Банк задач по математике

Задача 10D.1

Докажите, что если $T$ — компактный оператор на ненулевом гильбертовом пространстве, то $\left\| T\right\|^{2}$ является собственным значением $T^{*} T$ .

?

Задача 10D.2

Докажите, что если $T$ — самосопряжённый оператор на ненулевом гильбертовом пространстве $V$ , то

\left\| T\right\| = \sup \left\{ \left|\langle T f, f\rangle \right|: f \in V \text{ и }\left\| f\right\| = 1\right\}

?

Задача 10D.3

(a)(b)(c)

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$ , а $U$ — замкнутое подпространство $V$ . Докажите, что следующие условия эквивалентны:

?

(a)

$U$ — инвариантное подпространство для $T$ .

(b)

$U^{\perp }$ — инвариантное подпространство для $T^{*}$ .

(c)

$T P_{U} = P_{U} T P_{U}$ .

Задача 10D.4

(a)(b)(c)

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$ , а $U$ — замкнутое подпространство $V$ . Докажите, что следующие условия эквивалентны:

?

(a)

$U$ и $U^{\perp }$ — инвариантные подпространства для $T$ .

(b)

$U$ и $U^{\perp }$ — инвариантные подпространства для $T^{*}$ .

(c)

$T P_{U} = P_{U} T$ .

Задача 10D.5

Пусть $T$ — ограниченный оператор на несепарабельном нормированном векторном пространстве $V$ . Докажите, что $T$ обладает замкнутым инвариантным подпространством, отличным от $\left\{ 0\right\}$ и $V$ .

?

Задача 10D.6

Пусть $T$ — оператор на банаховом пространстве $V$ размерности больше 2. Докажите, что $T$ обладает инвариантным подпространством, отличным от $\left\{ 0\right\}$ и $V$ .

?

Примечание.

?

В этом упражнении $T$ не предполагается ограниченным, а инвариантное подпространство не обязано быть замкнутым.

Задача 10D.7

Пусть $T$ — самосопряжённый компактный оператор на гильбертовом пространстве, имеющий лишь конечное число различных собственных значений. Докажите, что $T$ имеет конечномерный образ.

?

Задача 10D.8

(a)(b)

?

(a)

Докажите, что если $T$ — самосопряжённый компактный оператор на гильбертовом пространстве, то существует самосопряжённый компактный оператор $S$ , такой что $S^{3} = T$ .

(b)

Докажите, что если $T$ — нормальный компактный оператор на комплексном гильбертовом пространстве, то существует нормальный компактный оператор $S$ , такой что $S^{2} = T$ .

Задача 10D.9

Пусть $T$ — компактный нормальный оператор на ненулевом гильбертовом пространстве $V$ . Докажите, что существует подпространство $V$ размерности 1 или 2, являющееся инвариантным подпространством для $T$ .

?

Примечание.

?

Если $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ , требуемый результат немедленно следует из спектральной теоремы для компактных нормальных операторов. Таким образом, можно считать, что $\mathbf{F} = \mathbb {R}$ .

Задача 10D.10

Пусть $T$ — самосопряжённый компактный оператор на гильбертовом пространстве и $\left\| T\right\| \leq \frac{1}{4}$ . Докажите, что существует самосопряжённый компактный оператор $S$ , такой что $S^{2}+S = T$ .

?

Задача 10D.11

(a)(b)(c)

Для $k \in \mathbb {Z}$ определим $g_{k} \in L^{2}((-\pi , \pi ])$ и $h_{k} \in L^{2}((-\pi , \pi ])$ формулами

g_{k}(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} e^{i t / 2} e^{i k t} \quad \text{ и } \quad h_{k}(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} e^{i k t}

здесь мы предполагаем, что $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ .

?

(a)

Используя заключение примера 10.108, покажите, что $\left\{ g_{k}\right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ — ортонормированный базис $L^{2}((-\pi , \pi ])$ .

(b)

Используя результат пункта (a), покажите, что $\left\{ h_{k}\right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ — ортонормированный базис $L^{2}((-\pi , \pi ])$ .

(c)

Используя результат пункта (b), покажите, что ортонормированное семейство из третьего пункта примера 8.51 является ортонормированным базисом $L^{2}((-\pi , \pi ])$ .

Примечание.

?

Пример 10.108 (заключение): для $k \in \mathbb {Z}$ определим $f_{k} \in L^{2}([0,1])$ формулой $f_{k}(x) = e^{i(2k+1)\pi x}$ . Тогда $\left\{ f_{k}\right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ — ортонормированный базис $L^{2}([0,1])$ .

Пример 8.51 (третий пункт): для $k \in \mathbb {Z}$ определим $e_{k}: (-\pi , \pi ] \rightarrow \mathbb {R}$ формулой

e_{k}(t) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{\pi }} \sin (kt) & \text{если } k > 0, \\ \frac{1}{\sqrt{2\pi }} & \text{если } k = 0, \\ \frac{1}{\sqrt{\pi }} \cos (kt) & \text{если } k < 0.\end{cases}

Задача 10D.12

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве. Докажите, что $s_{1}(T) = \left\| T\right\|$ .

?

Задача 10D.13

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве и $n \in \mathbb {N}$ . Докажите, что $\operatorname {dim}\operatorname {range}T < n$ тогда и только тогда, когда $s_{n}(T) = 0$ .

?

Задача 10D.14

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$ с сингулярным разложением

T f = \sum _{k = 1}^{\infty } s_{k}(T) \left\langle f, e_{k} \right\rangle h_{k}

для всех $f \in V$ . Для $n \in \mathbb {N}$ определим $T_{n}: V \rightarrow V$ формулой

T_{n} f = \sum _{k = 1}^{n} s_{k}(T) \left\langle f, e_{k} \right\rangle h_{k}

Докажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty }\left\| T-T_{n}\right\| = 0$ .

?

Примечание.

?

Это упражнение даёт ещё одно доказательство — в дополнение к доказательству, предложенному в упражнении 15 раздела 10C, — того, что оператор на гильбертовом пространстве компактен тогда и только тогда, когда он является пределом ограниченных операторов с конечномерным образом.

Задача 10D.15

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$ и $n \in \mathbb {N}$ . Докажите, что

\inf \left\{ \left\| T-S\right\| : S \in \mathcal{B}(V) \text{ и } \operatorname {dim}\operatorname {range} S < n\right\} = s_{n}(T)

?

Задача 10D.16

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$ и $n \in \mathbb {N}$ . Докажите, что

s_{n}(T) = \inf \left\{ \left\| \left.T\right|_{U^{\perp }}\right\| : U \text{ — подпространство } V \text{ , где } \operatorname {dim} U < n\right\}

?

Задача 10D.17

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$ с сингулярным разложением

T f = \sum _{k \in \Omega } s_{k} \left\langle f, e_{k} \right\rangle h_{k}

для всех $f \in V$ . Докажите, что

T^{*} f = \sum _{k \in \Omega } s_{k} \left\langle f, h_{k} \right\rangle e_{k}

для всех $f \in V$ .

?

Задача 10D.18

(a)(b)

Пусть $T$ — оператор на конечномерном гильбертовом пространстве $V$ с $\operatorname {dim} V = n$ .

?

(a)

Докажите, что $T$ обратим тогда и только тогда, когда $s_{n}(T) \neq 0$ .

(b)

Пусть $T$ обратим и имеет сингулярное разложение

T f = s_{1}(T) \left\langle f, e_{1} \right\rangle h_{1}+\cdots +s_{n}(T) \left\langle f, e_{n} \right\rangle h_{n}

для всех $f \in V$ . Покажите, что

T^{-1} f = \frac{ \left\langle f, h_{1} \right\rangle }{s_{1}(T)} e_{1}+\cdots +\frac{ \left\langle f, h_{n} \right\rangle }{s_{n}(T)} e_{n}

для всех $f \in V$ .

Задача 10D.19

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$ . Докажите, что

\sum _{k \in \Gamma }\left\| T e_{k}\right\| ^{2} = \sum _{n = 1}^{\infty }\left(s_{n}(T)\right)^{2}

для любого ортонормированного базиса $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ пространства $V$ .

?

Задача 10D.20

Используя результат примера 10.124, вычислите $\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}}$ .

?

Примечание.

?

Пример 10.124: $\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \cdots = \frac{\pi^{2}}{8}$ .

Задача 10D.21

(a)(b)(c)

Пусть $T$ — нормальный компактный оператор на комплексном гильбертовом пространстве. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

?

(a)

образ $T$ конечномерен.

(b)

$\operatorname {sp}(T)$ — конечное множество.

(c)

$s_{n}(T) = 0$ для некоторого $n \in \mathbb {Z}$ .

Задача 10D.22

Найдите сингулярные числа оператора Вольтерры.

?

Примечание.

?

Ваш ответ в сочетании с упражнением 12 должен показать, что норма оператора Вольтерры равна $\frac{2}{\pi }$ . Появление $\pi$ здесь может показаться удивительным, поскольку определение оператора Вольтерры не включает $\pi$ .

Спектральная теорема для компактных операторов