Коммутирующие операторы

Приведите пример двух коммутирующих операторов $S, T$ на $\mathbf{F}^{4}$, таких что существует подпространство $\mathbf{F}^{4}$, инвариантное относительно $S$, но не относительно $T$, и существует подпространство $\mathbf{F}^{4}$, инвариантное относительно $T$, но не относительно $S$.

Пусть $\mathcal{E}$ — подмножество $\mathcal{L}(V)$, и каждый элемент $\mathcal{E}$ диагонализируем. Докажите, что существует базис $V$, относительно которого каждый элемент $\mathcal{E}$ имеет диагональную матрицу, тогда и только тогда, когда каждая пара элементов $\mathcal{E}$ коммутирует.

Пусть $S, T \in \mathcal{L}(V)$ таковы, что $S T = T S$. Пусть $p \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$.

Докажите или приведите контрпример: если $A$ — диагональная матрица, а $B$ — верхнетреугольная матрица того же размера, что и $A$, то $A$ и $B$ коммутируют.

Докажите, что пара операторов на конечномерном векторном пространстве коммутирует тогда и только тогда, когда коммутируют их двойственные операторы.

Пусть $V$ — конечномерное комплексное векторное пространство и $S, T \in \mathcal{L}(V)$ коммутируют. Докажите, что существуют $\alpha , \lambda \in \mathbb {C}$, такие что

Пусть $V$ — комплексное векторное пространство, $S \in \mathcal{L}(V)$ диагонализируем, а $T \in \mathcal{L}(V)$ коммутирует с $S$. Докажите, что существует базис $V$, относительно которого $S$ имеет диагональную матрицу, а $T$ имеет верхнетреугольную матрицу.

Пусть $m = 3$ в примере 5.72, и $D_{x}, D_{y}$ — коммутирующие операторы частного дифференцирования на $\mathcal{P}_{3}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ из этого примера. Найдите базис $\mathcal{P}_{3}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$, относительно которого $D_{x}$ и $D_{y}$ оба имеют верхнетреугольную матрицу.

Пусть $V$ — конечномерное ненулевое комплексное векторное пространство. Пусть $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{L}(V)$ таково, что $S$ и $T$ коммутируют для всех $S, T \in \mathcal{E}$.

Приведите пример двух коммутирующих операторов $S, T$ на конечномерном вещественном векторном пространстве, таких что $S+T$ имеет собственное значение, не равное сумме некоторого собственного значения $S$ и некоторого собственного значения $T$, и $S T$ имеет собственное значение, не равное произведению некоторого собственного значения $S$ и некоторого собственного значения $T$.