8D

След: связь между матрицами и операторами

[13/0%]
Показать
LaTeX
Задача 8D.1

Пусть VV — пространство со скалярным произведением и v,w∈Vv, w \in V. Определим оператор T∈L(V)T \in \mathcal{L}(V) формулой Tu=⟨u,v⟩wT u = \left\langle u, v \right\rangle w. Найдите формулу для tr⁡T\operatorname {tr} T.

?
Задача 8D.2

Пусть P∈L(V)P \in \mathcal{L}(V) удовлетворяет P2=PP^{2} = P. Докажите, что

tr⁡P=dim⁡range⁡P. \operatorname {tr} P = \operatorname {dim} \operatorname {range} P.
?
Задача 8D.3

Пусть T∈L(V)T \in \mathcal{L}(V) и T5=TT^{5} = T. Докажите, что вещественная и мнимая части tr⁡T\operatorname {tr} T — целые числа.

?
Задача 8D.4

Пусть VV — пространство со скалярным произведением и T∈L(V)T \in \mathcal{L}(V). Докажите, что

tr⁡T∗=tr⁡T‾. \operatorname {tr} T^{*} = \overline{\operatorname {tr} T}.
?
Задача 8D.5

Пусть VV — пространство со скалярным произведением. Пусть T∈L(V)T \in \mathcal{L}(V) — положительный оператор и tr⁡T=0\operatorname {tr} T = 0. Докажите, что T=0T = 0.

?
Задача 8D.6

Пусть VV — пространство со скалярным произведением и P,Q∈L(V)P, Q \in \mathcal{L}(V) — ортогональные проекции. Докажите, что tr⁡(PQ)≥0\operatorname {tr}(P Q) \geq 0.

?
Задача 8D.7

Пусть T∈L(C3)T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {C}^{3}\right) — оператор, матрица которого есть

[51−12−2160−40−2857−681] \left[\begin{smallmatrix} 51 & -12 & -21 \\ 60 & -40 & -28 \\ 57 & -68 & 1 \end{smallmatrix}\right]

Кто-то сообщает вам (достоверно), что −48-48 и 2424 являются собственными значениями TT. Не используя компьютер и ничего не записывая, найдите третье собственное значение TT.

?
Задача 8D.8

Докажите или приведите контрпример: если S,T∈L(V)S, T \in \mathcal{L}(V), то tr⁡(ST)=(tr⁡S)(tr⁡T)\operatorname {tr}(S T) = (\operatorname {tr} S)(\operatorname {tr} T).

?
Задача 8D.9

Пусть T∈L(V)T \in \mathcal{L}(V) таков, что tr⁡(ST)=0\operatorname {tr}(S T) = 0 для всех S∈L(V)S \in \mathcal{L}(V). Докажите, что T=0T = 0.

?
Задача 8D.10

Докажите, что след — единственный линейный функционал τ:L(V)→F\tau : \mathcal{L}(V) \rightarrow \mathbf{F}, такой что

τ(ST)=τ(TS) \tau (S T) = \tau (T S)

для всех S,T∈L(V)S, T \in \mathcal{L}(V) и τ(I)=dim⁡V\tau (I) = \operatorname {dim} V.

?
Задача 8D.11

Пусть VV и WW — пространства со скалярным произведением и T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W). Докажите, что если e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n} — ортонормированный базис VV, а f1,…,fmf_{1}, \ldots , f_{m} — ортонормированный базис WW, то

tr⁡(T∗T)=∑k=1n∑j=1m∣⟨Tek,fj⟩∣2. \operatorname {tr}\left(T^{*} T\right) = \sum _{k = 1}^{n} \sum _{j = 1}^{m}\left| \left\langle T e_{k}, f_{j} \right\rangle \right|^{2}.

Числа ⟨Tek,fj⟩\left\langle T e_{k}, f_{j} \right\rangle являются элементами матрицы TT относительно ортонормированных базисов e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n} и f1,…,fmf_{1}, \ldots , f_{m}. Эти числа зависят от базисов, но tr⁡(T∗T)\operatorname {tr}\left(T^{*} T\right) не зависит от выбора базисов. Таким образом, эта задача показывает, что сумма квадратов абсолютных значений элементов матрицы не зависит от того, какие ортонормированные базисы используются.

?
Задача 8D.12

Пусть VV и WW — конечномерные пространства со скалярным произведением.

?
(a)

Докажите, что ⟨S,T⟩=tr⁡(T∗S)\left\langle S, T \right\rangle = \operatorname {tr}\left(T^{*} S\right) задаёт скалярное произведение на L(V,W)\mathcal{L}(V, W).

(b)

Пусть e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n} — ортонормированный базис VV, а f1,…,fmf_{1}, \ldots , f_{m} — ортонормированный базис WW. Покажите, что скалярное произведение на L(V,W)\mathcal{L}(V, W) из пункта (a) совпадает со стандартным скалярным произведением на Fmn\mathbf{F}^{m n}, где мы отождествляем каждый элемент L(V,W)\mathcal{L}(V, W) с его матрицей (относительно только что упомянутых базисов), а затем с элементом Fmn\mathbf{F}^{m n}.

Предостережение: норма линейного отображения T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W), определённая в 7.86, не совпадает с нормой, порождённой скалярным произведением из пункта (a) выше. Если явно не указано иное, всегда предполагайте, что ∥T∥\left\| T\right\| обозначает норму, определённую в 7.86. Норма, порождённая скалярным произведением из пункта (a), называется нормой Фробениуса или нормой Гильберта-Шмидта.

Определение 7.86 (норма линейного отображения, ∥⋅∥\left\| \cdot \right\|): пусть T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W). Тогда норма TT, обозначаемая ∥T∥\left\| T\right\|, определяется как ∥T∥=max⁡{∥Tv∥:v∈V и ∥v∥≤1}\left\| T\right\| = \max \left\{ \left\| Tv\right\| : v \in V \text{ и } \left\| v\right\| \leq 1\right\}.

Задача 8D.13

Найдите S,T∈L(P(F))S, T \in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbf{F})), такие что ST−TS=IS T-T S = I.

?