Теоремы о мартингалах

Заполните детали для плана доказательства (9.12).

Основа (из вводного обсуждения раздела). Пусть $\Omega$ обозначает непустое множество, $\mathcal{F}$ — $\sigma$-алгебру подмножеств $\Omega$, а $\mu$ и $\eta$ — произвольные меры на $\mathcal{F}$. Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность суб-$\sigma$-алгебр $\mathcal{F}$ с $\bigcup_{n=1}^{\infty } \mathcal{F}_{n} \subseteq \mathcal{F}$. Для каждого $n \in \mathbb {N}$ пусть $\mu_{n}$ и $\eta_{n}$ обозначают сужения $\mu$ и $\eta$ на $\mathcal{F}_{n}$, предполагаемые $\sigma$-конечными на $\mathcal{F}_{n}$, и пусть $f_{n}$ обозначает производную $\eta_{n}$ по $\mu_{n}$. Обозначим $\underline{f}=\underline{\lim }_{n} f_{n}$ и $\bar{f}=\overline{\lim }_{n} f_{n}$, то есть $\underline{f}=\lim_{n} \inf \left\{ f_{n}, f_{n+1}, \cdots \right\}$ и $\bar{f}=\lim_{n} \sup \left\{ f_{n}, f_{n+1}, \cdots \right\}$. В ситуации, рассматриваемой в утверждении 5, $\mathcal{F}_{1} \subseteq \mathcal{F}_{2} \subseteq \cdots$; обозначим $\mathcal{F}_{\infty }=\sigma \left(\bigcup_{n=1}^{\infty } \mathcal{F}_{n}\right)$, где $\mu_{\infty }$ и $\eta_{\infty }$ обозначают сужения $\mu$ и $\eta$ на $\mathcal{F}_{\infty }$.

Утверждение 5 (частичная переформулировка; два выписываемых неравенства, которые требуется установить, пронумерованы (9.11) и (9.12)). Предположим, что $\mathcal{F}_{1} \subseteq \mathcal{F}_{2} \subseteq \cdots$. Тогда $\underline{f}$ и $\bar{f}$ являются $\mathcal{F}_{\infty }/\mathcal{B}^{*}$-измеримыми, и, кроме того, выполняется следующее: (a) $\underline{f}$ и $\bar{f}$ — производные $\eta_{\infty }$ по $\mu_{\infty }$. (b) $\underline{f}=\bar{f}$ $\mu$-п.в. на $\Omega$, так что $\lim_{n} f_{n}$ существует $\mu$-п.в. на $\Omega$. (c) $\int_{A} \lim_{n} f_{n} \, \mathrm{d} \mu =\eta_{\infty , \mathrm{ac}}(A)$ для каждого $A \in \mathcal{F}_{\infty }$. Установление (a) сводится (через множества $L_{\alpha , \underline{f}}=\left\{ \omega \in \Omega : \underline{f}(\omega ) \leqslant \alpha \right\}$ и $G_{\alpha , \bar{f}}=\left\{ \omega \in \Omega : \bar{f}(\omega ) \geqslant \alpha \right\}$, вместе с утверждением 2) к доказательству

и

Это должно быть несложно, если понятны детали доказательства (9.11).

Докажите (1)–(3) и (1')–(3') в утверждении 6.

Основа. Примем ту же основу, что и в предыдущем упражнении, за исключением того, что здесь $\mathcal{F}_{1} \supseteq \mathcal{F}_{2} \supseteq \cdots$; обозначим $\mathcal{F}_{0}=\bigcap_{n=1}^{\infty } \mathcal{F}_{n}=\lim_{n} \mathcal{F}_{n}$, где $\mu_{0}$ и $\eta_{0}$ обозначают сужения $\mu$ и $\eta$ на $\mathcal{F}_{0}$.

Утверждение 6 (переформулировка). Предположим, что $\mathcal{F}_{1} \supseteq \mathcal{F}_{2} \supseteq \cdots$. Тогда и $\underline{f}$, и $\bar{f}$ являются $\mathcal{F}_{0}/\mathcal{B}^{*}$-измеримыми, и выполняется следующее: (a) И $\underline{f}$, и $\bar{f}$ — производные $\eta_{0}$ по $\mu_{0}$. (b) $\underline{f}=\bar{f}$ $\mu$-п.в. на $\Omega$, так что $\lim_{n} f_{n}$ существует $\mu$-п.в. на $\Omega$. (c) $\eta_{0, \mathrm{ac}}(A)=\int_{A} \lim_{n} f_{n} \, \mathrm{d} \mu$ для каждого $A \in \mathcal{F}_{0}$.

Как и в доказательстве утверждения 5, установление части (a) сводится к доказательству, для каждого $\alpha \in \mathbb {R}$, двух соотношений

и

где $M_{\alpha }=\left\{ \omega \in \Omega : \inf \left\{ f_{1}(\omega ), f_{2}(\omega ), \cdots \right\} <\alpha \right\}$ и $H_{\alpha }=\left\{ \omega \in \Omega : \sup \left\{ f_{1}(\omega ), f_{2}(\omega ), \cdots \right\} >\alpha \right\}$.

Чтобы доказать (9.18), зафиксируем $\alpha \in \mathbb {R}$ и для каждого $n \in \mathbb {N}$ определим

и $J_{n, n}=\left\{ \omega \in \Omega : f_{n}(\omega )<\alpha \right\}$. Требуется доказать следующие утверждения:

1. $J_{n, p} \in \mathcal{F}_{p}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ и $p \in \left\{ 1, \cdots , n\right\}$.

2. Для каждого $n \in \mathbb {N}$ конечная последовательность $\left\{ J_{n, p}\right\}_{p=1}^{n}$ дизъюнктна и её объединение равно $J_{n}$.

3. $J_{1} \subseteq J_{2} \subseteq \cdots$ и $\lim_{n} J_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty } J_{n}=M_{\alpha }$. Чтобы доказать (9.19), зафиксируем $\alpha \in \mathbb {R}$ и для каждого $n \in \mathbb {N}$ определим

и $J_{n, n}=\left\{ \omega \in \Omega : f_{n}(\omega )>\alpha \right\}$. Требуется доказать следующие утверждения:

1. Для каждого $n \in \mathbb {N}$ и $p=1, \cdots , n$ имеем $J_{n, p} \in \mathcal{F}_{p}$.

2. Для каждого $n \in \mathbb {N}$ конечная последовательность $\left\{ J_{n, p}\right\}_{p=1}^{n}$ дизъюнктна и её объединение равно $J_{n}$.

3. $J_{1} \subseteq J_{2} \subseteq \cdots$ и $\lim_{n} J_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty } J_{n}=H_{\alpha }$.

Примем основу утверждения 5. Если $\eta_{n} \ll \mu_{n}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$, и если для каждого $E$ из поля $\bigcup_{k=1}^{\infty } \mathcal{F}_{k}$ выполняется $\lim_{n} \int_{E} f_{n} \, \mathrm{d} \mu =\int_{E} f_{\infty } \, \mathrm{d} \mu$, то $\eta_{\infty } \ll \mu_{\infty }$. Здесь $f_{\infty }$ обозначает производную $\eta_{\infty }$ по $\mu_{\infty }$.

Основа утверждения 5 (переформулировка). Пусть $\Omega$ обозначает непустое множество, $\mathcal{F}$ — $\sigma$-алгебру подмножеств $\Omega$, а $\mu$ и $\eta$ — произвольные меры на $\mathcal{F}$. Пусть $\mathcal{F}_{1} \subseteq \mathcal{F}_{2} \subseteq \cdots$ — неубывающая последовательность суб-$\sigma$-алгебр $\mathcal{F}$. Для каждого $n \in \mathbb {N}$ пусть $\mu_{n}$ и $\eta_{n}$ обозначают сужения $\mu$ и $\eta$ на $\mathcal{F}_{n}$, предполагаемые $\sigma$-конечными на $\mathcal{F}_{n}$, и пусть $f_{n}$ обозначает производную $\eta_{n}$ по $\mu_{n}$. Обозначим $\mathcal{F}_{\infty }=\sigma \left(\bigcup_{n=1}^{\infty } \mathcal{F}_{n}\right)$, где $\mu_{\infty }$ и $\eta_{\infty }$ обозначают сужения $\mu$ и $\eta$ на $\mathcal{F}_{\infty }$.