Уравнения множеств в пространстве и элементарная теория поверхностей второго порядка

Может ли алгебраическая поверхность второго порядка представлять собой прямую? Плоскость? Пустое множество? Привести примеры.

Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением, содержащим произвольный параметр $\lambda$. Определить тип поверхности при всевозможных $\lambda$:

Написать уравнение сферы:

Найти координаты центра $C$ и радиус $R$ сферы:

Найти координаты центра поверхности, ее полуоси и уравнения плоскостей симметрии, изобразить поверхность в исходной системе координат:

Найти координаты центра поверхности, ее вершин, уравнения оси симметрии и плоскостей симметрии, изобразить поверхность в исходной системе координат:

Определить тип поверхности:

Определить тип поверхности, изобразить поверхность в исходной системе координат:

Найти ось вращения поверхности, изобразить поверхность $x^{2} + z^{2} + x = 0$.

Определить тип поверхности, найти ось вращения, координаты вершин, изобразить поверхность:

Найти координаты центра поверхности, уравнения оси вращения и горловой окружности, определить радиус горловой окружности, изобразить поверхность $x^{2} + 2yz = 1$.

Найти точки пересечения поверхности $x^{2} + y^{2} = z$ и прямой:

Сколько общих точек могут иметь прямая и поверхность второго порядка? Привести примеры.

Определить, лежит ли точка $M(1, 1, 1)$ внутри или вне эллипсоида $x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} = 4$.

Ось $Oz$ направлена вверх. Определить, лежит ли точка $M(1, 1, 1)$ выше или ниже параболоида $x^{2} + 2y^{2} = 2z$.

Привести примеры поверхностей вращения, которые являются алгебраическими поверхностями порядка $2, 3, 4$.

Назвать типы и выписать канонические уравнения цилиндрических поверхностей второго порядка.

Привести примеры џилиндрических поверхностей, которые являются алгебраическими поверхностями порядка 3, 4.

Привести пример цилиндрической поверхности, не являющейся алгебраической.

Привести примеры цилиндров и конусов, не являющихся поверхностями вращения.

Доказать, что всякое уравнение вида $F(x, y, z) = 0$, где $F$ — однородный многочлен, определяет конус с вершиной в начале координат.

Привести пример конической поверхности, не являющейся алгебраической.

Можно ли рассматривать плоскость как частный случай конической поверхности? Как частный случай цилиндра? Как поверхность вращения?

Составить векторное уравнение прямого кругового цилиндра радиуса $R$, имеющего ось $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{0} + \mathbf{a} t$.

Составить векторное уравнение сферы с центром в точке $M_{0}\left(\mathbf{r}_{0}\right)$ и радиусом $R$.

Составить векторное уравнение прямого кругового конуса с вершиной в точке $M_{0}\left(\mathbf{r}_{0}\right)$ и осъю $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{0} + \mathbf{a} t$, зная, что угол между его образующей и осью равен $\alpha$.

Составить векторное уравнение эллипсоида, получаемого вращением эллипса с фокусами в точках $M_{1}\left(\mathbf{r}_{1}\right), M_{2}\left(\mathbf{r}_{2}\right)$ и большой полуосью $a$ вокруг большой оси эллипса.

Найти уравнение поверхности, получаемой вращением параболы $z^{2} = x$:

Найти уравнение и определить тип поверхности, получаемой вращением гиперболы $x^{2} - y^{2} = 2$:

Найти уравнение поверхности, получаемой вращением окружности $x^{2} + y^{2} - 4x + 3 = 0$ вокруг оси $Oy$.

Найти уравнения поверхностей, получаемых вращением гиперболы $xy = 1$ вокруг асимптот.

Доказать, что цилиндрическая поверхность с направляющей, заданной параметрическими уравнениями $x = \varphi (t), y = \psi (t), z = \chi (t)$, и с образующей, параллельной вектору $\mathbf{a}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$, определяется уравнениями $x = \varphi (u) + a_{1} v$, $y = \psi (u) + a_{2} v, z = \chi (u) + a_{3} v$.

Доказать, что конус с направляющей, заданной параметрическими уравнениями $x = \varphi (t), y = \psi (t), z = \chi (t)$, и с вершиной в начале координат определяется уравнениями $x = u\varphi (v), y = u\psi (v), z = u\chi (v)$.

Найти уравнение прямого кругового цилиндра радиуса $\sqrt{2}$ с осью $x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t$.

Найти уравнение прямого кругового цилиндра, проходящего через точку $M(1, 1, 2)$ и имеющего ось $x = 1 + t$, $y = 2 + t, z = 3 + t$.

Найти уравнение прямого кругового конуса с вершиной в начале координат и направлением оси, определяемым вектором $\mathbf{a}(1, 1, 1)$, зная, что образующие конуса составляют с его осью угол $\arccos (1 / \sqrt{3})$.

Найти уравнение и определить тип поверхности, образованной вращением прямой $x = 1 + t, y = z = 3 + t$ вокруг оси $\mathrm{Oz}$.

Найти уравнение и определить тип поверхности, образованной вращением прямой $x = 0, y - z + 1 = 0$ вокруг оси $\mathrm{Oz}$.

Найти уравнение и определить тип поверхности, образованной вращением прямой $x = - t, y = z = 2t$ вокруг прямой $x = y = z$.

Найти уравнение конуса с вершиной в точке $M(1, 1, 1)$, касающегося сферы $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2$.

Найти параметрические уравнения цилиндра с образующей, параллельной вектору $\mathbf{a}(1, 1, 1)$, и направляющей, заданной уравнениями $x = - 1 + 2\cos t, y = - 1 + 2\sin t, z = 3 - 2\cos t - 2\sin t$.

Исключив параметры, получить алгебраическое уравнение поверхности $x = u + \cos v, \quad y = u + \sin v, \quad z = u - \cos v - \sin v$. Что это за поверхность?

Определить вид линии пересечения поверхностей $x^{2} + y^{2} = 2z, x^{2} + y^{2} + z^{2} = 8$ и найти ее параметрические уравнения.

Доказать, что линия пересечения поверхности второго порядка с плоскостью есть алгебраическая линия не выше второго порядка. Привести примеры, когда это линия первого порядка.

Пусть $\mathcal{F}$ — поверхность, определяемая алгебраическим уравнением $F(x, y) = 0, \mathcal{L}$ — непустое множество точек, определяемое уравнениями $F(x, y) = 0, z = 0$. Доказать утверждения:

Найти уравнение проекции линии пересечения поверхностей $x^{2} + 2y^{2} = 2z, x + 2y + z = 1$ на плоскость $Oxy$. Что представляет собой эта линия?

Пусть $\mathcal{S}$ — сечение параболоида $x^{2} + y^{2} = 2z$ плоскостью, которая пересекает положительную полуось $\mathrm{Oz}$ в единственной точке. Доказать, что проекция $\mathcal{S}$ на плоскость $Oxy$ есть окружность.

Доказать, что линия пересечения поверхностей $x^{2} + y^{2} = 2z, x + y + z = 1$ есть эллипс, и найти его параметрические уравнения.

По какой линии пересекаются параболоид $x^{2} - y^{2} = 2z$ и плоскость $x + y + z = 1$?

Найти координаты центра и радиус окружности $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 12x + 4y - 6z + 24 = 0, 2x + 2y + z + 1 = 0$.

Составить параметрические уравнения конуса с вершиной в начале координат и направляющей, определенной уравнениями $x^{2} + y^{2} = 2z, x + y + z = 1$.

Найти уравнение цилиндра с образующей, параллельной оси $Oz$, и направляющей — окружностью $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3, z = 1$.

Образующая цилиндра параллельна оси $Oz$, его направляющая — окружность $x^{2} + y^{2} = 2z, x^{2} + y^{2} + z^{2} = 8$. Найти уравнение цилиндра.

Образующие цилиндра параллельны оси $\mathrm{O} z$, его направляющая — эллипс $x^{2} + y^{2} = 2z, x + y + z = 1$. Доказать, что это — прямой круговой цилиндр, написать его уравнение, найти ось и радиус.

Образующие цилиндра параллельны вектору $\mathbf{a}(1, 1, 1)$, его направляющая — окружность $x^{2} + y^{2} = 2z$, $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 8$. Написать уравнение цилиндра.

Найти уравнение конуса с вершиной в точке $O(0, 0, 0)$ и направляющей — окружностью $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, x + y + z = 1$.

Найти уравнение эллипсоида, плоскости симметрии которого совпадают с плоскостями координат, содержащего точку $M(3, 1, 1)$ и окружность $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9, x - z = 0$.

Доказать, что центры плоских сечений эллиптического цилиндра лежат на его оси.

Найти центр сечения эллипсоида $x^{2} + 2y^{2} + 4z^{2} = 40$ плоскостью:

Пусть $M_{0}(5, 7, 20)$ — точка плоскости, а $\mathbf{p}(- 3 / \sqrt{11}$, $1 / \sqrt{11}, 1 / \sqrt{11}), \quad q(1 / \sqrt{6}, 1 / \sqrt{6}, 2 / \sqrt{6})$ — ортонормированный базис на ней. Написать уравнения линии пересечения этой плоскости и конуса $x^{2} + 5y^{2} - z^{2} = 0$ во внутренней системе координат $M_{0}, \mathbf{p}, \mathbf{q}$. Найти координаты центра линии пересечения и уравнения ее осей симметрии в исходной (пространственной) системе координат.

Найти уравнение множества центров сечений гиперболоида $x^{2} + y^{2} - 3z^{2} = 2$ плоскостями, параллельными плоскости $x + y + z = 1$.

Найти уравнение множества центров сечений параболоида $x^{2} + y^{2} = 2z$ плоскостями, параллельными плоскости $x + y + z = 1$.

Найти уравнения проекций линии пересечения эллипсоида $3x^{2} + 4y^{2} + 5z^{2} = 36$ и сферы $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ на координатные плоскости. Что представляет собой сечение?

Найти уравнения проекций линии пересечения эллипсоидов $x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} = 4, 3x^{2} + 5y^{2} + 6z^{2} = 10$ на координатные плоскости. Что представляет собой эта линия?

Написать уравнения проекций линии пересечения поверхностей $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1, x^{2} - y^{2} = 2z$ на координатные плоскости. Что представляет собой эта линия? Найти ее параметрические уравнения.

Доказать, что линия пересечения параболоида $x^{2} + 2y^{2} = 4z + 10$ и сферы $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$ состоит из двух окружностей. Найти точки пересечения этих окружностей и их радиусы.

Назвать типы поверхностей второго порядка, имеющих прямолинейные образующие.

Может ли число прямолинейных образующих, проходящих через одну точку поверхности второго порядка, равняться 0? 1? 2? 3?.. Может ли оно быть бесконечным? Привести примеры.

Найти уравнение семейства прямолинейных образующих цилиндра $x^{2} - y^{2} = 1$.

Найти уравнение семейства прямолинейных образующих конуса $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0$.

Найти прямолинейные образующие параболоида $4x^{2} - y^{2} = 16z$, пересекающиеся в точке $M(2, 0, 1)$.

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки $M(1, 1, 1)$ и $N(2, 0, 2)$ и пересекающей параболоид $x^{2} - y^{2} = 2z$ по паре прямых.

Найти уравнение плоскости, пересекающей гиперболоид $x^{2} + 4y^{2} - 9z^{2} = 36$ по паре прямых, проходящих через точку $M(6, - 3, 2)$.

Даны параболоид $x^{2} - y^{2} = 2z$ и плоскость $x + y + z = 1$. Найти уравнение плоскости, параллельной данной и пересекающей параболоид по паре прямых. Найти уравнения этих прямых и угол между ними.

Две прямолинейные образующие гиперболоида вращения $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ пересекаются в точке, принадлежащей плоскости $z = h$. Найти угол между ними:

Найти множество точек поверхности $\mathcal{S}$, в которых пересекаются ее взаимно ортогональные прямолинейные образуюшие, если $\mathcal{S}$ определена уравнением:

Доказать, что проекции прямолинейных образующих параболоида $x^{2} - y^{2} = 2z$ на плоскость $Oxz$ касаются параболы $x^{2} = 2z$.

Доказать, что проекции прямолинейных образующих гиперболоида $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ на плоскость $Oxy$ касаются окружности $x^{2} + y^{2} = 1$.