Банк задач по математике

Задача 9B.1

Пусть $\nu$ — вещественная мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$ . Докажите, что разложение Хана для $\nu$ почти единственно в том смысле, что если $A, B$ и $A^{\prime }, B^{\prime }$ — пары, удовлетворяющие теореме о разложении Хана (9.23), то

\left|\nu \right|\left(A \backslash A^{\prime }\right) = \left|\nu \right|\left(A^{\prime } \backslash A\right) = \left|\nu \right|\left(B \backslash B^{\prime }\right) = \left|\nu \right|\left(B^{\prime } \backslash B\right) = 0

?

Задача 9B.2

Пусть $\mu$ — (положительная) мера, а $g, h \in \mathcal{L}^{1}(\mu )$ . Докажите, что $g \; d \mu \perp h \; d \mu$ тогда и только тогда, когда $g(x) h(x) = 0$ для почти всех $x \in X$ .

?

Задача 9B.3

(a)(b)(c)

Пусть $\nu$ и $\mu$ — комплексные меры на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$ . Покажите, что следующие условия эквивалентны:

?

(a)

$\nu \perp \mu$ .

(b)

$\left|\nu \right| \perp \left|\mu \right|$ .

(c)

$\operatorname {Re} \nu \perp \mu$ и $\operatorname {Im} \nu \perp \mu$ .

Задача 9B.4

Пусть $\nu$ и $\mu$ — комплексные меры на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$ . Докажите, что если $\nu \perp \mu$ , то $\left|\nu +\mu \right| = \left|\nu \right|+\left|\mu \right|$ и $\left\| \nu +\mu \right\| = \left\| \nu \right\| +\left\| \mu \right\|$ .

?

Задача 9B.5

Пусть $\nu$ и $\mu$ — конечные (положительные) меры на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$ . Докажите, что $\nu \perp \mu$ тогда и только тогда, когда $\left\| \nu -\mu \right\| = \left\| \nu \right\| +\left\| \mu \right\|$ .

?

Задача 9B.6

Пусть $\mu$ — комплексная или положительная мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$ . Докажите, что

\left\{ \nu \in \mathcal{M}_{\mathbf{F}}(\mathcal{S}): \nu \perp \mu \right\}

является замкнутым подпространством $\mathcal{M}_{\mathrm{F}}(\mathcal{S})$ .

?

Задача 9B.7

Используя канторово множество, докажите, что существует (положительная) мера $\nu$ на $(\mathbb {R}, \mathcal{B})$ , такая что $\nu \perp \lambda$ и $\nu (\mathbb {R}) \neq 0$ , но $\nu (\left\{ x\right\} ) = 0$ для каждого $x \in \mathbb {R}$ ; здесь $\lambda$ обозначает меру Лебега на $\sigma$ -алгебре $\mathcal{B}$ борелевских подмножеств $\mathbb {R}$ .

?

Примечание.

?

Пример 9.29 (второй пункт): пусть $r_{1}, r_{2}, \ldots$ — список рациональных чисел, и пусть $w_{1}, w_{2}, \ldots$ — ограниченная последовательность комплексных чисел. Определим комплексную меру $\nu$ на $(\mathbb {R}, \mathcal{B})$ формулой $\nu (E) = \sum_{\left\{ k \in \mathbb {N}: r_{k} \in E\right\} } \frac{w_{k}}{2^{k}}$ для $E \in \mathcal{B}$ . Тогда $\nu \perp \lambda$ , потому что $\nu$ сосредоточена на $\mathbb {Q}$ , а $\lambda$ — на $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ .

Второй пункт в примере 9.29 не даёт примера требуемого поведения, поскольку в этом примере $\nu \left(\left\{ r_{k}\right\} \right) \neq 0$ для всех $k \in \mathbb {N}$ с $w_{k} \neq 0$ .

Задача 9B.8

Пусть $\nu$ — вещественная мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$ . Докажите, что

\nu ^{+}(E) = \sup \left\{ \nu (D): D \in \mathcal{S} \text{ и } D \subseteq E\right\}

и

\nu ^{-}(E) = -\inf \left\{ \nu (D): D \in \mathcal{S} \text{ и } D \subseteq E\right\}

для всех $E \in \mathcal{S}$ .

?

Задача 9B.9

Пусть $\mu$ — (положительная) конечная мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$ , а $h$ — неотрицательная функция из $\mathcal{L}^{1}(\mu )$ . Тогда $h \; d \mu \ll d \mu$ . Найдите разумное условие на $h$ , эквивалентное условию $d \mu \ll h \; d \mu$ .

?

Задача 9B.10

(a)(b)(c)

Пусть $\mu$ — (положительная) мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$ , а $\nu$ — комплексная мера на $(X, \mathcal{S})$ . Покажите, что следующие условия эквивалентны:

?

(a)

$\nu \ll \mu$ .

(b)

$\left|\nu \right| \ll \mu$ .

(c)

$\operatorname {Re} \nu \ll \mu$ и $\operatorname {Im} \nu \ll \mu$ .

Задача 9B.11

Пусть $\mu$ — (положительная) мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$ , а $\nu$ — вещественная мера на $(X, \mathcal{S})$ . Покажите, что $\nu \ll \mu$ тогда и только тогда, когда $\nu^{+} \ll \mu$ и $\nu^{-} \ll \mu$ .

?

Задача 9B.12

Пусть $\mu$ — (положительная) мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$ . Докажите, что

\left\{ \nu \in \mathcal{M}_{\mathbf{F}}(\mathcal{S}): \nu \ll \mu \right\}

является замкнутым подпространством $\mathcal{M}_{\mathrm{F}}(\mathcal{S})$ .

?

Задача 9B.13

Приведите пример, показывающий, что теорема Радона–Никодима (9.36) может не выполняться, если убрать предположение о $\sigma$ -конечности.

?

Задача 9B.14

(a)(b)(c)

Пусть $\mu$ — (положительная) $\sigma$ -конечная мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$ , а $\nu$ — комплексная мера на $(X, \mathcal{S})$ . Покажите, что следующие условия эквивалентны:

?

(a)

$\nu \ll \mu$ .

(b)

Для каждого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ , такое что $\left|\nu (E)\right| < \varepsilon$ для любого множества $E \in \mathcal{S}$ с $\mu (E) < \delta$ .

(c)

Для каждого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ , такое что $\left|\nu \right|(E) < \varepsilon$ для любого множества $E \in \mathcal{S}$ с $\mu (E) < \delta$ .

Задача 9B.15

Докажите утверждение 9.42 в случае $p = 1$ .

?

Примечание.

?

С дополнительным предположением, что $\mu$ — $\sigma$ -конечная (положительная) мера.

Теорема 9.42 (сопряжённое пространство к $L^p(\mu )$ есть $L^{p'}(\mu )$ ): пусть $\mu$ — (положительная) мера и $1 \leq p < \infty$ (с дополнительным предположением, что $\mu$ — $\sigma$ -конечная мера, если $p = 1$ ). Для $h \in L^{p'}(\mu )$ определим $\varphi_h: L^p(\mu ) \rightarrow \mathbf{F}$ формулой $\varphi_h(f) = \int fh \, d\mu$ . Тогда отображение $h \mapsto \varphi_h$ является взаимно однозначным линейным отображением из $L^{p'}(\mu )$ на $\left(L^p(\mu )\right)'$ . Более того, $\left\| \varphi_h\right\| = \left\| h\right\|_{p'}$ для всех $h \in L^{p'}(\mu )$ .

Задача 9B.16

Объясните, в каком месте доказательство 9.42 перестаёт работать при $p = \infty$ .

?

Примечание.

?

Теорема 9.42 (сопряжённое пространство к $L^p(\mu )$ есть $L^{p'}(\mu )$ ): пусть $\mu$ — (положительная) мера и $1 \leq p < \infty$ (с дополнительным предположением, что $\mu$ — $\sigma$ -конечная мера, если $p = 1$ ). Для $h \in L^{p'}(\mu )$ определим $\varphi_h: L^p(\mu ) \rightarrow \mathbf{F}$ формулой $\varphi_h(f) = \int fh \, d\mu$ . Тогда отображение $h \mapsto \varphi_h$ является взаимно однозначным линейным отображением из $L^{p'}(\mu )$ на $\left(L^p(\mu )\right)'$ . Более того, $\left\| \varphi_h\right\| = \left\| h\right\|_{p'}$ для всех $h \in L^{p'}(\mu )$ .

Задача 9B.17

Докажите, что если $\mu$ — (положительная) мера и $1 < p < \infty$ , то $L^{p}(\mu )$ рефлексивно.

?

Примечание.

?

Определение рефлексивности см. перед упражнением 19 в разделе 7B.

Задача 9B.18

Докажите, что $L^{1}(\mathbb {R})$ не рефлексивно.

?

Теоремы о разложении