Пространства $L^{p}$

Пусть $\mu$ — мера. Докажите, что

для всех $f, g \in \mathcal{L}^{\infty }(\mu )$ и всех $\alpha \in \mathbf{F}$. Сделайте вывод, что с обычными операциями сложения и умножения функций на скаляр $\mathcal{L}^{\infty }(\mu )$ является векторным пространством.

Пусть $a \geq 0, b \geq 0$ и $1 < p < \infty$. Докажите, что

тогда и только тогда, когда $a^{p} = b^{p^{\prime }}$.

Пусть $a_{1}, \ldots , a_{n}$ — неотрицательные числа. Докажите, что

Докажите неравенство Гёльдера (7.9) в случаях $p = 1$ и $p = \infty$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, $1 < p < \infty$, $f \in \mathcal{L}^{p}(\mu )$ и $h \in \mathcal{L}^{p^{\prime }}(\mu )$. Докажите, что неравенство Гёльдера (7.9) обращается в равенство тогда и только тогда, когда существуют неотрицательные числа $a$ и $b$, не равные одновременно нулю, такие, что

для почти всех $x \in X$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, $f \in \mathcal{L}^{1}(\mu )$ и $h \in \mathcal{L}^{\infty }(\mu )$. Докажите, что $\left\| f h\right\|_{1} = \left\| f\right\|_{1}\left\| h\right\|_{\infty }$ тогда и только тогда, когда

для почти всех $x \in X$ таких, что $f(x) \neq 0$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, а $f, h: X \rightarrow \mathbf{F}$ — $\mathcal{S}$-измеримые функции. Докажите, что

для всех положительных чисел $p, q, r$ таких, что $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = \frac{1}{r}$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой и $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что

для всех положительных чисел $p_{1}, \ldots , p_{n}$ таких, что $\frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{p_{2}}+\cdots +\frac{1}{p_{n}} = 1$, и всех $\mathcal{S}$-измеримых функций $f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n}: X \rightarrow \mathbf{F}$.

Покажите, что формула из 7.12 верна при $p = \infty$, если $\mu$ — $\sigma$-конечная мера.

Пусть $0 < p < q \leq \infty$.

Покажите, что $\bigcap_{p > 1} \ell^{p} \neq \ell^{1}$.

Покажите, что $\bigcap_{p < \infty } \mathcal{L}^{p}([0,1]) \neq \mathcal{L}^{\infty }([0,1])$.

Покажите, что $\bigcup_{p > 1} \mathcal{L}^{p}([0,1]) \neq \mathcal{L}^{1}([0,1])$.

Пусть $p, q \in (0, \infty ]$, причём $p \neq q$. Докажите, что ни одно из множеств $\mathcal{L}^{p}(\mathbb {R})$ и $\mathcal{L}^{q}(\mathbb {R})$ не является подмножеством другого.

Покажите, что существует $f \in \mathcal{L}^{2}(\mathbb {R})$ такая, что $f \notin \mathcal{L}^{p}(\mathbb {R})$ для всех $p \in (0, \infty ] \backslash \left\{ 2\right\}$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с конечной мерой. Докажите, что

для каждой $\mathcal{S}$-измеримой функции $f: X \rightarrow \mathbf{F}$.

Пусть $\mu$ — мера, $0 < p \leq \infty$ и $f \in \mathcal{L}^{p}(\mu )$. Докажите, что для каждого $\varepsilon > 0$ существует простая функция $g \in \mathcal{L}^{p}(\mu )$ такая, что $\left\| f-g\right\|_{p} < \varepsilon$.

Пусть $0 < p < \infty$ и $f \in \mathcal{L}^{p}(\mathbb {R})$. Докажите, что для каждого $\varepsilon > 0$ существует ступенчатая функция $g \in \mathcal{L}^{p}(\mathbb {R})$ такая, что $\left\| f-g\right\|_{p} < \varepsilon$.

Пусть $0 < p < \infty$ и $f \in \mathcal{L}^{p}(\mathbb {R})$. Докажите, что для каждого $\varepsilon > 0$ существует непрерывная функция $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbf{F}$ такая, что $\left\| f-g\right\|_{p} < \varepsilon$ и множество $\left\{ x \in \mathbb {R}: g(x) \neq 0\right\}$ ограничено.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, $1 < p < \infty$ и $f, g \in \mathcal{L}^{p}(\mu )$. Докажите, что неравенство Минковского (7.14) обращается в равенство тогда и только тогда, когда существуют неотрицательные числа $a$ и $b$, не равные одновременно нулю, такие, что

для почти всех $x \in X$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой и $f, g \in \mathcal{L}^{1}(\mu )$. Докажите, что

тогда и только тогда, когда $f(x) \overline{g(x)} \geq 0$ для почти всех $x \in X$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ и $(Y, \mathcal{T}, v)$ — $\sigma$-конечные пространства с мерой и $0 < p < \infty$. Докажите, что если $f \in \mathcal{L}^{p}(\mu \times v)$, то

и

где $[f]_{x}$ и $[f]^{y}$ — сечения $f$, как определено в 5.7.

Пусть $1 \leq p < \infty$ и $f \in \mathcal{L}^{p}(\mathbb {R})$.

Пусть $1 \leq p < \infty$ и $f \in \mathcal{L}^{p}(\mathbb {R})$. Докажите, что

для почти всех $b \in \mathbb {R}$.

Пусть $n > 1$ и $0 < p < 1$. Докажите, что если $\left\| \cdot \right\|$ определена на $\mathbf{F}^{n}$ формулой

то $\left\| \cdot \right\|$ не является нормой на $\mathbf{F}^{n}$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и $1 \leq p \leq \infty$. Докажите, что если $f: X \rightarrow \mathbf{F}$ — $\mathcal{S}$-измеримая функция такая, что $\overline{f h} \in \mathcal{L}^{1}(\mu )$ для каждой $h \in \mathcal{L}^{p^{\prime }}(\mu )$, то $f \in \mathcal{L}^{p}(\mu )$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой и $0 < p < 1$. Покажите, что

для всех $\mathcal{S}$-измеримых функций $f, g: X \rightarrow \mathbf{F}$.

Докажите, что $L^{p}(\mu )$ с операциями сложения и умножения на скаляр, определёнными в 7.16, и нормой, определённой в 7.17, является нормированным векторным пространством. Иными словами, докажите 7.18.

Докажите 7.20 для случая $p = \infty$.

Докажите, что 7.20 выполняется также для $p \in (0,1)$.

Докажите, что 7.23 выполняется также для $p \in (0,1)$.

Пусть $1 \leq p \leq \infty$. Докажите, что

не является открытым подмножеством $\ell^{p}$.

Покажите, что существует последовательность $f_{1}, f_{2}, \ldots$ функций из $\mathcal{L}^{1}([0,1])$ такая, что $\lim_{k \rightarrow \infty }\left\| f_{k}\right\|_{1} = 0$, но

для каждого $x \in [0,1]$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, $1 \leq p \leq \infty , f \in \mathcal{L}^{p}(\mu )$, и $f_{1}, f_{2}, \ldots$ — последовательность в $\mathcal{L}^{p}(\mu )$ такая, что $\lim_{k \rightarrow \infty }\left\| f_{k}-f\right\|_{p} = 0$. Покажите, что если $g: X \rightarrow \mathbf{F}$ — функция такая, что $\lim_{k \rightarrow \infty } f_{k}(x) = g(x)$ для почти всех $x \in X$, то $f(x) = g(x)$ для почти всех $x \in X$.

Пусть

Наделим $c_{0}$ нормой, которую оно наследует как подпространство $\ell^{\infty }$.

Пусть $1 \leq p \leq 2$.

Пусть $2 \leq p < \infty$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, $1 \leq p, q \leq \infty$, и $h: X \rightarrow \mathbf{F}$ — $\mathcal{S}$-измеримая функция такая, что $h f \in L^{q}(\mu )$ для каждой $f \in L^{p}(\mu )$. Докажите, что отображение $f \mapsto h f$ является непрерывным линейным отображением из $L^{p}(\mu )$ в $L^{q}(\mu )$.

Докажите, что если $1 < p < \infty$, то $\ell^{p}$ рефлексивно.

Докажите, что $\ell^{1}$ не рефлексивно.

Покажите, что при естественных отождествлениях каноническая изометрия $c_{0}$ в его второе сопряжённое пространство является отображением включения $c_{0}$ в $\ell^{\infty }$ (определение $c_{0}$ и отождествление его сопряжённого пространства см. в упражнении 15).

Пусть $1 \leq p < \infty$ и $V, W$ — банаховы пространства. Покажите, что $V \times W$ — банахово пространство, если норма на $V \times W$ определена как

для $f \in V$ и $g \in W$.