Обобщённые собственные векторы и нильпотентные операторы

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что если $\operatorname {dim}\operatorname {null}T^{4} = 8$ и $\operatorname {dim}\operatorname {null}T^{6} = 9$, то dim $\operatorname {null}T^{m} = 9$ для всех целых $m \geq 5$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$, $m$ — положительное целое число, $v \in V$, и $T^{m-1} v \neq 0$, но $T^{m} v = 0$. Докажите, что $v, T v, T^{2} v, \ldots , T^{m-1} v$ линейно независимы.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$, $\lambda \in \mathbf{F}$, и $m$ — положительное целое число, такое что минимальный многочлен $T$ кратен $(z-\lambda )^{m}$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $m$ — положительное целое число. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Покажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $m$ — неотрицательное целое число, такое что

Докажите, что range $T^{k} = \operatorname {range} T^{m}$ для всех $k > m$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $m$ — неотрицательное целое число. Докажите, что

Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {C}^{2}\right)$ формулой $T(w, z) = (z, 0)$. Найдите все обобщённые собственные векторы $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что существует базис $V$, состоящий из обобщённых собственных векторов $T$, тогда и только тогда, когда минимальный многочлен $T$ равен $\left(z-\lambda_{1}\right) \cdots \left(z-\lambda_{m}\right)$ для некоторых $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{m} \in \mathbf{F}$.

Предположим, что $\mathbf{F} = \mathbb {R}$, поскольку случай $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ следует из 5.27(b) и 8.9. Эта задача утверждает, что условие существования базиса $V$, состоящего из обобщённых собственных векторов $T$, совпадает с условием существования базиса, относительно которого $T$ имеет верхнетреугольную матрицу (см. 5.44). Предостережение: если $T$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно базиса $v_{1}, \ldots , v_{n}$ пространства $V$, то $v_{1}$ является собственным вектором $T$, но не обязательно, что $v_{2}, \ldots , v_{n}$ являются обобщёнными собственными векторами $T$.

Теорема 5.27(b): если $V$ — комплексное векторное пространство и $T \in \mathcal{L}(V)$, то минимальный многочлен $T$ имеет вид $\left(z-\lambda_{1}\right) \cdots \left(z-\lambda_{m}\right)$, где $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{m}$ — список всех собственных значений $T$, возможно с повторениями.

Теорема 8.9 (базис из обобщённых собственных векторов): если $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$, то существует базис $V$, состоящий из обобщённых собственных векторов $T$.

Теорема 5.44 (необходимое и достаточное условие существования верхнетреугольной матрицы): пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Тогда $T$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно некоторого базиса $V$ тогда и только тогда, когда минимальный многочлен $T$ равен $\left(z-\lambda_{1}\right) \cdots \left(z-\lambda_{m}\right)$ для некоторых $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{m} \in \mathbf{F}$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ таков, что каждый вектор в $V$ является обобщённым собственным вектором $T$. Докажите, что существует $\lambda \in \mathbf{F}$, такой что $T-\lambda I$ нильпотентен.

Пусть $S, T \in \mathcal{L}(V)$ и $S T$ нильпотентен. Докажите, что $T S$ нильпотентен.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нильпотентен и $T \neq 0$. Докажите, что $T$ не диагонализируем.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ диагонализируем тогда и только тогда, когда каждый обобщённый собственный вектор $T$ является собственным вектором $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нильпотентен и $m$ — положительное целое число, такое что $T^{m} = 0$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нильпотентен. Докажите, что $T^{1+\operatorname {dim} \operatorname {range} T} = 0$. Если $\operatorname {dim}$ range $T < \operatorname {dim} V-1$, то эта задача усиливает 8.16.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ не нильпотентен. Покажите, что

Для операторов, не являющихся нильпотентными, эта задача усиливает 8.4.

Пусть $V$ — пространство со скалярным произведением и $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален и нильпотентен. Докажите, что $T = 0$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ таков, что $\operatorname {null}T^{\operatorname {dim} V-1} \neq \operatorname {null} T^{\operatorname {dim} V}$. Докажите, что $T$ нильпотентен и что $\operatorname {dim}\operatorname {null}T^{k} = k$ для каждого целого $k$ с $0 \leq k \leq \operatorname {dim} V$.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {C}^{5}\right)$ таков, что range $T^{4} \neq \operatorname {range} T^{5}$. Докажите, что $T$ нильпотентен.

Приведите пример оператора $T$ на конечномерном вещественном векторном пространстве, такого что $0$ — единственное собственное значение $T$, но $T$ не нильпотентен.

Для каждого пункта примера 8.15 найдите базис исходного векторного пространства, такой что матрица нильпотентного оператора относительно этого базиса имеет верхнетреугольный вид, обещанный в 8.18(c).

Пример 8.15 (нильпотентные операторы):

Пусть $V$ — пространство со скалярным произведением и $T \in \mathcal{L}(V)$ нильпотентен. Покажите, что существует ортонормированный базис $V$, относительно которого матрица $T$ имеет верхнетреугольный вид, обещанный в 8.18(c).