Многочлены

Пусть $w, z \in \mathbb {C}$. Проверьте следующие равенства и неравенства.

Докажите, что если $w, z \in \mathbb {C}$, то $||w|-|z|| \leq |w-z|$. Приведённое выше неравенство называется обратным неравенством треугольника.

Пусть $V$ — комплексное векторное пространство и $\varphi \in V^{\prime }$. Определим $\sigma : V \rightarrow \mathbb {R}$ равенством $\sigma (v) = \mathrm{Re}\left(\varphi (v)\right)$ для каждого $v \in V$. Покажите, что

для всех $v \in V$.

Пусть $m$ — натуральное число. Является ли множество

подпространством $\mathcal{P}(\mathbf{F})$?

Является ли множество

подпространством $\mathcal{P}(\mathbf{F})$?

Пусть $m$ и $n$ — натуральные числа, причём $m \leq n$, и пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{m} \in \mathbf{F}$. Докажите, что существует многочлен $p \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$ со $\operatorname {deg} p = n$, такой что $0 = p\left(\lambda_{1}\right) = \cdots = p\left(\lambda_{m}\right)$ и других нулей $p$ не имеет.

Пусть $m$ — неотрицательное целое число, $z_{1}, \ldots , z_{m+1}$ — различные элементы $\mathbf{F}$, а $w_{1}, \ldots , w_{m+1} \in \mathbf{F}$. Докажите, что существует единственный многочлен $p \in \mathcal{P}_{m}(\mathbf{F})$, такой что

для каждого $k = 1, \ldots , m+1$. Этот результат можно доказать, не используя линейную алгебру. Однако попробуйте найти более ясное и короткое доказательство, использующее линейную алгебру.

Пусть $p \in \mathcal{P}(\mathbb {C})$ имеет степень $m$. Докажите, что $p$ имеет $m$ различных нулей тогда и только тогда, когда $p$ и его производная $p^{\prime }$ не имеют общих нулей.

Докажите, что каждый многочлен нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет вещественный нуль.

Для $p \in \mathcal{P}(\mathbb {R})$ определим $Tp: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ равенством

для каждого $x \in \mathbb {R}$. Покажите, что $Tp \in \mathcal{P}(\mathbb {R})$ для каждого многочлена $p \in \mathcal{P}(\mathbb {R})$, а также покажите, что $T: \mathcal{P}(\mathbb {R}) \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb {R})$ — линейное отображение.

Пусть $p \in \mathcal{P}(\mathbb {C})$. Определим $q: \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ равенством

Докажите, что $q$ — многочлен с вещественными коэффициентами.

Пусть $m$ — неотрицательное целое число и $p \in \mathcal{P}_{m}(\mathbb {C})$ таков, что существуют различные вещественные числа $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{m}$, для которых $p\left(x_{k}\right) \in \mathbb {R}$ при каждом $k = 0,1, \ldots , m$. Докажите, что все коэффициенты $p$ вещественны.

Пусть $p \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$, причём $p \neq 0$. Пусть $U = \left\{ p q: q \in \mathcal{P}(\mathbf{F})\right\}$.

Пусть $p, q \in \mathcal{P}(\mathbb {C})$ — непостоянные многочлены без общих нулей. Пусть $m = \operatorname {deg} p$ и $n = \operatorname {deg} q$. Используя линейную алгебру по схеме, изложенной ниже в (a)–(c), докажите, что существуют $r \in \mathcal{P}_{n-1}(\mathbb {C})$ и $s \in \mathcal{P}_{m-1}(\mathbb {C})$, такие что