Полная вариация

Докажите или приведите контрпример: если $\nu$ — вещественная мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$ и $A, B \in \mathcal{S}$ таковы, что $\nu (A) \geq 0$ и $\nu (B) \geq 0$, то $\nu (A \cup B) \geq 0$.

Пусть $\nu$ — вещественная мера на $(X, \mathcal{S})$. Определим $\mu : \mathcal{S} \rightarrow [0, \infty )$ формулой

Докажите, что $\mu$ является (положительной) мерой на $(X, \mathcal{S})$ тогда и только тогда, когда область значений $\nu$ содержится в $[0, \infty )$ или область значений $\nu$ содержится в $(-\infty , 0]$.

Пусть $\nu$ — комплексная мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$. Докажите, что $\left|\nu \right|(X) = \nu (X)$ тогда и только тогда, когда $\nu$ является (положительной) мерой.

Пусть $\nu$ — комплексная мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$. Докажите, что если $E \in \mathcal{S}$, то

Пусть $\mu$ — (положительная) мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$, а $h$ — неотрицательная функция из $\mathcal{L}^{1}(\mu )$. Пусть $\nu$ — (положительная) мера на $(X, \mathcal{S})$, определённая как $d \nu = h d \mu$. Докажите, что

для всех $S$-измеримых функций $f: X \rightarrow [0, \infty ]$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с (положительной) мерой. Докажите, что

является замкнутым подпространством $\mathcal{M}_{\mathrm{F}}(\mathcal{S})$.

Пусть $t > 0$, а $\lambda$ — мера Лебега на $\sigma$-алгебре борелевских подмножеств $[0, t]$. Пусть $h:[0, t] \rightarrow \mathbb {C}$ — функция, определённая как

Пусть $\nu$ — комплексная мера, определённая как $d \nu = h d \lambda$.

Приведите пример, показывающий, что утверждение 9.9 может не выполняться, если предположение о том, что $\nu$ — вещественная мера, заменить предположением о том, что $\nu$ — комплексная мера.

Пусть $(X, \mathcal{S})$ — измеримое пространство с $\mathcal{S} \neq \left\{ \varnothing , X\right\}$. Докажите, что норма полной вариации на $\mathcal{M}_{\mathrm{F}}(\mathcal{S})$ не порождается скалярным произведением. Иными словами, покажите, что не существует скалярного произведения $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle$ на $\mathcal{M}_{\mathrm{F}}(\mathcal{S})$, такого что $\left\| \nu \right\|_{\mathbf{F}} = \left\langle \nu , \nu \right\rangle^{1 / 2}$ для всех $\nu \in \mathcal{M}(\mathcal{S})$, где $\left\| \cdot \right\|_{\mathbf{F}}$ — обычная норма полной вариации на $\mathcal{M}(\mathcal{S})$.

Для измеримого пространства $(X, \mathcal{S})$ и $b \in X$ определим конечную (положительную) меру $\delta_{b}$ на $(X, \mathcal{S})$ формулой

для $E \in \mathcal{S}$.