Банк задач по математике

Задача 9.3.1

Следующий факт из продвинутого курса математического анализа используется в следующей задаче; его часто называют диагональным методом. Предположим, что каждая строка массива

\begin{array}{llll} x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} & \cdots \\ x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \end{array}

есть ограниченная последовательность вещественных чисел. Тогда существует строго возрастающая последовательность $n_{1}, n_{2}, \cdots$ положительных целых чисел такая, что $\lim_{k} x_{r, n_{k}}$ существует для каждого $r \in \mathbb {N}$ .

?

Примечание.

?

Первая строка указанного выше массива есть ограниченная последовательность, и, следовательно, существует сходящаяся подпоследовательность $x_{1, n_{1,1}}, x_{1, n_{1,2}}, x_{1, n_{1,3}}, \cdots$ , где последовательность $\left\{ n_{1,k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ строго возрастает и $\lim_{k} x_{1, n_{1,k}}$ существует. Вернёмся к исходному массиву и рассмотрим вторую строку вдоль последовательности $n_{1,1}, n_{1,2}, \cdots$ , так что мы рассматриваем ограниченную последовательность $x_{2, n_{1,1}}, x_{2, n_{1,2}}, x_{2, n_{1,3}}, \cdots$ . Выберем из этой ограниченной последовательности сходящуюся подпоследовательность; запишем её как $x_{2, n_{2,1}}, x_{2, n_{2,2}}, x_{2, n_{2,3}}, \cdots$ . Заметим следующее: $\left\{ n_{2,k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ есть строго возрастающая подпоследовательность последовательности $\left\{ n_{1,k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ , и $\lim_{k} x_{2, n_{2,k}}$ существует. Продолжим этот процесс, получая новый массив

\begin{array}{llll} n_{1,1} & n_{1,2} & n_{1,3} & \cdots \\ n_{2,1} & n_{2,2} & n_{2,3} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \end{array}

такой, что (i) каждая строка есть строго возрастающая последовательность положительных целых чисел, (ii) каждая строка есть подпоследовательность строки над ней, и (iii) для каждого $r \in \mathbb {N}$ существует предел $\lim_{k} x_{r, n_{r,k}}$ . Следовательно, для каждого $r \in \mathbb {N}$ имеем, что $x_{r, n_{r,1}}, x_{r, n_{r,2}}, x_{r, n_{r,3}}, \cdots$ есть сходящаяся последовательность, составленная из $r$ -й строки исходного массива. Определим $n_{k}=n_{k,k}$ для каждого $k \in \mathbb {N}$ . Числа $n_{k}$ строго возрастают, поскольку каждая строка нового массива возрастает и содержится в предыдущей строке. Кроме того, $n_{r}, n_{r+1}, n_{r+2}, \cdots$ есть подпоследовательность $r$ -й строки нового массива для каждого $r \in \mathbb {N}$ . Отсюда следует, что $x_{r, n_{r}}, x_{r, n_{r+1}}, x_{r, n_{r+2}}, \cdots$ есть подпоследовательность последовательности $x_{r, n_{r,1}}, x_{r, n_{r,2}}, x_{r, n_{r,3}}, \cdots$ для каждого $r$ из $\mathbb {N}$ , так что $\lim_{k} x_{r, n_{k}}$ существует для каждого $r \in \mathbb {N}$ .

Задача 9.3.2

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает $\sigma$ -конечное измеримое пространство с $1<p<+\infty$ . Далее предположим, что $\mathcal{F}$ счётно порождена, что означает, что существует счётный класс $\mathcal{C}$ с $\sigma (\mathcal{C})=\mathcal{F}$ . Пусть $B_{1}^{p}=\left\{ f \in L^{p}: \left\| f\right\|_{p} \leqslant 1\right\}$ , так что $B_{1}^{p}$ есть единичный шар в $L^{p}$ . Мы покажем, что $B_{1}^{p}$ компактен в топологии слабой сходимости. То есть, каждая последовательность в $B_{1}^{p}$ содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу $B_{1}^{p}$ .

?

(a)

$L^{p^{\prime }}$ имеет счётное плотное подмножество, скажем $\mathcal{G}$ . [Вспомните результат об аппроксимации из Главы 8.]

(b)

Присоединим к $\mathcal{G}$ все конечные рациональные линейные комбинации её элементов. Будем называть эту расширенную совокупность $\mathcal{G}$ ; $\mathcal{G}$ [расширенная совокупность] по-прежнему счётна. Далее, пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает последовательность в $B_{1}^{p}$ .

Для каждой $g \in L^{p^{\prime }}$ , $\left\{ \int f_{n} g \, \mathrm{d} \mu \right\}_{n=1}^{\infty }$ есть ограниченная последовательность вещественных чисел с границей $\left\| g\right\|_{p^{\prime }}$ . Отсюда можно вывести, что $\left\{ \int f_{n} g \, \mathrm{d} \mu \right\}_{n=1}^{\infty }$ есть ограниченная последовательность вещественных чисел с границей $\left\| g\right\|_{p^{\prime }}$ для каждой $g \in \mathcal{G}$ .

Поскольку $\mathcal{G}$ счётна, существует подпоследовательность $\left\{ n_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ последовательности $1, 2, \cdots$ такая, что $\lim_{k} \int f_{n_{k}} g \, \mathrm{d} \mu$ существует для каждой $g \in \mathcal{G}$ . [Это прямое применение диагонального метода из продвинутого курса математического анализа: массив, $r$ -я строка которого есть $\left\{ \int f_{r} g_{n} \, \mathrm{d} \mu \right\}_{n=1}^{\infty }$ , где $\left\{ g_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — некоторая нумерация $\mathcal{G}$ , ограничен построчно, так что применимо Упражнение 1 данного раздела.] Запишем $L_{\mathcal{G}}(g)=\lim_{k} \int f_{n_{k}} g \, \mathrm{d} \mu$ для каждой $g \in \mathcal{G}$ ; неравенство Гёльдера даёт $\left|L_{\mathcal{G}}(g)\right| \leqslant \left\| g\right\|_{p^{\prime }}$ для каждой $g \in \mathcal{G}$ .

(c)

$L_{\mathcal{G}}$ равномерно непрерывен на своей области определения $\mathcal{G}$ . [Имеем

\left|L_{\mathcal{G}}(g)-L_{\mathcal{G}}(g^{\prime })\right|=\lim _{k}\left|\int f_{n_{k}}(g-g^{\prime }) \, \mathrm{d} \mu \right| \leqslant \varlimsup _{k}\left\| f_{n_{k}}\right\| _{p}\left\| g-g^{\prime }\right\| _{p^{\prime }} \leqslant \left\| g-g^{\prime }\right\| _{p^{\prime }}

для каждых $g, g^{\prime } \in \mathcal{G}$ .]

(d)

Существует единственная непрерывная функция $L$ на $L^{p^{\prime }}$ такая, что $L=L_{\mathcal{G}}$ на $\mathcal{G}$ . [Из продвинутого курса математического анализа известно, что равномерно непрерывная функция $\psi$ , определённая на плотном подмножестве $D$ метрического пространства $(X, \rho )$ , имеет единственное непрерывное продолжение на всё $X$ .]

(e)

Для каждых $g, g^{\prime } \in \mathcal{G}$ имеем $L_{\mathcal{G}}(g+g^{\prime })=L_{\mathcal{G}}(g)+L_{\mathcal{G}}(g^{\prime })$ . [Прямая проверка.]

(f)

Для каждых $h, h^{\prime } \in L^{p^{\prime }}$ имеем $L(h+h^{\prime })=L(h)+L(h^{\prime })$ . [Пусть $\left\{ g_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает последовательность в плотной совокупности $\mathcal{G}$ с $g_{n} \xrightarrow {p^{\prime }} h$ ; пусть $\left\{ g_{n}^{\prime }\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает последовательность в $\mathcal{G}$ с $g_{n}^{\prime } \xrightarrow {p^{\prime }} h^{\prime }$ . Таким образом, $\left\{ g_{n}+g_{n}^{\prime }\right\}_{n=1}^{\infty }$ есть последовательность в $\mathcal{G}$ с $g_{n}+g_{n}^{\prime } \xrightarrow {p^{\prime }} h+h^{\prime }$ . Используйте непрерывность $L$ и (e), чтобы проверить равенство

\begin{aligned} L(h)+L(h^{\prime }) & =\lim _{n} L(g_{n})+\lim _{n} L(g_{n}^{\prime }) \\ & =\lim _{n}[L_{\mathcal{G}}(g_{n})+L_{\mathcal{G}}(g_{n}^{\prime })] \\ & =\lim _{n} L_{\mathcal{G}}(g_{n}+g_{n}^{\prime }) \\ & =L(h+h^{\prime }). \end{aligned}

]

(g)

Непосредственно проверьте, что $L_{\mathcal{G}}(cg)=cL_{\mathcal{G}}(g)$ для каждой $g \in \mathcal{G}$ и $c \in \mathbb {R}$ . Это, в свою очередь, показывает, что $L(cg)=cL(g)$ для каждого $c \in \mathbb {R}$ и $g \in L^{p^{\prime }}$ . [Первая часть проста. Вторая часть получается в том же духе, что и (f).]

(h)

По (g), $L$ есть линейный функционал на $L^{p^{\prime }}$ . Покажите дополнительно, что $L$ ограничен, причём $\left\| L\right\| \leqslant 1$ . [Мы уже знаем из (d), что $L$ непрерывен; используйте соответствующее утверждение из Раздела 8.8, чтобы получить ограниченность. Далее, возьмём $h \in L^{p^{\prime }}$ ; пусть $\left\{ g_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает последовательность в $\mathcal{G}$ с $g_{n} \xrightarrow {p^{\prime }} h$ . Проверьте, что

\left|L(h)\right|=\lim _{n}\left|L(g_{n})\right|=\lim _{n}\left|L_{\mathcal{G}}(g_{n})\right| \leqslant \lim _{n}\left\| g_{n}\right\| _{p^{\prime }}=\left\| h\right\| _{p^{\prime }}.

]

(i)

Теперь применим теорему Рисса о представлении к ограниченному линейному функционалу $L$ на $L^{p^{\prime }}$ , получив функцию $f \in L^{p}$ такую, что $L(g)=\int fg \, \mathrm{d} \mu$ для каждой $g \in L^{p^{\prime }}$ . Поскольку $\left\| L\right\| \leqslant 1$ , имеем $\left\| f\right\|_{p}=\left\| L\right\| \leqslant 1$ по Утверждению 1 Раздела 8.9, следовательно, $f \in B_{1}^{p}$ . Вспомним подпоследовательность $\left\{ n_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ , введённую после пункта (b). Заметим, что для каждой $g \in \mathcal{G}$ имеем

L(g)=\int fg \, \mathrm{d} \mu =L_{\mathcal{G}}(g)=\lim _{k} \int f_{n_{k}} g \, \mathrm{d} \mu .

Получаем, что $\left\{ f_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty }$ слабо сходится к $f$ , что завершает доказательство. [Возьмём $g^{\prime }$ в $L^{p^{\prime }}$ и $\varepsilon >0$ ; найдём $g \in \mathcal{G}$ с $\left\| g-g^{\prime }\right\|_{p^{\prime }}<\frac{\varepsilon }{3}$ . Определим $\alpha_{k}=\left|\int f_{n_{k}} g \, \mathrm{d} \mu -\int fg \, \mathrm{d} \mu \right|$ для каждого $k \in \mathbb {N}$ , и заметим, что вышеприведённое показывает $\lim_{k} \alpha_{k}=0$ . Проверьте, что

\begin{aligned} \left|\int fg^{\prime } \, \mathrm{d} \mu -\int f_{n_{k}} g^{\prime } \, \mathrm{d} \mu \right| & \leqslant \left|\int fg^{\prime } \, \mathrm{d} \mu -\int fg \, \mathrm{d} \mu \right|+\alpha _{k}+\left|\int f_{n_{k}} g \, \mathrm{d} \mu -\int f_{n_{k}} g^{\prime } \, \mathrm{d} \mu \right| \\ & \leqslant \int \left|f\right|\left|g^{\prime }-g\right| \, \mathrm{d} \mu +\alpha _{k}+\int \left|f_{n_{k}}\right|\left|g^{\prime }-g\right| \, \mathrm{d} \mu \\ & \leqslant \left\| f\right\| _{p}\left\| g^{\prime }-g\right\| _{p^{\prime }}+\alpha _{k}+\left\| f_{n_{k}}\right\| _{p}\left\| g^{\prime }-g\right\| _{p^{\prime }} \\ & \leqslant \frac{2\varepsilon }{3}+\alpha _{k}. \end{aligned}

Для достаточно больших $k$ мы, таким образом, имеем $\left|\int fg^{\prime } \, \mathrm{d} \mu -\int f_{n_{k}} g^{\prime } \, \mathrm{d} \mu \right|<\varepsilon$ . Поскольку $g^{\prime } \in L^{p^{\prime }}$ произвольна, доказательство полностью завершено.]

Задача 9.3.3

(a)(b)

Пусть $f, f^{\prime }, f_{1}, f_{2}, \cdots \in L^{p}$ , где базовое пространство $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )\[ \sigma$ -конечно и $1<p<+\infty$ . Предположим, что $f_{n} \rightarrow f$ слабо в $L^{p}$ и $f_{n} \rightarrow f^{\prime }$ слабо в $L^{p}$ . Цель — показать, что $f=f^{\prime } \]\mu$ -п.в. на $\Omega$ , так что $$слабые пределы в $Lp$ единственны.

?

(a)

Быстро покажите, что $\int fg \, \mathrm{d} \mu =\int f^{\prime } g \, \mathrm{d} \mu$ для каждой $g \in L^{p^{\prime }}$ . [Обе величины равны $\lim_{n} \int f_{n} g \, \mathrm{d} \mu$ .]

(b)

Покажите, что $f=f^{\prime }$$\mu$ -п.в. на $\Omega$ . [Определим $L_{f}(g)=\int fg \, \mathrm{d} \mu$ для каждой $g \in L^{p^{\prime }}$ ; определим $L_{f^{\prime }}(g)=\int f^{\prime } g \, \mathrm{d} \mu$ для каждой $g \in L^{p^{\prime }}$ . Как $L_{f}$ , так и $L_{f^{\prime }}$ суть ограниченные линейные функционалы на $L^{p^{\prime }}$ , совпадающие на $L^{p^{\prime }}$ по (a). Используйте утверждение единственности из теоремы Рисса о представлении.]

Задача 9.3.4

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает $\sigma$ -конечное пространство с мерой, и пусть $g \in L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . Определим $L_{g}$ на $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ , полагая $L_{g}(f)=\int fg \, \mathrm{d} \mu$ для каждого $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . Тогда $L_{g}$ — ограниченный линейный функционал, причём $\left\| L_{g}\right\| =\left\| g\right\|_{\infty }$ .

?

Примечание.

?

Линейность $L_{g}$ тривиальна. Вспоминая, что $\left|g\right| \leqslant \left\| g\right\|_{\infty }$ $\mu$ -п.в. на $\Omega$ , получаем $\left|\int fg \, \mathrm{d} \mu \right| \leqslant \left\| g\right\|_{\infty }\left\| f\right\|_{1}$ , откуда следует, что $L_{g}$ ограничен и $\left\| L\right\|_{g} \leqslant \left\| g\right\|_{\infty }$ . Если $\left\| g\right\|_{\infty }=0$ , то тривиально $\left\| L_{g}\right\| =\left\| g\right\|_{\infty }$ . В противном случае пусть $\left\| g\right\|_{\infty }>0$ , $0<\varepsilon <\left\| g\right\|_{\infty }$ , и пусть $E=\left\{ \omega \in \Omega : \left|g(\omega )\right|>\left\| g\right\|_{\infty }-\varepsilon \right\}$ . Тогда $\mu (E)>0$ , и в силу $\sigma$ -конечности найдётся подмножество $A \subseteq E$ с $0<\mu (A)<+\infty$ . Пусть $f=\frac{1}{\mu (A)} \; \mathbb {1}_{A} \operatorname {sgn} g$ ; легко проверить, что $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ и $\left\| f\right\|_{1} \leqslant 1$ . Тогда $L_{g}(f)=\int fg \, \mathrm{d} \mu =\frac{1}{\mu (A)} \int_{A}\left|g\right| \, \mathrm{d} \mu \geqslant \left\| g\right\|_{\infty }-\varepsilon =(\left\| g\right\|_{\infty }-\varepsilon )\left\| f\right\|_{1}$ , так что $\left\| L_{g}\right\| \geqslant \left\| g\right\|_{\infty }-\varepsilon$ . Поскольку $\varepsilon >0$ произвольно, имеем $\left\| L_{g}\right\| =\left\| g\right\|_{\infty }$ .

Задача 9.3.5

(a)(b)(c)(d)

В последующих упражнениях обсуждается теорема Рисса о представлении для случая $p=1$ . В тексте утверждалось, что теорема Рисса о представлении не обязательно выполняется для произвольных пространств с мерой $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ при $p=1$ . Данное упражнение приводит контрпример для не- $\sigma$ -конечного пространства с мерой. Этот контрпример не является строгим, поскольку некоторые утверждения делаются без доказательства. Эти утверждения можно будет проверить по завершении следующей главы, однако мы приводим факты уже сейчас.

Пусть $\Omega =[0,1] \times [0,1]$ , и пусть $\mathcal{F}$ обозначает двумерные борелевские подмножества $\Omega$ . Для каждого $E \in \mathcal{F}$ определим

\nu (E)=\sum _{x \in [0,1]} \lambda (\left\{ y \in [0,1]: (x,y) \in E\right\} ),

где несчётная сумма $\sum_{x \in [0,1]}$ определена так же, как в начале раздела 9.2, а $\lambda$ обозначает сужение одномерной меры Лебега на борелевские подмножества $[0,1]$ . Далее запишем

\mu (E)=\nu (E)+\sum _{y \in [0,1]} \lambda (\left\{ x \in [0,1]: (x,y) \in E\right\} )

для каждого $E \in \mathcal{F}$ .

?

(a)

И $\mu$ , и $\nu$ являются мерами с областью определения $\mathcal{F}$ , причём $\nu \leqslant \mu$ . [Должно быть несложно проверить, что $\nu$ — мера. Из этого, а также из перестановки ролей $x$ и $y$ , можно показать, что $\mu$ — мера. То, что $\nu (E) \leqslant \mu (E)$ для всех $E \in \mathcal{F}$ , тривиально.]

(b)

Определим $L$ на $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ , полагая $L(f)=\int f \, \mathrm{d} \nu$ для каждого $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . Проверьте, что $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu ) \subseteq L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \nu )$ , так что данное определение имеет смысл. Далее проверьте, что $L$ — ограниченный линейный функционал на $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ с $\left\| L\right\| \leqslant 1$ . [Опять же, это должно быть несложно.]

Предположим теперь, что заключение теоремы Рисса о представлении выполняется: существует $g \in L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ такое, что $L=L_{g}$ для этого $g$ , где обозначения — как в упражнении 4. То есть предположим, что $L(f)=\int fg \, \mathrm{d} \mu$ для каждого $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ .

Примем без доказательства утверждение о существовании некоторого $x_{0} \in [0,1]$ такого, что $\int_{[0,1]}\left|g(x_{0},y)\right| \, \mathrm{d} \lambda (y)=0$ . [Доказательство этого факта требует аппарата следующей главы.]

(c)

Пусть $V=\left\{ x_{0}\right\} \times [0,1]$ и $f=\; \mathbb {1}_{V}$ . Покажите, что $\nu (V)=1$ и $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ .

(d)

Проверьте, что

\begin{aligned} 1=\nu (V)=\int _{\Omega } f \, \mathrm{d} \nu =L(f)=L_{g}(f)=\int _{\Omega } fg \, \mathrm{d} \mu & = \int _{V} g \, \mathrm{d} \mu \\ & \leqslant \int _{[0,1]} g(x_{0}, y) \, \mathrm{d} \lambda (y) \\ & = 0, \end{aligned}

так что мы приходим к противоречию. [Данное неравенство можно принять на веру, поскольку оно зависит от некоторых понятий, которые ещё предстоит определить.] Это даёт полустрогий контрпример к теореме Рисса о представлении в случае $p=1$ . Проблема здесь в том, что $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ не является $\sigma$ -конечным пространством с мерой. [На самом деле $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ не является даже разложимым.]

Задача 9.3.6

(a)(b)(c)

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает пространство с мерой. Предположим, что $\phi (E)=\int_{E} f \, \mathrm{d} \mu$ для каждого $E \in \mathcal{F}$ , где $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . $\phi$ — аддитивная функция множества.

?

(a)

Пусть $P=\left\{ \omega \in \Omega : f(\omega ) \geqslant 0\right\}$ . Тогда $(P, P^{c})$ — разложение Хана для $\Omega$ относительно $\phi$ . [Очевидно.]

(b)

Пусть $\phi =\phi^{+}-\phi^{-}$ обозначает разложение Жордана функции $\phi$ на конечные меры $\phi^{+}$ и $\phi^{-}$ ; напомним, что разложения Жордана единственны по упражнению 4 раздела 9.1. Покажите, что $\phi^{+}(E)=\int_{E} f^{+} \, \mathrm{d} \mu$ и $\phi^{-}(E)=\int_{E} f^{-} \, \mathrm{d} \mu$ для каждого $E \in \mathcal{F}$ . [Имеем $\phi^{+}(E)=\phi (E \cap P)=\int_{E \cap P} f \, \mathrm{d} \mu =\int_{E \cap P} f^{+} \, \mathrm{d} \mu$ для каждого $E \in \mathcal{F}$ , где $P$ — как в пункте (a).]

(c)

Определим $\left|\phi \right|(E)=\phi^{+}(E)+\phi^{-}(E)=\int_{E}\left|f\right| \, \mathrm{d} \mu$ . $\left|\phi \right|$ — конечная мера, и для каждого $E \in \mathcal{F}$ имеем $\left|\phi \right|(E)=\sup \sum_{i=1}^{n}\left|\phi (E_{i})\right|$ , где супремум берётся по всем конечным разбиениям $E$ на непересекающиеся $\mathcal{F}$ -множества $E_{1}, \cdots , E_{n}$ . [Пусть $E \in \mathcal{F}$ , и пусть $\beta$ обозначает этот супремум. Если $E_{1}, \cdots , E_{n}$ — непересекающиеся $\mathcal{F}$ -множества, то

\begin{aligned} \sum _{i=1}^{n}\left|\phi (E_{i})\right|=\sum _{i=1}^{n}\left|\phi ^{+}(E_{i})-\phi ^{-}(E_{i})\right| & \leqslant \sum _{i=1}^{n}(\phi ^{+}(E_{i})+\phi ^{-}(E_{i})) \\ & = \sum _{i=1}^{n}\left|\phi \right|(E_{i}) \\ & = \left|\phi \right|(E), \end{aligned}

откуда $\beta \leqslant \left|\phi \right|(E)$ . Для обратного неравенства рассмотрим непересекающиеся $\mathcal{F}$ -множества $E \cap P$ и $E \cap P^{c}$ , где $P$ — как в (a). Тогда

\beta \geqslant \left|\phi (E \cap P)\right|+\left|\phi (E \cap P^{c})\right|=\phi ^{+}(E)+\phi ^{-}(E)=\left|\phi \right|(E).

Отсюда $\beta =\left|\phi \right|(E)$ .]

Задача 9.3.7

В этом упражнении используются обозначения и результаты упражнения 6. Пусть $L$ обозначает ограниченный линейный функционал на $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ , где $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ — конечное пространство с мерой. Мы хотим показать следующее: существует $g \in L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ такое, что $L(f)=\int fg \, \mathrm{d} \mu$ для каждого $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ .

Упражнение 6 (переформулировка). Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает пространство с мерой. Предположим, что $\phi (E)=\int_{E} f \, \mathrm{d} \mu$ для каждого $E \in \mathcal{F}$ , где $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ ; $\phi$ — аддитивная функция множества. Пусть $(P, P^{c})$ обозначает разложение Хана для $\Omega$ относительно $\phi$ , пусть $\phi =\phi^{+}-\phi^{-}$ обозначает (единственное) разложение Жордана функции $\phi$ на конечные меры $\phi^{+}$ и $\phi^{-}$ , и пусть $\left|\phi \right|=\phi^{+}+\phi^{-}$ ; тогда для каждого $E \in \mathcal{F}$ выполняется $\left|\phi \right|(E)=\sup \sum_{i=1}^{n}\left|\phi (E_{i})\right|$ , где супремум берётся по всем конечным разбиениям $E$ на непересекающиеся $\mathcal{F}$ -множества $E_{1}, \cdots , E_{n}$ .

?

(a)

Определим $\nu (E)=L(\; \mathbb {1}_{E})$ для каждого $E \in \mathcal{F}$ . Тогда $\nu$ — аддитивная функция множества на $\mathcal{F}$ . [Заметим, что часть (i) доказательства в данном разделе работает и для $p=1$ .]

(b)

Существует единственная [с точностью до $\mu$ -нулевого множества] функция $g \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ такая, что $\nu (E)=\int_{E} g \, \mathrm{d} \mu$ . [Заметим, что часть (ii) доказательства в данном разделе работает и для $p=1$ .] По определению $\left|\nu \right|$ имеем $\left|\nu \right|(E)=\int_{E}\left|g\right| \, \mathrm{d} \mu$ для каждого $E \in \mathcal{F}$ .

(c)

Мы можем без потери общности считать, что $\left|g(\omega )\right| \leqslant \left\| L\right\|$ для каждого $\omega \in \Omega$ . Следовательно, $g \in L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . [Пусть $A=\left\{ \omega \in \Omega : \left|g(\omega )\right|>\left\| L\right\| \right\}$ . Если $\mu (A)>0$ , то $\left|\nu \right|(A)=\int_{A}\left|g\right| \, \mathrm{d} \mu >\int_{A}\left\| L\right\| \, \mathrm{d} \mu =\left\| L\right\| \mu (A)$ . По пункту (c) предыдущего упражнения найдётся конечный набор $A_{1}, \cdots , A_{n}$ непересекающихся $\mathcal{F}$ -множеств с объединением $A$ такой, что $\sum_{i=1}^{n}\left|\nu (A_{i})\right|>\left\| L\right\| \mu (A)$ . Но тогда

\begin{aligned} \left\| L\right\| \mu (A)<\sum _{i=1}^{n}\left|\nu (A_{i})\right|=\sum _{i=1}^{n}\left|L(\; \mathbb {1}_{A_{i}})\right| & \leqslant \sum _{i=1}^{n}\left\| L\right\| \left\| \; \mathbb {1}_{A_{i}}\right\| _{1} \\ & = \left\| L\right\| \sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i}) \\ & = \left\| L\right\| \mu (A), \end{aligned}

противоречие. Таким образом, $\left|g\right| \leqslant \left\| L\right\|$ $\mu$ -п.в. на $\Omega$ .]

(d)

Покажите, что $L(s)=\int sg \, \mathrm{d} \mu$ для каждой конечнозначной $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримой простой функции $s$ , определённой на $\Omega$ . [Следуйте доказательству (iii), приведённому в доказательстве данного раздела.]

(e)

$L(f)=\int fg \, \mathrm{d} \mu$ для каждого $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . [Следуйте доказательству (v), приведённому в доказательстве данного раздела, либо поступите обычным образом, используя теорему о монотонной сходимости для доказательства результата для неотрицательных функций из $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ , а затем используя положительную и отрицательную части, чтобы получить результат в общем случае.]

(f)

Функция $g \in L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ единственна с точностью до $\mu$ -нулевого множества. [Это должно быть несложно. Предположим, что $\psi \in L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ такова, что $\int f\psi \, \mathrm{d} \mu =0$ для каждого $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . Если множество $\left\{ \omega \in \Omega : \psi (\omega ) \neq 0\right\}$ имеет положительную $\mu$ -меру, то, без потери общности, множество $A=\left\{ \omega \in \Omega : \psi (\omega )>0\right\}$ имеет положительную и конечную $\mu$ -меру. Пусть $f=\; \mathbb {1}_{A}$ . Тогда $\int f\psi \, \mathrm{d} \mu =\int_{A} \psi \, \mathrm{d} \mu >0$ , противоречие. Используйте это, чтобы получить общее утверждение о единственности.]

Задача 9.3.8

Распространите упражнение 7 на случай, когда $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ является $\sigma$ -конечным. Это даёт теорему Рисса о представлении для случая $p=1$ .

?

Примечание.

?

Пусть $\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает дизъюнктную последовательность $\mathcal{F}$ -множеств конечной $\mu$ -меры с объединением $\Omega$ . Для каждого $n \in \mathbb {N}$ и $E \in \mathcal{F}$ положим $\mu_{n}(E)=\mu (E \cap A_{n})$ , так что $(\Omega , \mathcal{F}, \mu_{n})$ — конечное пространство с мерой. Определим $L_{n}$ на $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu_{n})$ , полагая $L_{n}(f)=L(fI_{A_{n}})$ . Тогда каждый $L_{n}$ — ограниченный линейный функционал на $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu_{n})$ с $\left\| L_{n}\right\| \leqslant \left\| L\right\|$ . Применим теперь предыдущее упражнение для каждого $n \in \mathbb {N}$ : существует $g_{n} \in L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mu_{n})$ такое, что $\left|g_{n}(\omega )\right| \leqslant \left\| L_{n}\right\| \leqslant \left\| L\right\|$ для каждого $\omega \in \Omega$ и

L(fI_{A_{n}})=L_{n}(f)=\int fg_{n} \, \mathrm{d} \mu _{n}=\int _{A_{n}} fg_{n} \, \mathrm{d} \mu \quad \text{для каждого } f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu _{n}).

Поскольку $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu ) \subseteq L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu_{n})$ , приведённое соотношение выполняется для каждого $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . Рассмотрим теперь функции $g_{1}, g_{2}, \cdots$ . Для каждого $n \in \mathbb {N}$ значения $g_{n}$ на $A_{n}^{c}$ не влияют на определение $L_{n}$ . Мы можем осмысленно определить функцию $g$ на $\Omega$ , полагая $g(\omega )=g_{n}(\omega )$ при $\omega \in A_{n}$ ; несложно проверить, что $g \in L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ и $\left\| g\right\|_{\infty } \leqslant \left\| L\right\|$ . Теперь возьмём $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . Используя непрерывность $L$ , ограниченность $g$ и теорему о мажорируемой сходимости, получаем

\begin{aligned} L(f)=\lim _{m} L\left(\sum _{n=1}^{m} fI_{A_{n}}\right)=\lim _{m} \sum _{n=1}^{m} L(fI_{A_{n}}) & = \lim _{m} \sum _{n=1}^{m} \int _{A_{n}} fg \, \mathrm{d} \mu \\ & = \lim _{m} \int \sum _{n=1}^{m} fI_{A_{n}} g \, \mathrm{d} \mu \\ & = \int fg \, \mathrm{d} \mu . \end{aligned}

Единственность $g$ с точностью до $\mu$ -нулевого множества устанавливается так же, как в конечном случае.

Задача 9.3.9

Пусть $\Omega =(0,1]$ , пусть $\mathcal{F}$ обозначает борелевские подмножества $\Omega$ , и пусть $\lambda$ обозначает меру Лебега, суженную на $\mathcal{F}$ . Тогда $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ не является слабо компактным. Это показывает, что в упражнении 2 мы не можем рассматривать случай $p=1$ , даже если рассматриваемое пространство конечно.

?

Примечание.

?

Для каждого $n \in \mathbb {N}$ пусть $f_{n}=n \; \mathbb {1}_{(0, n^{-1}]}$ , и предположим, что некоторая подпоследовательность $\left\{ f_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty }$ слабо сходится при $k \rightarrow \infty$ к некоторой $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . Проинтегрируйте $f_{n_{k}}$ против функций $\operatorname {sgn} f \; \mathbb {1}_{(\varepsilon , 1]}$ из $L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ и покажите, что предполагаемая слабая сходимость вынуждает $f=0$ $\mu$ -п.в. на $\Omega$ . Затем проинтегрируйте против постоянной функции $1$ (которая, очевидно, принадлежит $L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ ) и получите противоречие.

Задача 9.3.10

(a)(b)

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает $\sigma$ -конечное пространство с мерой. Пусть $\mathfrak {F}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает множество функций $\phi : \mathcal{F} \rightarrow \mathbb {R}$ таких, что

$\sup \left\{ \left|\phi (A)\right|: A \in \mathcal{F}\right\} <+\infty$ ,
$\phi (A \cup B)=\phi (A)+\phi (B)$ всякий раз, когда $A, B \in \mathcal{F}$ не пересекаются, и
$\phi (A)=0$ всякий раз, когда $A \in \mathcal{F}$ и $\mu (A)=0$ . Для $\phi \in \mathfrak {F}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ определим $\left|\phi \right|$ на $\mathcal{F}$ , полагая

\left|\phi \right|(A)=\sup \left\{ \sum _{i=1}^{n}\left|\phi (A_{i})\right|: A_{1}, \cdots , A_{n} \text{ — непересекающиеся } \mathcal{F}\text{-множества с объединением } A\right\}

для каждого $A \in \mathcal{F}$ . Для $\phi \in \mathfrak {F}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ определим $\left\| \phi \right\| =\left|\phi \right|(\Omega )$ .

?

(a)

Покажите, что $\left|\phi \right| \in \mathfrak {F}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ .

(b)

Покажите, что $\mathfrak {F}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ — нормированное линейное пространство [с поточечными (по множествам) линейными операциями].

Задача 9.3.11

Примем обозначения упражнения 10. Пусть $f=\sum_{j=1}^{m} \alpha_{j} \; \mathbb {1}_{A_{j}}$ и $g=\sum_{k=1}^{n} \beta_{k} \; \mathbb {1}_{B_{k}}$ обозначают $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримые простые функции с областью определения $\Omega$ [т.е. $A_{1}, \cdots , A_{m} \in \mathcal{F}$ не пересекаются и в объединении дают $\Omega$ , а $B_{1}, \cdots , B_{n} \in \mathcal{F}$ не пересекаются и в объединении дают $\Omega$ ]. Пусть $\phi \in \mathfrak {F}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . Тогда

\left|\sum _{j=1}^{m} \alpha _{j} \phi (A_{j})-\sum _{k=1}^{n} \beta _{k} \phi (B_{k})\right| \leqslant \left\| \phi \right\| \left\| f-g\right\| _{u},

где $\left\| h\right\|_{u}=\sup_{\omega \in \Omega }\left|h(\omega )\right|$ для каждой функции $h$ на $\Omega$ .

?

Примечание.

?

Проверьте, что

\begin{aligned} \left|\sum _{j=1}^{m} \alpha _{j} \phi (A_{j})-\sum _{k=1}^{n} \beta _{k} \phi (B_{k})\right| & =\left|\sum _{j=1}^{m} \sum _{k=1}^{n}(\alpha _{j}-\beta _{k}) \phi (A_{j} \cap B_{k})\right| \\ & \leqslant \sum _{j=1}^{m} \sum _{k=1}^{n}\left|\alpha _{j}-\beta _{k}\right|\left|\phi (A_{j} \cap B_{k})\right| \\ & \leqslant \sum _{j=1}^{m} \sum _{k=1}^{n}\left\| f-g\right\| _{u}\left|\phi (A_{j} \cap B_{k})\right| \\ & \leqslant \left\| f-g\right\| _{u}\left\| \phi \right\| . \end{aligned}

Задача 9.3.12

Примем обозначения упражнения 10, и пусть $\phi \in \mathfrak {F}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . Если $s=\sum_{j=1}^{m} \alpha_{j} \; \mathbb {1}_{A_{j}}$ — $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримая простая функция на $\Omega$ , определим $\int s \, \mathrm{d} \phi =\sum_{j=1}^{m} \alpha_{j} \phi (A_{j})$ . Далее, если $f$ — ограниченная $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримая функция на $\Omega$ , то существует последовательность простых функций $\left\{ s_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ на $\Omega$ такая, что $\left\| f-s_{n}\right\|_{u} \rightarrow 0$ .

?

(a)

Вещественная последовательность $\left\{ \int s_{n} \, \mathrm{d} \phi \right\}_{n=1}^{\infty }$ является последовательностью Коши. Определим $\int f \, \mathrm{d} \phi =\lim_{n} \int s_{n} \, \mathrm{d} \phi$ .

(b)

Это определение корректно, так как $\int f \, \mathrm{d} \phi$ не зависит от конкретной последовательности $\left\{ s_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримых простых функций на $\Omega$ с $\left\| f-s_{n}\right\|_{u} \rightarrow 0$ . Данное определение также согласуется с нашим определением $\int \cdots \, \mathrm{d} \phi$ для простых функций.

(c)

Пусть $f$ и $g$ обозначают ограниченные $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримые функции на $\Omega$ , и пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Покажите, что

$\int \alpha f \, \mathrm{d} \phi =\alpha \int f \, \mathrm{d} \phi$ ,
$\int (f+g) \, \mathrm{d} \phi =\int f \, \mathrm{d} \phi +\int g \, \mathrm{d} \phi$ ,
$\left|\int f \, \mathrm{d} \phi \right| \leqslant \int \left|f\right| \, \mathrm{d}\left|\phi \right|$ , и
из $0 \leqslant f \leqslant g$ следует $\int f \, \mathrm{d}\left|\phi \right| \leqslant \int g \, \mathrm{d}\left|\phi \right|$ .

(d)

Пусть $h$ обозначает ограниченную $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримую функцию такую, что $h=0$ $\mu$ -п.в. на $\Omega$ . Тогда $\int h \, \mathrm{d} \phi =0$ .

(e)

Мы определили $\int \cdots \, \mathrm{d} \phi$ сначала для простых функций, затем для ограниченных функций. Мы хотим распространить это определение на функции из $L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . Для этого пусть $g \in L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ , и выберем ограниченную функцию $f \in L^{\infty }$ такую, что $\left\| f-g\right\|_{\infty }=0$ . [См. упражнение 2 раздела 8.4, чтобы убедиться, что такая функция $f$ существует.] Определим $\int g \, \mathrm{d} \phi$ как $\int f \, \mathrm{d} \phi$ . Используя это, покажите, что данное определение корректно в том смысле, что если $g$ — ограниченная функция из $L^{\infty }$ с $\left\| h-g\right\|_{\infty }=0$ , то $\int f \, \mathrm{d} \phi =\int h \, \mathrm{d} \phi$ .

Примечание.

?

(a)

Используйте упражнение 11.

(d)

Пусть $A=\left\{ \omega \in \Omega : h(\omega ) \neq 0\right\}$ . Проверьте, что

\begin{aligned} \left|\int h \, \mathrm{d} \phi \right| \leqslant \int \left|h\right| \, \mathrm{d}\left|\phi \right| & =\int \; \mathbb {1}_{A}\left|h\right| \, \mathrm{d}\left|\phi \right|+\int \; \mathbb {1}_{A^{c}}\left|h\right| \, \mathrm{d}\left|\phi \right| \\ & \leqslant \left\| h\right\| _{u}\left|\phi \right|(A)+0 \\ & =0 \end{aligned}

обращаясь к пункту (c) и к упражнению 10.

Задача 9.3.13

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает $\sigma$ -конечное пространство с мерой, и пусть $\phi \in \mathfrak {F}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . Определим $L_{\phi }$ на $L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ , полагая $L_{\phi }(g)=\int g \, \mathrm{d} \phi$ . Тогда $L_{\phi }$ — ограниченный линейный функционал с $\left\| L_{\phi }\right\| =\left\| \phi \right\| =\left|\phi \right|(\Omega )$ .

?

Примечание.

?

Линейность следует из упражнения 12. Для второго утверждения пусть $g \in L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . Выберем ограниченную $f \in L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ так, чтобы $\left\| f-g\right\|_{\infty }=0$ и $\left\| f\right\|_{u}=\left\| g\right\|_{\infty }$ . [См. пункт (e) предыдущего упражнения либо упражнение 2 раздела 8.4, чтобы убедиться, что такая функция $f$ существует.] Используя предыдущее упражнение, получаем

\begin{aligned} \left|L_{\phi }(g)\right|=\left|\int g \, \mathrm{d} \phi \right|=\left|\int f \, \mathrm{d} \phi \right| & \leqslant \int \left|f\right| \, \mathrm{d}\left|\phi \right| \\ & \leqslant \left\| f\right\| _{u}\left\| \phi \right\| \\ & =\left\| g\right\| _{\infty }\left\| \phi \right\| . \end{aligned}

Отсюда $\left\| L_{\phi }\right\| \leqslant \left\| \phi \right\|$ . Для обратного неравенства выберем $\varepsilon >0$ и, используя определение $\left|\phi \right|$ из упражнения 10, найдём непересекающийся набор $A_{1}, \cdots , A_{n} \in \mathcal{F}$ с объединением $\Omega$ и $\sum_{j=1}^{n}\left|\phi (A_{j})\right|>\left\| \phi \right\| -\varepsilon$ . Для $j=1, \cdots , n$ положим $\alpha_{j}=\operatorname {sgn} \phi (A_{j})$ . Определим функцию $g=\sum_{j=1}^{n} \alpha_{j} \; \mathbb {1}_{A_{j}}$ . Имеем $g \in L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ с $\left\| g\right\|_{\infty }=\left\| g\right\|_{u} \leqslant 1$ , и

\left|L_{\phi }(g)\right|=\left|\int g \, \mathrm{d} \phi \right|=\left|\sum _{j=1}^{n} \alpha _{j} \phi (A_{j})\right|=\sum _{j=1}^{n}\left|\phi (A_{j})\right| \geqslant \left\| g\right\| _{\infty }\left(\left\| \phi \right\| -\varepsilon \right).

Поскольку $\varepsilon >0$ произвольно, отсюда $\left\| L_{\phi }\right\| \geqslant \left\| \phi \right\|$ .

Задача 9.3.14

Докажите теорему Рисса о представлении для $p=+\infty$ : пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает $\sigma$ -конечное пространство с мерой, и пусть $L$ обозначает ограниченный линейный функционал на $L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . Тогда существует $\phi \in \mathfrak {F}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ такое, что $L=L_{\phi }$ , где $L_{\phi }$ определён как в предыдущем упражнении.

Основа (из абзаца, предшествующего упражнению 10). Для $\sigma$ -конечного пространства с мерой $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ через $\mathfrak {F}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначается множество функций $\phi : \mathcal{F} \rightarrow \mathbb {R}$ таких, что (i) $\sup \left\{ \left|\phi (A)\right|: A \in \mathcal{F}\right\} <+\infty$ , (ii) $\phi (A \cup B)=\phi (A)+\phi (B)$ всякий раз, когда $A, B \in \mathcal{F}$ не пересекаются, и (iii) $\phi (A)=0$ всякий раз, когда $A \in \mathcal{F}$ и $\mu (A)=0$ ; $\left|\phi \right|(A)=\sup \left\{ \sum_{i=1}^{n}\left|\phi (A_{i})\right|: A_{1}, \cdots , A_{n} \text{ — непересекающиеся } \mathcal{F}\text{-множества с объединением } A\right\}$ для каждого $A \in \mathcal{F}$ , и $\left\| \phi \right\| =\left|\phi \right|(\Omega )$ .

Упражнение 13 (переформулировка): пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает $\sigma$ -конечное пространство с мерой, и пусть $\phi \in \mathfrak {F}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . Определим $L_{\phi }$ на $L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ , полагая $L_{\phi }(g)=\int g \, \mathrm{d} \phi$ . Тогда $L_{\phi }$ — ограниченный линейный функционал с $\left\| L_{\phi }\right\| =\left\| \phi \right\| =\left|\phi \right|(\Omega )$ .

Обратите внимание на небольшое отличие в формулировке теоремы для случая $p=+\infty$ по сравнению со случаем $1 \leqslant p<+\infty$ .

?

Задача 9.3.15

Предположим, что $\phi : 2^{\Omega } \rightarrow \left\{ 0,1\right\}$ такова, что $\phi (\Omega )=1$ и $\phi (A \cup B)=\phi (A)+\phi (B)$ всякий раз, когда $A$ и $B$ — непересекающиеся подмножества $\Omega$ . Такая функция $\phi$ называется конечно-аддитивной мерой. Определим $\mathcal{U}=\left\{ A \subseteq \Omega : \phi (A)=1\right\}$ .

?

(a)

$\varnothing \notin \mathcal{U}$ .

(b)

Если $A \in \mathcal{U}$ и $A \subseteq B \subseteq \Omega$ , то $B \in \mathcal{U}$ .

(c)

Если $A, B \in \mathcal{U}$ , то $A \cap B \in \mathcal{U}$ .

(d)

Если $A \subseteq \Omega$ , то $A \in \mathcal{U}$ или $A^{c} \in \mathcal{U}$ .

(e)

Если набор $\mathcal{V}$ подмножеств $\Omega$ удовлетворяет условиям (a)–(c), то $\mathcal{V}$ называется фильтром на $\Omega$ . Если $\mathcal{V}$ удовлетворяет условиям (a)–(d), то $\mathcal{V}$ называется ультрафильтром на $\Omega$ . Пусть $\mathcal{V}$ обозначает ультрафильтр на $\Omega$ , и определим $\psi : 2^{\Omega } \rightarrow \left\{ 0,1\right\}$ , полагая $\psi (A)=1$ , если $A \in \mathcal{V}$ , и $\psi (A)=0$ , если $A \notin \mathcal{V}$ . Тогда $\psi$ — конечно-аддитивная мера.

(f)

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает $\sigma$ -конечное пространство с мерой, и пусть $\phi$ обозначает конечно-аддитивную меру из $\mathfrak {F}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ [см. определение $\mathfrak {F}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ в упражнении 10]. Тогда $\int f g \, \mathrm{d} \phi =\int f \, \mathrm{d} \phi \int g \, \mathrm{d} \phi$ для всех $f, g \in L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ тогда и только тогда, когда $\phi (A)$ равно $0$ или $1$ для каждого $A \in \mathcal{F}$ .

Задача 9.3.16

(a)(b)(c)

Пусть $\Omega$ обозначает непустое множество. Фильтр $\mathcal{U}$ на $\Omega$ называется свободным, если $\bigcap \mathcal{U}=\varnothing$ . [То есть не существует $\omega \in \Omega$ , общего для всех множеств из $\mathcal{U}$ .] Если фильтр не является свободным, он называется фиксированным.

?

(a)

Если $\mathcal{U}$ — фиксированный ультрафильтр на $\Omega$ , то $\mathcal{U}=\left\{ A \subseteq \Omega : \omega \in A\right\}$ для некоторого $\omega \in \Omega$ .

(b)

Если $\Omega$ конечно, то любой ультрафильтр на $\Omega$ фиксирован.

(c)

Если $\Omega$ бесконечно, то на $\Omega$ существует свободный ультрафильтр.

Примечание.

?

(c)

Определим набор $\mathcal{A}=\left\{ A \subseteq \Omega : A^{c} \text{ конечно}\right\}$ . Тогда $\mathcal{A}$ — фильтр. Используйте лемму Цорна, чтобы получить максимальный фильтр $\mathcal{V}$ , содержащий $\mathcal{A}$ , а затем покажите, что $\mathcal{V}$ — свободный ультрафильтр.

От Радона–Никодима к теореме Рисса о представлении