Разложение по обобщённым собственным подпространствам

Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {C}^{2}\right)$ формулой $T(w, z) = (-z, w)$. Найдите обобщённые собственные подпространства, соответствующие различным собственным значениям $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ обратим. Докажите, что $G(\lambda , T) = G\left(\frac{1}{\lambda }, T^{-1}\right)$ для каждого $\lambda \in \mathbf{F}$ с $\lambda \neq 0$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Пусть $S \in \mathcal{L}(V)$ обратим. Докажите, что $T$ и $S^{-1} T S$ имеют одни и те же собственные значения с одинаковыми кратностями.

Пусть $\operatorname {dim} V \geq 2$ и $T \in \mathcal{L}(V)$ таков, что $\operatorname {null}T^{\operatorname {dim} V-2} \neq \operatorname {null} T^{\operatorname {dim} V-1}$. Докажите, что $T$ имеет не более двух различных собственных значений.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $3$, $8$ — собственные значения $T$. Пусть $n = \operatorname {dim} V$. Докажите, что $V = \left(\operatorname {null} T^{n-2}\right) \oplus \left(\operatorname {range} T^{n-2}\right)$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $\lambda$ — собственное значение $T$. Объясните, почему показатель степени $z-\lambda$ в разложении минимального многочлена $T$ является наименьшим положительным целым числом $m$, таким что $\left.(T-\lambda I)^{m}\right|_{G(\lambda , T)} = 0$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $\lambda$ — собственное значение $T$ кратности $d$. Докажите, что $G(\lambda , T) = \operatorname {null}(T-\lambda I)^{d}$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{m}$ — различные собственные значения $T$. Докажите, что

тогда и только тогда, когда минимальный многочлен $T$ равен $\left(z-\lambda_{1}\right)^{k_{1}} \ldots \left(z-\lambda_{m}\right)^{k_{m}}$ для некоторых положительных целых чисел $k_{1}, \ldots , k_{m}$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что существуют $D, N \in \mathcal{L}(V)$, такие что $T = D+N$, оператор $D$ диагонализируем, $N$ нильпотентен, и $D N = N D$.

Пусть $V$ — комплексное пространство со скалярным произведением, $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис $T$, и $T \in \mathcal{L}(V)$. Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — собственные значения $T$, каждое из которых включено столько раз, какова его кратность. Докажите, что

См. замечание после задачи 5 раздела 7A. Задача 7A.5: пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$; пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис $V$, а $f_{1}, \ldots , f_{m}$ — ортонормированный базис $W$. Докажите, что $\left\| Te_{1}\right\|^{2}+\cdots +\left\| Te_{n}\right\|^{2} = \left\| T^{*}f_{1}\right\|^{2}+\cdots +\left\| T^{*}f_{m}\right\|^{2}$. Замечание после этой задачи: числа $\left\| Te_{1}\right\|^{2}, \ldots , \left\| Te_{n}\right\|^{2}$ в этом равенстве зависят от ортонормированного базиса $e_{1}, \ldots , e_{n}$, но правая часть не зависит от $e_{1}, \ldots , e_{n}$; таким образом, равенство показывает, что сумма в левой части не зависит от того, какой ортонормированный базис $e_{1}, \ldots , e_{n}$ используется.

Приведите пример оператора на $\mathbb {C}^{4}$, характеристический многочлен которого равен $(z-7)^{2}(z-8)^{2}$.

Приведите пример оператора на $\mathbb {C}^{4}$, характеристический многочлен которого равен $(z-1)(z-5)^{3}$, а минимальный многочлен равен $(z-1)(z-5)^{2}$.

Приведите пример оператора на $\mathbb {C}^{4}$, характеристический и минимальный многочлены которого оба равны $z(z-1)^{2}(z-3)$.

Приведите пример оператора на $\mathbb {C}^{4}$, характеристический многочлен которого равен $z(z-1)^{2}(z-3)$, а минимальный многочлен равен $z(z-1)(z-3)$.

Пусть $T$ — оператор на $\mathbb {C}^{4}$, определённый как $T\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right) = \left(0, z_{1}, z_{2}, z_{3}\right)$. Найдите характеристический многочлен и минимальный многочлен $T$.

Пусть $T$ — оператор на $\mathbb {C}^{6}$, определённый как

Найдите характеристический многочлен и минимальный многочлен $T$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $P \in \mathcal{L}(V)$ таков, что $P^{2} = P$. Докажите, что характеристический многочлен $P$ равен $z^{m}(z-1)^{n}$, где $m = \operatorname {dim}\operatorname {null}P$ и $n = \operatorname {dim}$ range $P$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $\lambda$ — собственное значение $T$. Объясните, почему следующие четыре числа равны друг другу.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $S \in \mathcal{L}(V)$ — унитарный оператор. Докажите, что свободный член характеристического многочлена $S$ имеет модуль $1$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $V_{1}, \ldots , V_{m}$ — ненулевые подпространства $V$, такие что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и каждое $V_{k}$ инвариантно относительно $T$. Для каждого $k$ пусть $p_{k}$ обозначает характеристический многочлен $\left.T\right|_{V_{k}}$. Докажите, что характеристический многочлен $T$ равен $p_{1} \cdots p_{m}$.

Пусть $p, q \in \mathcal{P}(\mathbb {C})$ — нормированные многочлены с одними и теми же нулями, и $q$ кратен $p$. Докажите, что существует $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {C}^{\operatorname {deg} q}\right)$, такой что характеристический многочлен $T$ есть $q$, а минимальный многочлен $T$ есть $p$.

Пусть $A$ и $B$ — блочно-диагональные матрицы вида

где $A_{k}$ и $B_{k}$ — квадратные матрицы одного размера для каждого $k = 1, \ldots , m$. Покажите, что $A B$ — блочно-диагональная матрица вида

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {R}$, $T \in \mathcal{L}(V)$, и $\lambda \in \mathbb {C}$.