Векторные пространства

Покажите, что $\alpha +\beta = \beta +\alpha$ для всех $\alpha , \beta \in \mathbb {C}$.

Покажите, что $(\alpha +\beta )+\lambda = \alpha +(\beta +\lambda )$ для всех $\alpha , \beta , \lambda \in \mathbb {C}$.

Покажите, что $(\alpha \beta ) \lambda = \alpha (\beta \lambda )$ для всех $\alpha , \beta , \lambda \in \mathbb {C}$.

Покажите, что $\lambda (\alpha +\beta ) = \lambda \alpha +\lambda \beta$ для всех $\lambda , \alpha , \beta \in \mathbb {C}$.

Покажите, что для каждого $\alpha \in \mathbb {C}$ существует единственный $\beta \in \mathbb {C}$, такой что $\alpha +\beta = 0$.

Покажите, что для каждого $\alpha \in \mathbb {C}$ с $\alpha \neq 0$ существует единственный $\beta \in \mathbb {C}$, такой что $\alpha \beta = 1$.

Покажите, что

является кубическим корнем из 1 (то есть его куб равен 1).

Найдите два различных квадратных корня из $i$.

Найдите $x \in \mathbb {R}^{4}$, такой что

Объясните, почему не существует $\lambda \in \mathbb {C}$, такого что

Покажите, что $(x+y)+z = x+(y+z)$ для всех $x, y, z \in \mathbf{F}^{n}$.

Покажите, что $(a b) x = a(b x)$ для всех $x \in \mathbf{F}^{n}$ и всех $a, b \in \mathbf{F}$.

Покажите, что $1 x = x$ для всех $x \in \mathbf{F}^{n}$.

Покажите, что $\lambda (x+y) = \lambda x+\lambda y$ для всех $\lambda \in \mathbf{F}$ и всех $x, y \in \mathbf{F}^{n}$.

Покажите, что $(a+b) x = a x+b x$ для всех $a, b \in \mathbf{F}$ и всех $x \in \mathbf{F}^{n}$.

Докажите, что $-(-v) = v$ для каждого $v \in V$.

Пусть $a \in \mathbf{F}, v \in V$ и $a v = 0$. Докажите, что $a = 0$ или $v = 0$.

Пусть $v, w \in V$. Объясните, почему существует единственный $x \in V$, такой что $v+3 x = w$.

Пустое множество не является векторным пространством. Пустое множество не удовлетворяет только одному из требований, перечисленных в определении векторного пространства (1.20). Какому?

Покажите, что в определении векторного пространства (1.20) условие существования аддитивного обратного элемента можно заменить условием

Здесь 0 в левой части — это число 0, а 0 в правой части — аддитивная единица (нулевой элемент) пространства $V$.

Пусть $\infty$ и $-\infty$ обозначают два различных объекта, ни один из которых не принадлежит R. Определим сложение и умножение на скаляр на $\mathbb {R} \cup \left\{ \infty ,-\infty \right\}$ так, как можно догадаться по обозначениям. А именно, сумма и произведение двух вещественных чисел определяются как обычно, а для $t \in \mathbb {R}$ положим

и

Является ли $\mathbb {R} \cup \left\{ \infty ,-\infty \right\}$ с этими операциями сложения и умножения на скаляр векторным пространством над R? Объясните ответ.

Пусть $S$ — непустое множество. Обозначим через $V^{S}$ множество функций из $S$ в $V$. Определите естественным образом сложение и умножение на скаляр на $V^{S}$ и покажите, что $V^{S}$ с этими определениями является векторным пространством.

Пусть $V$ — вещественное векторное пространство. - Комплексификацией $V$, обозначаемой $V_{\mathrm{C}}$, называется $V \times V$. Элемент $V_{\mathrm{C}}$ — это упорядоченная пара $(u, v)$, где $u, v \in V$, но мы записываем её как $u+i v$. - Сложение на $V_{\mathrm{C}}$ определяется как

для всех $u_{1}, v_{1}, u_{2}, v_{2} \in V$. - Комплексное умножение на скаляр на $V_{\mathrm{C}}$ определяется как

для всех $a, b \in \mathbb {R}$ и всех $u, v \in V$. Докажите, что с определениями сложения и умножения на скаляр, приведёнными выше, $V_{\mathrm{C}}$ является комплексным векторным пространством.

Для каждого из следующих подмножеств $\mathbf{F}^{3}$ определите, является ли оно подпространством $\mathbf{F}^{3}$.

Проверьте все утверждения о подпространствах из примера 1.35.

Пример 1.35:

Покажите, что множество дифференцируемых вещественнозначных функций $f$ на интервале $(-4,4)$, таких что $f^{\prime }(-1) = 3 f(2)$, является подпространством $\mathbb {R}^{(-4,4)}$.

Пусть $b \in \mathbb {R}$. Покажите, что множество непрерывных вещественнозначных функций $f$ на интервале $[0,1]$, таких что $\int_{0}^{1} f = b$, является подпространством $\mathbb {R}^{[0,1]}$ тогда и только тогда, когда $b = 0$.

Является ли $\mathbb {R}^{2}$ подпространством комплексного векторного пространства $\mathbb {C}^{2}$?

Докажите или приведите контрпример: если $U$ — непустое подмножество $\mathbb {R}^{2}$, замкнутое относительно сложения и относительно взятия аддитивных обратных элементов (то есть $-u \in U$ всякий раз, когда $u \in U$), то $U$ является подпространством $\mathbb {R}^{2}$.

Приведите пример непустого подмножества $U$ пространства $\mathbb {R}^{2}$, которое замкнуто относительно умножения на скаляр, но не является подпространством $\mathbb {R}^{2}$.

Функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ называется периодической, если существует положительное число $p$, такое что $f(x) = f(x+p)$ для всех $x \in \mathbb {R}$. Является ли множество периодических функций из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$ подпространством $\mathbb {R}^{\mathbb {R}}$? Объясните ответ.

Пусть $V_{1}$ и $V_{2}$ — подпространства $V$. Докажите, что пересечение $V_{1} \cap V_{2}$ является подпространством $V$.

Докажите, что пересечение любого набора подпространств $V$ является подпространством $V$.

Докажите, что объединение двух подпространств $V$ является подпространством $V$ тогда и только тогда, когда одно из подпространств содержится в другом.

Докажите, что объединение трёх подпространств $V$ является подпространством $V$ тогда и только тогда, когда одно из подпространств содержит два других.

Пусть

Опишите $U+W$ с помощью символов, а также дайте описание $U+W$, не использующее символов.

Пусть $U$ — подпространство $V$. Чему равно $U+U$?

Является ли операция сложения подпространств $V$ коммутативной? Другими словами, если $U$ и $W$ — подпространства $V$, верно ли, что $U+W = W+U$?

Является ли операция сложения подпространств $V$ ассоциативной? Другими словами, если $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ — подпространства $V$, верно ли, что

Обладает ли операция сложения подпространств $V$ нейтральным элементом? Какие подпространства имеют аддитивные обратные элементы?

Докажите или приведите контрпример: если $V_{1}, V_{2}, U$ — подпространства $V$, такие что

то $V_{1} = V_{2}$.

Пусть

Найдите подпространство $W$ пространства $\mathbf{F}^{4}$, такое что $\mathbf{F}^{4} = U \oplus W$.

Пусть

Найдите подпространство $W$ пространства $\mathbf{F}^{5}$, такое что $\mathbf{F}^{5} = U \oplus W$.

Пусть

Найдите три подпространства $W_{1}, W_{2}, W_{3}$ пространства $\mathbf{F}^{5}$, ни одно из которых не равно $\left\{ 0\right\}$, такие что $\mathbf{F}^{5} = U \oplus W_{1} \oplus W_{2} \oplus W_{3}$.

Докажите или приведите контрпример: если $V_{1}, V_{2}, U$ — подпространства $V$, такие что

то $V_{1} = V_{2}$.

Функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ называется чётной, если

для всех $x \in \mathbb {R}$. Функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ называется нечётной, если

для всех $x \in \mathbb {R}$. Обозначим через $V_{\mathrm{e}}$ множество вещественнозначных чётных функций на $\mathbb {R}$, а через $V_{\mathrm{o}}$ — множество вещественнозначных нечётных функций на $\mathbb {R}$. Покажите, что $\mathbb {R}^{\mathbb {R}} = V_{\mathrm{e}} \oplus V_{\mathrm{o}}$.