Вероятностные меры

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$ — вероятностное пространство и $A \in \mathcal{F}$. Докажите, что события $A$ и $\Omega \backslash A$ независимы тогда и только тогда, когда $\mathbb {P}\left(A\right) = 0$ или $\mathbb {P}\left(A\right) = 1$.

Пусть $\mathbb {P}$ — мера Лебега на $[0,1]$. Приведите пример двух непересекающихся борелевских подмножеств $A$ и $B$ множества $[0,1]$, таких что $\mathbb {P}\left(A\right) = \mathbb {P}\left(B\right) = \frac{1}{2},\left[0, \frac{1}{2}\right]$ и $A$ независимы, а $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ и $B$ независимы.

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$ — вероятностное пространство и $A, B \in \mathcal{F}$. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$ — вероятностное пространство и $\left\{ A_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — семейство событий. Докажите, что семейство $\left\{ A_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ независимо тогда и только тогда, когда семейство $\left\{ \Omega \backslash A_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ независимо.

Приведите пример вероятностного пространства $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$ и событий $A, B_{1}, B_{2}$, таких что $A$ и $B_{1}$ независимы, $A$ и $B_{2}$ независимы, но $A$ и $B_{1} \cup B_{2}$ не являются независимыми.

Приведите пример вероятностного пространства $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$ и событий $A_{1}, A_{2}, A_{3}$, таких что $A_{1}$ и $A_{2}$ независимы, $A_{1}$ и $A_{3}$ независимы, и $A_{2}$ и $A_{3}$ независимы, но семейство $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ не является независимым.

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$ — вероятностное пространство, $A \in \mathcal{F}$ и $B_{1} \subseteq B_{2} \subseteq \cdots$ — возрастающая последовательность событий, такая что $A$ и $B_{n}$ независимы для каждого $n \in \mathbb {N}$. Покажите, что $A$ и $\bigcup_{n = 1}^{\infty } B_{n}$ независимы.

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$ — вероятностное пространство и $\left\{ A_{t}\right\}_{t \in \mathbb {R}}$ — независимое семейство событий, такое что $\mathbb {P}\left(A_{t}\right) < 1$ для каждого $t \in \mathbb {R}$. Докажите, что существует последовательность $t_{1}, t_{2}, \ldots$ в $\mathbb {R}$, такая что $\mathbb {P}\left(\bigcap_{n = 1}^{\infty } A_{t_{n}}\right) = 0$.

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$ — вероятностное пространство и $B_{1}, \ldots , B_{n} \in \mathcal{F}$ такие, что $\mathbb {P}\left(B_{1} \cap \cdots \cap B_{n}\right) > 0$. Докажите, что $\mathbb {P}\left(A \cap B_{1} \cap \cdots \cap B_{n}\right) = \mathbb {P}\left(B_{1}\right) \cdot \mathbb {P}_{B_{1}}\left(B_{2}\right) \cdots \mathbb {P}_{B_{1} \cap \cdots \cap B_{n-1}}\left(B_{n}\right) \cdot \mathbb {P}_{B_{1} \cap \cdots \cap B_{n}}\left(A\right)$ для каждого события $A \in \mathcal{F}$.

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$ — вероятностное пространство и $A \in \mathcal{F}$ — событие, такое что $0 < \mathbb {P}\left(A\right) < 1$. Докажите, что

для каждого события $B \in \mathcal{F}$.

Приведите пример вероятностного пространства $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$ и $X, Y \in \mathcal{L}^{2}(P)$, таких что $\operatorname {Var}\left[X+Y\right] = \operatorname {Var}\left[X\right]+\operatorname {Var}\left[Y\right]$, но $X$ и $Y$ не являются независимыми случайными величинами.

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$ и $\left(\Omega^{\prime }, \mathcal{F}^{\prime }, \mathbb {P}^{\prime }\right)$ — вероятностные пространства, $X$ — случайная величина на $\Omega$, $Y$ — случайная величина на $\Omega^{\prime }$, и $\widetilde{X} = \widetilde{Y}$. Докажите, что $\mathbb {P}_{X} = \mathbb {P}_{Y}^{\prime }$.

Пусть $H: \mathbb {R} \rightarrow (0,1)$ — непрерывная взаимно однозначная функция, удовлетворяющая условиям (a)–(d) из 12.29. Покажите, что функция $X:(0,1) \rightarrow \mathbb {R}$, построенная в доказательстве 12.29, является обратной функцией к $H$.

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$ — вероятностное пространство и $X$ — случайная величина. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

Пусть $\alpha > 0$ и $h(x) = \begin{cases} 0 & \text{ если } x < 0, \\ \alpha^{2} x e^{-\alpha x} & \text{ если } x \geq 0.\end{cases}$ Пусть $\mathbb {P} = h d \lambda$ и пусть $X$ — случайная величина, определённая формулой $X(x) = x$ для $x \in \mathbb {R}$.

Пусть $\mathcal{B}$ — $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств $[0,1)$ и $\mathbb {P}$ — мера Лебега на $([0,1), \mathcal{B})$. Пусть $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \mathbb {N}}$ — семейство функций, определённых в четвёртом пункте примера 8.51 (заметим, что $k = 0$ исключено). Покажите, что семейство $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \mathbb {N}}$ является н.о.р.

Пусть $\mathcal{B}$ — $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств $(-\pi , \pi ]$ и $\mathbb {P}$ — мера Лебега на $((-\pi , \pi ], \mathcal{B})$, делённая на $2 \pi$. Пусть $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \mathbb {Z} \backslash \left\{ 0\right\} }$ — семейство тригонометрических функций, определённых в третьем пункте примера 8.51 (заметим, что $k = 0$ исключено).