10A

Сопряжённые операторы и обратимость

[14/93%]
Показать
LaTeX
Задача 10A.1

Определим T:ℓ2→ℓ2T: \ell^{2} \rightarrow \ell^{2} формулой T(a1,a2,…)=(0,a1,a2,…)T\left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right) = \left(0, a_{1}, a_{2}, \ldots \right). Найдите формулу для T∗T^{*}.

?
Задача 10A.2

Пусть VV — гильбертово пространство, UU — замкнутое подпространство пространства VV, и T:U→VT: U \rightarrow V определён формулой Tf=fT f = f. Опишите линейный оператор T∗:V→UT^{*}: V \rightarrow U.

?
Задача 10A.3

Пусть VV и WW — гильбертовы пространства и g∈V,h∈Wg \in V, h \in W. Определим T∈B(V,W)T \in \mathcal{B}(V, W) формулой Tf=⟨f,g⟩hT f = \left\langle f, g \right\rangle h. Найдите формулу для T∗T^{*}.

?
Задача 10A.4

Пусть VV и WW — гильбертовы пространства и T∈B(V,W)T \in \mathcal{B}(V, W) имеет конечномерный образ. Докажите, что T∗T^{*} также имеет конечномерный образ.

?
Задача 10A.5

Докажите утверждение или приведите контрпример: если VV — гильбертово пространство и T:V→VT: V \rightarrow V — ограниченное линейное отображение, такое что dim⁡null⁡(T)<∞\operatorname {dim}\operatorname {null}(T)< \infty, то dim⁡null⁡(T∗)<∞\operatorname {dim}\operatorname {null}(T^{*}) < \infty.

?
Задача 10A.6

Пусть TT — ограниченное линейное отображение из гильбертова пространства VV в гильбертово пространство WW. Докажите, что ∥T∗T∥=∥T∥2\left\| T^{*} T\right\| = \left\| T\right\|^{2}.

?
Примечание.
?

Эта формула для ∥T∗T∥\left\| T^{*} T\right\| приводит к важной теме C∗C^{*}-алгебр.

Задача 10A.7

Пусть VV — гильбертово пространство и Inv⁡(V)\operatorname {Inv}(V) — множество обратимых ограниченных операторов на VV. Будем рассматривать Inv⁡(V)\operatorname {Inv}(V) как метрическое пространство с метрикой, унаследованной как от подмножества B(V)\mathcal{B}(V). Покажите, что T↦T−1T \mapsto T^{-1} — непрерывная функция из Inv⁡(V)\operatorname {Inv}(V) в Inv⁡(V)\operatorname {Inv}(V).

?
Задача 10A.8

Пусть TT — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве.

?
(a)

Докажите, что TT обратим слева тогда и только тогда, когда T∗T^{*} обратим справа.

(b)

Докажите, что TT обратим тогда и только тогда, когда TT обратим и слева, и справа.

Задача 10A.9

Пусть b1,b2,…b_{1}, b_{2}, \ldots — ограниченная последовательность в F\mathbf{F}. Определим ограниченное линейное отображение T:ℓ2→ℓ2T: \ell^{2} \rightarrow \ell^{2} формулой

T(a1,a2,…)=(a1b1,a2b2,…) T\left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right) = \left(a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, \ldots \right)
?
(a)

Найдите формулу для T∗T^{*}.

(b)

Покажите, что TT инъективен тогда и только тогда, когда bk≠0b_{k} \neq 0 для каждого k∈Nk \in \mathbb {N}.

(c)

Покажите, что TT имеет плотный образ тогда и только тогда, когда bk≠0b_{k} \neq 0 для каждого k∈Nk \in \mathbb {N}.

(d)

Покажите, что TT имеет замкнутый образ тогда и только тогда, когда

inf⁡{∣bk∣:k∈Nи bk≠0}>0. \inf \left\{ \left|b_{k}\right|: k \in \mathbb {N} \text{и } b_{k} \neq 0\right\} > 0.
(e)

Покажите, что TT обратим тогда и только тогда, когда

inf⁡{∣bk∣:k∈N}>0 \inf \left\{ \left|b_{k}\right|: k \in \mathbb {N}\right\} > 0
Задача 10A.10

Пусть h∈L∞(R)h \in \mathcal{L}^{\infty }(\mathbb {R}) и Mh:L2(R)→L2(R)M_{h}: L^{2}(\mathbb {R}) \rightarrow L^{2}(\mathbb {R}) — ограниченный оператор, определённый формулой Mhf=fhM_{h} f = f h.

?
(a)

Покажите, что MhM_{h} инъективен тогда и только тогда, когда ∣{x∈R:h(x)=0}∣=0\left|\left\{ x \in \mathbb {R}: h(x) = 0\right\} \right| = 0.

(b)

Найдите необходимое и достаточное условие (в терминах hh) того, что MhM_{h} имеет плотный образ.

(c)

Найдите необходимое и достаточное условие (в терминах hh) того, что MhM_{h} имеет замкнутый образ.

(d)

Найдите необходимое и достаточное условие (в терминах hh) того, что MhM_{h} обратим.

Задача 10A.11
?
(a)

Докажите утверждение или приведите контрпример: если TT — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве, такой что TT и T∗T^{*} оба инъективны, то TT обратим.

(b)

Докажите утверждение или приведите контрпример: если TT — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве, такой что TT и T∗T^{*} оба сюръективны, то TT обратим.

Задача 10A.12

Определим T:ℓ2→ℓ2T: \ell^{2} \rightarrow \ell^{2} формулой T(a1,a2,a3,…)=(a2,a3,a4,…)T\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots \right) = \left(a_{2}, a_{3}, a_{4}, \ldots \right). Пусть α∈F\alpha \in \mathbf{F}.

?
(a)

Докажите, что T−αIT-\alpha I инъективен тогда и только тогда, когда ∣α∣≥1\left|\alpha \right| \geq 1.

(b)

Докажите, что T−αIT-\alpha I обратим тогда и только тогда, когда ∣α∣>1\left|\alpha \right| > 1.

(c)

Докажите, что T−αIT-\alpha I сюръективен тогда и только тогда, когда ∣α∣≠1\left|\alpha \right| \neq 1.

(d)

Докажите, что T−αIT-\alpha I обратим слева тогда и только тогда, когда ∣α∣>1\left|\alpha \right| > 1.

Задача 10A.13

Пусть VV — гильбертово пространство.

?
(a)

Покажите, что LeftInv⁡(V):={T∈B(V):T обратим слева}\operatorname {LeftInv}(V) := \left\{ T \in \mathcal{B}(V): T \text{ обратим слева}\right\} является открытым подмножеством B(V)\mathcal{B}(V).

(b)

Покажите, что RightInv⁡(V):={T∈B(V):T обратим справа}\operatorname {RightInv}(V) := \left\{ T \in \mathcal{B}(V): T \text{ обратим справа}\right\} является открытым подмножеством B(V)\mathcal{B}(V).

Задача 10A.14

Пусть TT — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве VV.

?
(a)

Докажите, что TT обратим тогда и только тогда, когда TT имеет единственный левый обратный. Иными словами, докажите, что TT обратим тогда и только тогда, когда существует единственный S∈B(V)S \in \mathcal{B}(V), такой что ST=IS T = I.

(b)

Докажите, что TT обратим тогда и только тогда, когда TT имеет единственный правый обратный. Иными словами, докажите, что TT обратим тогда и только тогда, когда существует единственный S∈B(V)S \in \mathcal{B}(V), такой что TS=IT S = I.