Банк задач по математике

Задача 10B.1

Проверьте все утверждения в примере 10.33.

?

Примечание.

?

Пример 10.33:

Пусть $b_1, b_2, \ldots$ — ограниченная последовательность в $\mathbf{F}$ . Определим ограниченный линейный оператор $T: \ell^{2} \rightarrow \ell^{2}$ формулой $T(a_1,a_2,\ldots ) = (a_1 b_1, a_2 b_2, \ldots )$ . Тогда множество собственных значений $T$ равно $\left\{ b_k : k \in \mathbb {N}\right\}$ , а спектр $T$ равен замыканию $\left\{ b_k : k \in \mathbb {N}\right\}$ .
Пусть $h \in L^{\infty }(\mathbb {R})$ . Определим ограниченный линейный оператор $M_h: L^{2}(\mathbb {R}) \rightarrow L^{2}(\mathbb {R})$ формулой $M_h f = fh$ . Тогда $\alpha \in \mathbf{F}$ является собственным значением $M_h$ тогда и только тогда, когда $\left|\left\{ t \in \mathbb {R} : h(t) = \alpha \right\} \right| > 0$ . Также $\alpha \in \operatorname {sp}(M_h)$ тогда и только тогда, когда $\left|\left\{ t \in \mathbb {R} : \left|h(t)-\alpha \right| < \varepsilon \right\} \right| > 0$ для всех $\varepsilon > 0$ .
Определим правый сдвиг $T: \ell^{2} \rightarrow \ell^{2}$ и левый сдвиг $S: \ell^{2} \rightarrow \ell^{2}$ формулами $T(a_1,a_2,a_3,\ldots ) = (0,a_1,a_2,a_3,\ldots )$ и $S(a_1,a_2,a_3,\ldots ) = (a_2,a_3,a_4,\ldots )$ . Тогда $T$ не имеет собственных значений, и $\operatorname {sp}(T) = \left\{ \alpha \in \mathbf{F} : \left|\alpha \right| \leq 1\right\}$ . Также множество собственных значений $S$ — открытое множество $\left\{ \alpha \in \mathbf{F} : \left|\alpha \right| < 1\right\}$ , а спектр $S$ — замкнутое множество $\left\{ \alpha \in \mathbf{F} : \left|\alpha \right| \leq 1\right\}$ .

Задача 10B.2

(a)(b)(c)

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$ .

?

(a)

Докажите, что $\operatorname {sp}\left(S^{-1} T S\right) = \operatorname {sp}(T)$ для всех ограниченных обратимых операторов $S$ на $V$ .

(b)

Докажите, что $\operatorname {sp}\left(T^{*}\right) = \left\{ \overline{\alpha }: \alpha \in \operatorname {sp}(T)\right\}$ .

(c)

Докажите, что если $T$ обратим, то $\operatorname {sp}\left(T^{-1}\right) = \left\{ \frac{1}{\alpha }: \alpha \in \operatorname {sp}(T)\right\}$ .

Задача 10B.3

Пусть $E$ — ограниченное подмножество $\mathbf{F}$ . Покажите, что существует гильбертово пространство $V$ и оператор $T \in \mathcal{B}(V)$ , такие что множество собственных значений $T$ равно $E$ .

?

Задача 10B.4

Пусть $E$ — непустое замкнутое ограниченное подмножество $\mathbf{F}$ . Покажите, что существует $T \in \mathcal{B}\left(\ell^{2}\right)$ , такой что $\operatorname {sp}(T) = E$ .

?

Задача 10B.5

Приведите пример ограниченного оператора $T$ на нормированном векторном пространстве, такого что для каждого $\alpha \in \mathbf{F}$ оператор $T-\alpha I$ не обратим.

?

Задача 10B.6

(a)(b)

Пусть $T$ — ограниченный оператор на ненулевом комплексном банаховом пространстве $V$ .

?

(a)

Докажите, что функция

\alpha \mapsto \varphi \left((T-\alpha I)^{-1} f\right)

аналитична на $\mathbb {C} \backslash \operatorname {sp}(T)$ для каждого $f \in V$ и каждого $\varphi \in V^{\prime }$ .

(b)

Докажите, что $\operatorname {sp}(T) \neq \varnothing$ .

Задача 10B.7

Докажите, что если $T$ — оператор на гильбертовом пространстве $V$ , такой что $\langle T f, g\rangle = \langle f, T g\rangle$ для всех $f, g \in V$ , то $T$ — ограниченный оператор.

?

Задача 10B.8

Пусть $P$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$ , такой что $P^{2} = P$ . Докажите, что $P$ самосопряжён тогда и только тогда, когда существует замкнутое подпространство $U$ пространства $V$ , такое что $P = P_{U}$ .

?

Задача 10B.9

Пусть $V$ — вещественное гильбертово пространство и $T \in \mathcal{B}(V)$ . Комплексификацией $T$ называется функция $T_{\mathbb {C}}: V_{\mathbb {C}} \rightarrow V_{\mathbb {C}}$ , определённая формулой

T_{\mathbb {C}}(f+i g) = T f+i T g

для $f, g \in V$ (определение $V_{\mathbb {C}}$ см. в упражнении 4 раздела 8B).

?

(a)

Покажите, что $T_{\mathbb {C}}$ — ограниченный оператор на комплексном гильбертовом пространстве $V_{\mathbb {C}}$ и $\left\| T_{\mathbb {C}}\right\| = \left\| T\right\|$ .

(b)

Покажите, что $T_{\mathbb {C}}$ обратим тогда и только тогда, когда $T$ обратим.

(c)

Покажите, что $\left(T_{\mathbb {C}}\right)^{*} = \left(T^{*}\right)_{\mathbb {C}}$ .

(d)

Покажите, что $T$ самосопряжён тогда и только тогда, когда $T_{\mathbb {C}}$ самосопряжён.

(e)

Используя предыдущие пункты этого упражнения, а также 10.49 и 10.38, покажите, что если $T$ самосопряжён и $V \neq \left\{ 0\right\}$ , то $\operatorname {sp}(T) \neq \varnothing$ .

Задача 10B.10

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$ , такой что $\left\langle Tf, f \right\rangle \geq 0$ для всех $f \in V$ . Докажите, что $\operatorname {sp}(T) \subseteq [0, \infty )$ .

?

Задача 10B.11

Пусть $P$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$ , такой что $P^{2} = P$ . Докажите, что $P$ самосопряжён тогда и только тогда, когда $P$ нормален.

?

Задача 10B.12

Докажите, что нормальный оператор на сепарабельном гильбертовом пространстве имеет не более чем счётное множество собственных значений.

?

Задача 10B.13

Докажите утверждение или приведите контрпример: если $T$ — нормальный оператор на гильбертовом пространстве и $T = A+i B$ , где $A$ и $B$ самосопряжены, то $\left\| T\right\| = \sqrt{\left\| A\right\|^{2}+\left\| B\right\|^{2}}$ .

?

Задача 10B.14

Пусть $T$ — нормальный оператор на гильбертовом пространстве и $\alpha \in \mathbb {F}$ . Докажите, что $\alpha \in \operatorname {sp}(T)$ тогда и только тогда, когда $\alpha$ — приближённое собственное значение оператора $T$ .

?

Примечание.

?

Число $\alpha \in \mathbb {F}$ называется приближённым собственным значением ограниченного оператора $T$ на гильбертовом пространстве $V$ , если

\inf \left\{ \left\| (T-\alpha I) f\right\| : f \in V \text{ и }\left\| f\right\| = 1\right\} = 0

Задача 10B.15

(a)(b)

Пусть $T$ — нормальный оператор на гильбертовом пространстве.

?

(a)

Докажите, что если $\alpha$ — собственное значение $T$ , то $\left|\alpha \right|^{2}$ — собственное значение $T^{*} T$ .

(b)

Докажите, что если $\alpha \in \operatorname {sp}(T)$ , то $\left|\alpha \right|^{2} \in \operatorname {sp}\left(T^{*} T\right)$ .

Задача 10B.16

Пусть $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \mathbb {N}}$ — ортонормированный базис гильбертова пространства $V$ . Пусть также $T$ — нормальный оператор на $V$ и $e_{k}$ — собственный вектор $T$ для каждого $k \geq 2$ . Докажите, что $e_{1}$ — собственный вектор $T$ .

?

Задача 10B.17

Докажите, что если $T$ — самосопряжённый оператор на гильбертовом пространстве, то $\left\| T^{n}\right\| = \left\| T\right\|^{n}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ .

?

Задача 10B.18

Докажите, что если $T$ — нормальный оператор на гильбертовом пространстве, то $\left\| T^{n}\right\| = \left\| T\right\|^{n}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ .

?

Задача 10B.19

Пусть $T$ — обратимый оператор на гильбертовом пространстве. Докажите, что $T$ унитарен тогда и только тогда, когда $\left\| T\right\| = \left\| T^{-1}\right\| = 1$ .

?

Задача 10B.20

Пусть $T$ — ограниченный оператор на комплексном гильбертовом пространстве, $T = A+i B$ , где $A$ и $B$ самосопряжены (см. 10.54). Докажите, что $T$ унитарен тогда и только тогда, когда $T$ нормален и $A^{2}+B^{2} = I$ .

?

Примечание.

?

Если $z = x+yi$ , где $x, y \in \mathbb {R}$ , то $\left|z\right| = 1$ тогда и только тогда, когда $x^{2}+y^{2} = 1$ . Таким образом, это упражнение усиливает аналогию между единичной окружностью на комплексной плоскости и унитарными операторами.

Задача 10B.21

Пусть $T$ — унитарный оператор на комплексном гильбертовом пространстве, такой что $T-I$ обратим. Докажите, что

i(T+I)(T-I)^{-1}

— самосопряжённый оператор.

?

Примечание.

?

Функция $z \mapsto i(z+1)(z-1)^{-1}$ отображает $\left\{ z \in \mathbb {C}:\left|z\right| = 1\right\} \backslash \left\{ 1\right\}$ в $\mathbb {R}$ . Таким образом, это упражнение даёт ещё одну полезную иллюстрацию аналогий, показывающих унитарность $\approx \left\{ z \in \mathbb {C}:\left|z\right| = 1\right\}$ и самосопряжённость $\approx \mathbb {R}$ .

Задача 10B.22

Пусть $T$ — самосопряжённый оператор на комплексном гильбертовом пространстве. Докажите, что

S = (T+i I)(T-i I)^{-1}

— унитарный оператор.

?

Примечание.

?

Функция $z \mapsto (z+i)(z-i)^{-1}$ отображает $\mathbb {R}$ в $\left\{ z \in \mathbb {C}:\left|z\right| = 1\right\} \backslash \left\{ 1\right\}$ . Таким образом, это упражнение даёт ещё одну полезную иллюстрацию аналогий, показывающих: (a) унитарность $\Longleftrightarrow \left\{ z \in \mathbb {C}:\left|z\right| = 1\right\}$ ; (b) самосопряжённость $\Longleftrightarrow \mathbb {R}$ .

Задача 10B.23

(a)(b)(c)

Для ограниченного оператора $T$ на банаховом пространстве определим $e^{T}$ формулой

e^{T} = \sum _{k = 0}^{\infty } \frac{T^{k}}{k!}

?

(a)

Докажите, что если $T$ — ограниченный оператор на банаховом пространстве $V$ , то приведённый выше бесконечный ряд сходится в $\mathcal{B}(V)$ и $\left\| e^{T}\right\| \leq e^{\left\| T\right\| }$ .

(b)

Докажите, что если $S, T$ — ограниченные операторы на банаховом пространстве $V$ , такие что $S T = T S$ , то $e^{S} e^{T} = e^{S+T}$ .

(c)

Докажите, что если $T$ — самосопряжённый оператор на комплексном гильбертовом пространстве, то $e^{i T}$ унитарен.

Задача 10B.24

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — $\sigma$ -конечное пространство с мерой и $h \in L^{\infty }(\mu )$ . Как обычно, пусть $M_{h} \in \mathcal{B}\left(L^{2}(\mu )\right)$ обозначает оператор умножения, определённый формулой $M_{h} f = f h$ . Докажите, что $M_{h}$ является частичной изометрией тогда и только тогда, когда существует множество $E \in \mathcal{S}$ , такое что $\left|h\right| = \chi_{E}$ .

?

Задача 10B.25

Пусть $T$ — изометрия на гильбертовом пространстве. Докажите, что $T^{*}$ — частичная изометрия.

?

Задача 10B.26

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$ . Докажите, что $T$ является частичной изометрией тогда и только тогда, когда $T^{*} T = P_{U}$ для некоторого замкнутого подпространства $U$ пространства $V$ .

?

Спектр