Сечения поверхностей второго порядка (10.46-10.76)

Определить вид линии пересечения поверхностей $x^{2} + y^{2} = 2z, x^{2} + y^{2} + z^{2} = 8$ и найти ее параметрические уравнения.

Доказать, что линия пересечения поверхности второго порядка с плоскостью есть алгебраическая линия не выше второго порядка. Привести примеры, когда это линия первого порядка.

Пусть $\mathcal{F}$ — поверхность, определяемая алгебраическим уравнением $F(x, y) = 0, \mathcal{L}$ — непустое множество точек, определяемое уравнениями $F(x, y) = 0, z = 0$. Доказать утверждения:

Найти уравнение проекции линии пересечения поверхностей $x^{2} + 2y^{2} = 2z, x + 2y + z = 1$ на плоскость $Oxy$. Что представляет собой эта линия?

Пусть $\mathcal{S}$ — сечение параболоида $x^{2} + y^{2} = 2z$ плоскостью, которая пересекает положительную полуось $\mathrm{Oz}$ в единственной точке. Доказать, что проекция $\mathcal{S}$ на плоскость $Oxy$ есть окружность.

Доказать, что линия пересечения поверхностей $x^{2} + y^{2} = 2z, x + y + z = 1$ есть эллипс, и найти его параметрические уравнения.

По какой линии пересекаются параболоид $x^{2} - y^{2} = 2z$ и плоскость $x + y + z = 1$?

Найти координаты центра и радиус окружности $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 12x + 4y - 6z + 24 = 0, 2x + 2y + z + 1 = 0$.

Составить параметрические уравнения конуса с вершиной в начале координат и направляющей, определенной уравнениями $x^{2} + y^{2} = 2z, x + y + z = 1$.

Найти уравнение цилиндра с образующей, параллельной оси $Oz$, и направляющей — окружностью $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3, z = 1$.

Образующая цилиндра параллельна оси $Oz$, его направляющая — окружность $x^{2} + y^{2} = 2z, x^{2} + y^{2} + z^{2} = 8$. Найти уравнение цилиндра.

Образующие цилиндра параллельны оси $\mathrm{O} z$, его направляющая — эллипс $x^{2} + y^{2} = 2z, x + y + z = 1$. Доказать, что это — прямой круговой цилиндр, написать его уравнение, найти ось и радиус.

Образующие цилиндра параллельны вектору $\mathbf{a}(1, 1, 1)$, его направляющая — окружность $x^{2} + y^{2} = 2z$, $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 8$. Написать уравнение цилиндра.

Найти уравнение конуса с вершиной в точке $O(0, 0, 0)$ и направляющей — окружностью $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, x + y + z = 1$.

Найти уравнение эллипсоида, плоскости симметрии которого совпадают с плоскостями координат, содержащего точку $M(3, 1, 1)$ и окружность $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9, x - z = 0$.

Доказать, что центры плоских сечений эллиптического цилиндра лежат на его оси.

Найти центр сечения эллипсоида $x^{2} + 2y^{2} + 4z^{2} = 40$ плоскостью:

Пусть $M_{0}(5, 7, 20)$ — точка плоскости, а $\mathbf{p}(- 3 / \sqrt{11}$, $1 / \sqrt{11}, 1 / \sqrt{11}), \quad q(1 / \sqrt{6}, 1 / \sqrt{6}, 2 / \sqrt{6})$ — ортонормированный базис на ней. Написать уравнения линии пересечения этой плоскости и конуса $x^{2} + 5y^{2} - z^{2} = 0$ во внутренней системе координат $M_{0}, \mathbf{p}, \mathbf{q}$. Найти координаты центра линии пересечения и уравнения ее осей симметрии в исходной (пространственной) системе координат.

Найти уравнение множества центров сечений гиперболоида $x^{2} + y^{2} - 3z^{2} = 2$ плоскостями, параллельными плоскости $x + y + z = 1$.

Найти уравнение множества центров сечений параболоида $x^{2} + y^{2} = 2z$ плоскостями, параллельными плоскости $x + y + z = 1$.

Найти уравнения проекций линии пересечения эллипсоида $3x^{2} + 4y^{2} + 5z^{2} = 36$ и сферы $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ на координатные плоскости. Что представляет собой сечение?

Найти уравнения проекций линии пересечения эллипсоидов $x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} = 4, 3x^{2} + 5y^{2} + 6z^{2} = 10$ на координатные плоскости. Что представляет собой эта линия?

Написать уравнения проекций линии пересечения поверхностей $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1, x^{2} - y^{2} = 2z$ на координатные плоскости. Что представляет собой эта линия? Найти ее параметрические уравнения.

Доказать, что линия пересечения параболоида $x^{2} + 2y^{2} = 4z + 10$ и сферы $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$ состоит из двух окружностей. Найти точки пересечения этих окружностей и их радиусы.