / 3}. A78=[ε1−1ε]\mathbf{A}_{78} = \left[\begin{smallmatrix} \varepsilon & 1 \\ -1 & \varepsilon \end{smallmatrix}\right].

?
Задача 14.6

Пусть x=rcos⁡φ,y=rsin⁡φx = r\cos \varphi , y = r\sin \varphi. Вычислить якобиан

[∂x/∂r∂x/∂φ∂y/∂r∂y/∂φ] \left[\begin{smallmatrix} \partial x / \partial r & \partial x / \partial \varphi \\ \partial y / \partial r & \partial y / \partial \varphi \end{smallmatrix}\right]
?
Задача 14.7

Вычислить определитель третьего порядка:

?
(1)

∣A200∣\left|\mathbf{A}_{200}\right|. A200=[001010100]\mathbf{A}_{200} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(2)

∣A201∣\left|\mathbf{A}_{201}\right|. A201=[21−131−2101]\mathbf{A}_{201} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

∣A202∣\left|\mathbf{A}_{202}\right|. A202=[12221−22−21]\mathbf{A}_{202} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

∣A203∣\left|\mathbf{A}_{203}\right|. A203=[22−12−12−122]\mathbf{A}_{203} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(5)

∣A204∣\left|\mathbf{A}_{204}\right|. A204=[−231362121]\mathbf{A}_{204} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 3 & 1 \\ 3 & 6 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(6)

∣A205∣\left|\mathbf{A}_{205}\right|. A205=[123234345]\mathbf{A}_{205} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(7)

∣A209∣\left|\mathbf{A}_{209}\right|. A209=[1−3−1−27232−4]\mathbf{A}_{209} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -3 & -1 \\ -2 & 7 & 2 \\ 3 & 2 & -4 \end{smallmatrix}\right].

(8)

∣A210∣\left|\mathbf{A}_{210}\right|. A210=[013235357]\mathbf{A}_{210} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{smallmatrix}\right].

(9)

∣A365∣\left|\mathbf{A}_{365}\right|. A365=[1111αα1α2α2]\mathbf{A}_{365} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha \\ 1 & \alpha^{2} & \alpha^{2} \end{smallmatrix}\right].

(10)

∣A364∣\left|\mathbf{A}_{364}\right|. A364=[xyx+yyx+yxx+yxy]\mathbf{A}_{364} = \left[\begin{smallmatrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \end{smallmatrix}\right].

(11)

∣A366∣\left|\mathbf{A}_{366}\right|. A366=[111abca2b2c2]\mathbf{A}_{366} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{smallmatrix}\right].

(12)

∣A368∣\left|\mathbf{A}_{368}\right|. A368=[1+i2i−211+i3i−311+i4i−41]\mathbf{A}_{368} = \left[\begin{smallmatrix} 1+i \sqrt{2} & i-\sqrt{2} & 1 \\ 1+i \sqrt{3} & i-\sqrt{3} & 1 \\ 1+i \sqrt{4} & i-\sqrt{4} & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 14.8

Вычислить ∣A363∣\left|\mathbf{A}_{363}\right| при ω=e2\pii/3\omega = e^{2\pii / 3}. A363=[1111ωω21ω2ω]\mathbf{A}_{363} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} \\ 1 & \omega^{2} & \omega \end{smallmatrix}\right].

?
Задача 14.9

Пусть x=rcos⁡φcos⁡ψ,y=rsin⁡φcos⁡ψ,z=rsin⁡ψx = r\cos \varphi \cos \psi , \quad y = r\sin \varphi \cos \psi , \quad z = r\sin \psi. Вычислить якобиан [∂x/∂r∂x/∂φ∂x/∂ψ∂y/∂r∂y/∂φ∂y/∂ψ∂z/∂r∂z/∂φ∂z/∂ψ]\left[\begin{smallmatrix} \partial x / \partial r & \partial x / \partial \varphi & \partial x / \partial \psi \\ \partial y / \partial r & \partial y / \partial \varphi & \partial y / \partial \psi \\ \partial z / \partial r & \partial z / \partial \varphi & \partial z / \partial \psi \end{smallmatrix}\right].

?
Задача 14.10

Решить относительно неизвестного λ\lambda уравнение:

?
(1)

∣A211−λE∣=0\left|\mathbf{A}_{211} - \lambda E\right| = 0. A211=[300264−2−3−1]\mathbf{A}_{211} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 4 \\ -2 & -3 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

∣A212−λE∣=0\left|\mathbf{A}_{212} - \lambda E\right| = 0. A212=[4−1−121−24−4−1]\mathbf{A}_{212} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 4 & -4 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

∣A213−λE∣=0\left|\mathbf{A}_{213} - \lambda E\right| = 0. A213=[111222333]\mathbf{A}_{213} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{smallmatrix}\right].

Задача 14.11

Сколько слагаемых входит:

?
(1)

в формулу полного разложения определителя четвертого порядка

(2)

в формулу полного разложения определителя пятого порядка?

Задача 14.12
?
(1)

Имеются ли в формуле полного разложения определителя матрицы ∥a2∥\left\| a_{2}\right\| пятого порядка слагаемые a15a12a34a21a43a_{15} a_{12} a_{34} a_{21} a_{43}, a55a12a34a21a43a_{55} a_{12} a_{34} a_{21} a_{43}?

(2)

С какими знаками входят в формулу полного разложения определителя матрицы пятого порядка слагаемые a12a21a34a45a53,a15a23a34a41a52a_{12} a_{21} a_{34} a_{45} a_{53}, a_{15} a_{23} a_{34} a_{41} a_{52}?

Задача 14.13

Пусть в матрице AA порядка nn точно nn элементов равны 1, а остальные — нули. Чему может быть равен определитель матрицы AA?

?
Задача 14.14

Доказать, что определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

?
Задача 14.15

Доказать, что определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

?
Задача 14.16
?
(1)

Как изменится определитель, если в матрице переставить две строки?

(2)

Как изменится определитель, если к одной строке матрицы прибавить другую?

(3)

Как изменится определитель, если одну строку в матрице умножить на число λ\lambda?

(4)

Как будет изменяться определитель, если со столбцами матрицы совершать такие же элементарные преобразования?

Задача 14.17

Изменится ли определитель, если матрицу транспонировать?

?
Задача 14.18

Как изменится определитель, если все элементы матрицы заменить комплексно сопряженными числами?

?
Задача 14.19

Сформулировать несколько достаточных условий, при которых определитель матрицы AA равен 0. Сформулировать необходимое и достаточное условие.

?
Задача 14.20

Пусть det⁡A≠0\operatorname {det} A \neq 0. Доказать, что, применяя к строкам матрицы элементарные преобразования, сохраняющие определитель, можно получить:

?
(1)

треугольную матрицу

(2)

диагональную матрицу.

Задача 14.21

Вычислить определитель четвертого порядка:

?
(1)

∣A430∣\left|\mathbf{A}_{430}\right|. A430=[000−100−1001001000]\mathbf{A}_{430} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(2)

∣A431∣\left|\mathbf{A}_{431}\right|. A431=[00−10000110000−100]\mathbf{A}_{431} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(3)

∣A432∣\left|\mathbf{A}_{432}\right|. A432=[0−1001000000−10010]\mathbf{A}_{432} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(4)

∣A435∣\left|\mathbf{A}_{435}\right|. A435=[0091009200931234]\mathbf{A}_{435} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 9 & 1 \\ 0 & 0 & 9 & 2 \\ 0 & 0 & 9 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(5)

∣A436∣\left|\mathbf{A}_{436}\right|. A436=[1111101100100011]\mathbf{A}_{436} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(6)

∣A437∣\left|\mathbf{A}_{437}\right|. A437=[10−1−2−2−10112000−100]\mathbf{A}_{437} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ -2 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(7)

∣A438∣\left|\mathbf{A}_{438}\right|. A438=[1110−121014100003]\mathbf{A}_{438} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(8)

∣A439∣\left|\mathbf{A}_{439}\right|. A439=[0111−1011−1−101−1−1−10]\mathbf{A}_{439} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(9)

∣A440∣\left|\mathbf{A}_{440}\right|. A440=[0−11−110−11−110−11−110]\mathbf{A}_{440} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(10)

∣A441∣\left|\mathbf{A}_{441}\right|. A441=[2345334544455555]\mathbf{A}_{441} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 4 & 4 & 5 \\ 5 & 5 & 5 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(11)

∣A434∣\left|\mathbf{A}_{434}\right|. A434=[1222212222122221]\mathbf{A}_{434} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(12)

∣A442∣\left|\mathbf{A}_{442}\right|. A442=[33−4−3061154212332]\mathbf{A}_{442} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 3 & -4 & -3 \\ 0 & 6 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(13)

∣A443∣\left|\mathbf{A}_{443}\right|. A443=[2531174375945313275945413425322048]\mathbf{A}_{443} = \left[\begin{smallmatrix} 25 & 31 & 17 & 43 \\ 75 & 94 & 53 & 132 \\ 75 & 94 & 54 & 134 \\ 25 & 32 & 20 & 48 \end{smallmatrix}\right].

(14)

∣A444∣\left|\mathbf{A}_{444}\right|. A444=[54132114321113−22]\mathbf{A}_{444} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & 4 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(15)

∣A445∣\left|\mathbf{A}_{445}\right|. A445=[1/101/21/22/102/101/2−1/2−1/101/10−1/2−1/22/102/10−1/21/2−1/10]\mathbf{A}_{445} = \left[\begin{smallmatrix} 1/\sqrt{10} & 1/2 & 1/2 & 2/\sqrt{10} \\ 2/\sqrt{10} & 1/2 & -1/2 & -1/\sqrt{10} \\ 1/\sqrt{10} & -1/2 & -1/2 & 2/\sqrt{10} \\ 2/\sqrt{10} & -1/2 & 1/2 & -1/\sqrt{10} \end{smallmatrix}\right].

Задача 14.22

Вычислить определитель пятого порядка:

?
(1)

∣A530∣\left|\mathbf{A}_{530}\right|. A530=[1255534666001110012200123]\mathbf{A}_{530} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 5 & 5 & 5 \\ 3 & 4 & 6 & 6 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(2)

∣A532∣\left|\mathbf{A}_{532}\right|. A532=[111001230001111023450491625]\mathbf{A}_{532} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 4 & 9 & 16 & 25 \end{smallmatrix}\right].

(3)

∣A533∣\left|\mathbf{A}_{533}\right|. A533=[1101001031040,1230400500000,1360800000,14900000,15]\mathbf{A}_{533} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 10 & 100 & 10^{3} & 10^{4} \\ 0,1 & 2 & 30 & 400 & 5000 \\ 0 & 0,1 & 3 & 60 & 800 \\ 0 & 0 & 0,1 & 4 & 90 \\ 0 & 0 & 0 & 0,1 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(4)

∣A541∣\left|\mathbf{A}_{541}\right|. A541=[43−4222−1−3−423112−11234−1−11−1−23]\mathbf{A}_{541} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 3 & -4 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & -3 & -4 & 2 \\ 3 & 1 & 1 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -2 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(5)

∣A536∣\left|\mathbf{A}_{536}\right|. A536=[0701014391010502847503010]\mathbf{A}_{536} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 7 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & 9 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 0 \\ 2 & 8 & 4 & 7 & 5 \\ 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 14.23

Вычислить определитель порядка nn:

?
(1)

∣A600∣\left|\mathbf{A}_{600}\right|. A600=[100⋯00010⋯00001⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯10000⋯01]\mathbf{A}_{600} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

∣A601∣\left|\mathbf{A}_{601}\right|. A601=[λ100⋯000λ20⋯0000λ3⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯λn−10000⋯0λn]\mathbf{A}_{601} = \left[\begin{smallmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n} \end{smallmatrix}\right].

(3)

∣A610∣\left|\mathbf{A}_{610}\right|. A610=[100…000310…000…………………000…310000…031]\mathbf{A}_{610} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 3 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

∣A611∣\left|\mathbf{A}_{611}\right|. A611=[310…00031…00………………000…31000…03]\mathbf{A}_{611} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(5)

∣A618∣\left|\mathbf{A}_{618}\right|. A618=[123…n012…n−1……………000…1]\mathbf{A}_{618} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ 0 & 1 & 2 & \ldots & n-1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \end{smallmatrix}\right].

(6)

∣A605∣\left|\mathbf{A}_{605}\right|. A605=[00⋯00λ100⋯0λ2000⋯λ300⋮⋮\iddots⋮⋮⋮0λn−1⋯000λn0⋯000]\mathbf{A}_{605} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \lambda_1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_3 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \iddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \lambda_{n-1} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \lambda_n & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(7)

∣A614∣\left|\mathbf{A}_{614}\right|. A614=[010…0001…0………….000…1100…0]\mathbf{A}_{614} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & . \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{smallmatrix}\right].

(8)

∣A615∣\left|\mathbf{A}_{615}\right|. A615=[010…0001…0………….000…1123…n]\mathbf{A}_{615} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & . \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 1 & 2 & 3 & \ldots & n \end{smallmatrix}\right].

(9)

∣A622∣\left|\mathbf{A}_{622}\right|. A622=[011…11110…00101…00………⋯⋯100…10100…01]\mathbf{A}_{622} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \cdots & \cdots \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(10)

∣A633∣\left|\mathbf{A}_{633}\right|. A633=[123…n−103…n−1−20…n……………−1−2−3…0]\mathbf{A}_{633} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ -1 & 0 & 3 & \ldots & n \\ -1 & -2 & 0 & \ldots & n \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ -1 & -2 & -3 & \ldots & 0 \end{smallmatrix}\right].

(11)

∣A625∣\left|\mathbf{A}_{625}\right|. A625=[122…22212…22………………222…12222…21]\mathbf{A}_{625} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 & \ldots & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & \ldots & 2 & 2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 2 & 2 & 2 & \ldots & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & \ldots & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(12)

∣A626∣\left|\mathbf{A}_{626}\right|. A626=[355…55535…55………………555…35555…53]\mathbf{A}_{626} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 & 5 & \ldots & 5 & 5 \\ 5 & 3 & 5 & \ldots & 5 & 5 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 5 & 5 & 5 & \ldots & 3 & 5 \\ 5 & 5 & 5 & \ldots & 5 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(13)

∣A624∣\left|\mathbf{A}_{624}\right|. A624=[111…11101…11110…11…………⋯…111…01111…10]\mathbf{A}_{624} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \cdots & \ldots \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(14)

∣A628∣\left|\mathbf{A}_{628}\right|. A628=[011…11102…22120…22⋯⋯⋯⋯⋯⋯122…20]\mathbf{A}_{628} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & \ldots & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & \ldots & 2 & 2 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & 2 & 2 & \ldots & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(15)

∣A641∣\left|\mathbf{A}_{641}\right|. A641=[123…n−1n234…n1345…12……………………n12…n−2n−1]\mathbf{A}_{641} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n \\ 2 & 3 & 4 & \ldots & n & 1 \\ 3 & 4 & 5 & \ldots & 1 & 2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \ldots \ldots & \ldots \\ n & 1 & 2 & \ldots & n-2 & n-1 \end{smallmatrix}\right].

(16)

∣A636∣\left|\mathbf{A}_{636}\right|. A636=[2100…001210…000121…00………………0000…210000…12]\mathbf{A}_{636} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(17)

∣A639∣\left|\mathbf{A}_{639}\right|. A639=[0100…00n−1020…000n−203…00……………………0000…0n−10000…10]\mathbf{A}_{639} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ n-1 & 0 & 2 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & n-2 & 0 & 3 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & n-1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(18)

∣A621∣(n=2k)\left|\mathbf{A}_{621}\right|(n = 2k). A621=[100…002010…020…………………020…010200…001]\mathbf{A}_{621} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 2 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 2 & 0 & \ldots & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 14.24

Вычислить определитель порядка nn (полезно получить рекуррентную формулу) (В этой задаче через Δn\Delta_{n} обозначается определитель порядка nn):

?
(1)

∣A623∣\left|\mathbf{A}_{623}\right|. A623=[111…111110…000011…000…⋯…⋯⋯…000…110000…011]\mathbf{A}_{623} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ \ldots & \cdots & \ldots & \cdots & \cdots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

∣A629∣\left|\mathbf{A}_{629}\right|. A629=[1−λ23…n12−λ3…n………………123…n−λ]\mathbf{A}_{629} = \left[\begin{smallmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 & \ldots & n \\ 1 & 2-\lambda & 3 & \ldots & n \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & 2 & 3 & \ldots & n-\lambda \end{smallmatrix}\right].

(3)

∣A631∣\left|\mathbf{A}_{631}\right|. A631=[211…11131…11114…11⋯⋯…⋯⋯⋯111…1n+1]\mathbf{A}_{631} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & \ldots & 1 & 1 \\ \cdots & \cdots & \ldots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & n+1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

∣A632∣\left|\mathbf{A}_{632}\right|. A632=[011…111−101…111−1−10…111…………………−1−1−1…−1−10]\mathbf{A}_{632} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & \ldots & 1 & 1 & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ -1 & -1 & -1 & \ldots & -1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(5)

∣A634∣\left|\mathbf{A}_{634}\right|. A634=[0100…001010…000101…00………………0000…010000…10]\mathbf{A}_{634} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(6)

∣A635∣\left|\mathbf{A}_{635}\right|. A635=[0100…00−1010…000−101…00………………0000…010000…−10]\mathbf{A}_{635} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(7)

∣A644∣\left|\mathbf{A}_{644}\right| («детерминант Вандермонда»). A644=[111…1λ1λ2λ3…λnλ12λ22λ32…λn2…………………λ1n−1λ2n−1λ3n−1…λnn−1]\mathbf{A}_{644} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 & \ldots & \lambda_n \\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \lambda_3^2 & \ldots & \lambda_n^2 \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \ldots \\ \lambda_1^{n-1} & \lambda_2^{n-1} & \lambda_3^{n-1} & \ldots & \lambda_n^{n-1} \end{smallmatrix}\right].

(8)

∣[1−a1nb1n1−a1b1…1−a1nbnn1−a1bn………1−annb1n1−anb1…1−annbnn1−anbn]∣\left|\left[\begin{smallmatrix} \dfrac {1 - a_{1}^{n}b_{1}^{n}}{1 - a_{1}b_{1}} & \ldots & \dfrac {1 - a_{1}^{n}b_{n}^{n}}{1 - a_{1}b_{n}} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \dfrac {1 - a_{n}^{n}b_{1}^{n}}{1 - a_{n}b_{1}} & \ldots & \dfrac {1 - a_{n}^{n}b_{n}^{n}}{1 - a_{n}b_{n}} \end{smallmatrix}\right]\right|;

(9)

∣[1+x1…1+x1n1+x2…1+x2n………1+xn…1+xnn]∣\left|\left[\begin{smallmatrix} 1 + x_{1} & \ldots & 1 + x_{1}^{n} \\ 1 + x_{2} & \ldots & 1 + x_{2}^{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 + x_{n} & \ldots & 1 + x_{n}^{n} \end{smallmatrix}\right]\right|;

(10)

(р) ∣[2α10…0012α1…00012α…00………………000…12α]∣\left|\left[\begin{smallmatrix} 2\alpha & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 2\alpha & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2\alpha & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 2\alpha \end{smallmatrix}\right]\right|;

(11)

∣[2cos⁡φ10…0012cos⁡φ1…00012cos⁡φ…00………………000…12cos⁡φ]∣\left|\left[\begin{smallmatrix} 2\cos \varphi & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 2\cos \varphi & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2\cos \varphi & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 2\cos \varphi \end{smallmatrix}\right]\right|;

(12)

∣[2ch⁡φ10…0012ch⁡φ1…00012ch⁡φ…00………………000…12ch⁡φ]∣\left|\left[\begin{smallmatrix} 2\operatorname {ch} \varphi & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 2\operatorname {ch} \varphi & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2\operatorname {ch} \varphi & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 2\operatorname {ch} \varphi \end{smallmatrix}\right]\right|;

(13)

(р) ∣A638∣\left|\mathbf{A}_{638}\right|. A638=[ab0…000bab…0000ba…000…………⋯……000…bab000…0ba]\mathbf{A}_{638} = \left[\begin{smallmatrix} a & b & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ b & a & b & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & a & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \cdots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & b & a & b \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & b & a \end{smallmatrix}\right].

Задача 14.25

Показать, что определитель матрицы AA порядка nn равен 0, если в ней имеется нулевая подматрица размеров k×lk \times l и k+l>nk + l > n.

?
Задача 14.26

Вычислить det⁡A\operatorname {det} A, зная, что в матрице AA сумма строк с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерами.

?
Задача 14.27

Как изменится определитель, если переставить столбцы матрицы, расположив их в обратном порядке?

?
Задача 14.28

Как изменится определитель, если матрицу транспонировать относительно второй диагонали?

?
Задача 14.29

Числа 1081, 1403, 2093 и 1541 делятся на 23. Объяснить без вычислений, почему число

∣[1081140320931541]∣ \left|\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 8 & 1 \\ 1 & 4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 9 & 3 \\ 1 & 5 & 4 & 1\end{smallmatrix}\right]\right|

также делится на 23.

?
Задача 14.30

Пусть MijM_{ij} — дополнительный минор элемента aija_{ij} матрицы AA. Доказать, что ∑j=1nakjMij(−1)i+j=0\sum_{j = 1}^{n} a_{kj} M_{ij}(- 1)^{i + j} = 0 при k≠i(nk \neq i(n — порядок AA).

?
Задача 14.31
?
(1)

Пусть все элементы матрицы второго порядка являются дифференцируемыми функциями от одной переменной tt. Доказать, что для производной от определителя, рассматриваемого как функция от tt, имеет место формула

∣[a(t)b(t)c(t)d(t)]∣′=∣[a′(t)b′(t)c(t)d(t)]∣+∣[a(t)b(t)c′(t)d′(t)]∣. \left|\left[\begin{smallmatrix} a(t) & b(t) \\ c(t) & d(t) \end{smallmatrix}\right]\right|^{\prime } =\left|\left[\begin{smallmatrix} a^{\prime }(t) & b^{\prime }(t) \\ c(t) & d(t) \end{smallmatrix}\right]\right| +\left|\left[\begin{smallmatrix} a(t) & b(t) \\ c^{\prime }(t) & d^{\prime }(t) \end{smallmatrix}\right]\right|.
(2)

Составить и доказать формулу дифференцирования определителя порядка nn.

Задача 14.32

Доказать, что det⁡(A−λE)\operatorname {det}(A - \lambda E) — многочлен от λ\lambda, и вычислить его коэффициенты.

?
Подпараграф
14.3 · Задачи, в которых употребляются операции с матрицами и специальные виды матриц (14.33-14.44)[12/58%]
Задача 14.33

Справедливы ли тождества (n(n — порядок матрицы A)A):

?
(1)

det⁡(A+B)=det⁡A+det⁡B\operatorname {det}(A + B) = \operatorname {det} A + \operatorname {det} B

(2)

det⁡(λA)=λdet⁡A\operatorname {det}(\lambda A) = \lambda \operatorname {det} A

(3)

det⁡(λA)=λndet⁡A\operatorname {det}(\lambda A) = \lambda^{n} \operatorname {det} A

(4)

det⁡(Ak)=(det⁡A)k\operatorname {det}\left(A^{k}\right) = (\operatorname {det} A)^{k}?

Задача 14.34

Пусть AA — квадратная матрица порядка n;bijn; b_{ij} — дополнительный минор ее элемента aij;cija_{ij}; c_{ij} — алгебраическое дополнение элемента aija_{ij}; из них образованы матрицы B=(bij)B = \left(b_{ij}\right), C=(cij)C = \left(c_{ij}\right). Доказать, что det⁡B=det⁡C=(det⁡A)n−1\operatorname {det} B = \operatorname {det} C = (\operatorname {det} A)^{n - 1}.

?
Задача 14.35

Доказать, что определитель эрмитовой матрицы вещественное число.

?
Задача 14.36

Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен 0.

?
Задача 14.37

Доказать, что если матрица AA унитарна, то ∣det⁡A∣=1\left|\operatorname {det} A\right| = 1.

?
Задача 14.38

Доказать, что для любой вещественной матрицы AA выполнено det⁡AAT⩾0\operatorname {det} AA^{T} \geqslant 0.

?
Задача 14.39

Пусть B1,…,BkB_{1}, \ldots , B_{k} — квадратные матрицы, H=[B1O⋱OBk]H =\left[\begin{smallmatrix} B_{1} & & O \\ & \ddots & \\ O & & B_{k}\end{smallmatrix}\right] — блочно диагональная матрица. Доказать, что det⁡H□=det⁡B1…det⁡Bk\operatorname {det} H^{\square } = \operatorname {det} B_{1} \ldots \operatorname {det} B_{k}.

?
Задача 14.40

Пусть A,DA, D — квадратные матрицы, H=[AOBD]H =\left[\begin{smallmatrix} A & O \\ B & D\end{smallmatrix}\right] — блочно треугольная матрица. Доказать, что

det⁡H□=det⁡A⋅det⁡D. \operatorname {det} H^{\square } = \operatorname {det} A\cdot \operatorname {det} D.
?
Задача 14.41

Пусть AA — квадратная матрица порядка n,det⁡A=a,H=[A2A3A4A]n, \operatorname {det} A = a, H =\left[\begin{smallmatrix} A & 2A \\ 3A & 4A\end{smallmatrix}\right]. Вычислить det⁡H□\operatorname {det} H^{\square }.

?
Задача 14.42

Пусть AA — квадратная матрица, A2,A3,A4A^{2}, A^{3}, A^{4} — ее степени, H=[AA2A3A4]H =\left[\begin{smallmatrix} A & A^{2} \\ A^{3} & A^{4}\end{smallmatrix}\right]. Вычислить det⁡H□\operatorname {det} H^{\square }.

?
Задача 14.43
?
(1)

Пусть A,B,C,EA, B, C, E — квадратные матрицы порядка n,En, E — единичная матрица, H=[ABCE]H =\left[\begin{smallmatrix} A & B \\ C & E\end{smallmatrix}\right]. Доказать, что det⁡H□=det⁡(A−BC)\operatorname {det} H^{\square } = \operatorname {det}(A - BC).

(2)

Всегда ли справедливо равенство det⁡H□=det⁡(AD−BC)\operatorname {det} H^{\square } = \operatorname {det}(AD - BC) для блочной матрицы H=[ABCD]H =\left[\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D\end{smallmatrix}\right]?

Задача 14.44

Выразить определитель кронекеровского произведения A⊗BA\otimes B через определители матриц A,BA, B.

?