Банк задач по математике

Задача 9.2.1

Если $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ и $\left(\Omega , \mathcal{F}, v\right)$ — разложимые измеримые пространства, то $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu +v\right)$ есть разложимое измеримое пространство.

Определение. Пусть $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ обозначает измеримое пространство. Предположим, что существует подсовокупность $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}$ , обладающая следующими четырьмя свойствами: (i) $\mu (F)<+\infty$ для каждого $F \in \mathcal{A}$ ; (ii) множества в $\mathcal{A}$ попарно не пересекаются и в объединении дают $\Omega$ ; (iii) если $E \in \mathcal{F}$ и $\mu (E)<+\infty$ , то $\mu (E)=\sum_{F \in \mathcal{A}} \mu (E \cap F)$ ; (iv) если $S \subseteq \Omega$ таково, что $S \cap F \in \mathcal{F}$ для каждого $F \in \mathcal{A}$ , то $S \in \mathcal{F}$ . Тогда $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ или $\mu$ называется разложимым, а $\mathcal{A}$ называется разложением пространства $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ .

?

Задача 9.2.2

Пусть предположения таковы же, как в Упражнении 9.2.1: $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ и $\left(\Omega , \mathcal{F}, v\right)$ — разложимые измеримые пространства.

Определение. Пусть $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ обозначает измеримое пространство. Предположим, что существует подсовокупность $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}$ , обладающая следующими четырьмя свойствами: (i) $\mu (F)<+\infty$ для каждого $F \in \mathcal{A}$ ; (ii) множества в $\mathcal{A}$ попарно не пересекаются и в объединении дают $\Omega$ ; (iii) если $E \in \mathcal{F}$ и $\mu (E)<+\infty$ , то $\mu (E)=\sum_{F \in \mathcal{A}} \mu (E \cap F)$ ; (iv) если $S \subseteq \Omega$ таково, что $S \cap F \in \mathcal{F}$ для каждого $F \in \mathcal{A}$ , то $S \in \mathcal{F}$ . Тогда $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ или $\mu$ называется разложимым, а $\mathcal{A}$ называется разложением пространства $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ .

Введём следующее новое определение. $\mu$ и $v$ сингулярны, если (i) существует $B \in \mathcal{F}$ такое, что $\mu (B \cap E)=0$ для всех $E \in \mathcal{F}$ , являющихся $\sigma$ -конечными относительно $\mu$ , и (ii) $v\left(B^{c} \cap E\right)=0$ для всех $E \in \mathcal{F}$ , являющихся $\sigma$ -конечными относительно $v$ .

Сформулируйте и докажите аналог $\sigma$ -конечной версии теоремы Радона-Никодима из предыдущего раздела, и проверьте, что эта версия действительно является обобщением разложимой версии теоремы Радона-Никодима, приведённой в данном разделе.

Теорема Радона-Никодима, $\sigma$ -конечный случай (Раздел 9.1). Пусть $\mu$ и $v$ обозначают $\sigma$ -конечные меры с областью определения $\mathcal{F}$ такие, что $v \ll \mu$ . Тогда существует неотрицательная конечнозначная $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримая функция $f$ на $\Omega$ , обладающая следующими свойствами: (a) $v(A)=\int_{A} f \, d\mu$ для каждого $A \in \mathcal{F}$ ; эта функция $f$ единственна с точностью до множества $\mu$ -меры нуль. (b) $\int g \, dv=\int g f \, d\mu$ для каждой неотрицательной $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримой $g$ , определённой на $\Omega$ . (c) Для каждой $g \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, v)$ имеем $fg \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ , и снова выполняется равенство $\int g \, dv=\int g f \, d\mu$ .

Теорема Радона-Никодима (Раздел 9.2). Пусть $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ обозначает $\sigma$ -конечное измеримое пространство с разложением $\mathcal{A}$ , и пусть $v$ обозначает произвольную меру с областью определения $\mathcal{F}$ и $v \ll \mu$ . (a) Существует $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримая функция $f: \Omega \rightarrow \left[0,+\infty \right]$ такая, что $v(A)=\int_{A} f \, d\mu$ для каждого $A \in \mathcal{F}$ . Эту функцию $f$ можно взять конечной на каждом $A \in \mathcal{A}$ , являющемся $\sigma$ -конечным относительно $\mu$ . (b) Имеем $\int g \, dv=\int g f \, d\mu$ для каждой $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримой $g: \Omega \rightarrow \left[0,+\infty \right]$ . (c) Если $g \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, v)$ , то $gf$ принадлежит $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ и $\int g \, dv=\int g f \, d\mu$ . (d) Функция $f$ единственна в том смысле, что если $h: \Omega \rightarrow \left[0,+\infty \right]$ — $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримая функция такая, что $v(A)=\int h \, d\mu$ для каждого $A \in \mathcal{F}$ с $\mu (A)<+\infty$ , то $f=h$$\mu$ -п.в. на $\Omega$ .

?

Примечание.

?

Данное определение сингулярности приводится только в этой задаче и далее в тексте использоваться не будет.

Задача 9.2.3

Биллингсли приводит следующий план альтернативного доказательства окончательной версии теоремы Радона-Никодима, приведённой в данном разделе. Предположим сначала, что $\mu$ конечна и $v \ll \mu$ .

?

(a)

Пусть $\mathcal{H}$ обозначает класс множеств $H$ из $\mathcal{F}$ таких, что $\mu (E)=0$ или $v(E)=+\infty$ для каждого множества $E \subseteq H$ из $\mathcal{F}$ . Тогда $\mathcal{H}$ содержит множество $H_{0}$ максимальной $\mu$ -меры.

(b)

Пусть $\mathcal{C}$ обозначает класс множеств в $\Omega_{0}=H_{0}^{c}$ , являющихся счётными объединениями множеств конечной $v$ -меры. Тогда $\mathcal{C}$ содержит множество $C_{0}$ максимальной $\mu$ -меры.

Запишем $D_{0}=\Omega_{0}-C_{0}$ .

(c)

Из максимальности $H_{0}$ и $C_{0}$ имеем $\mu \left(D_{0}\right)=v\left(D_{0}\right)=0$ .

(d)

Пусть $v_{0}(A)=v\left(A \cap \Omega_{0}\right)$ для каждого $A \in \mathcal{F}$ . Используйте теорему Радона-Никодима из предыдущего раздела для пары $\mu , v_{0}$ , чтобы доказать результат для пары $\mu , v$ .

(e)

Теперь мы можем доказать результат для случая, когда $\mu$$\sigma$ -конечна.

(f)

Имеет место следующее дополнительное утверждение: если производную Радона-Никодима в (e) можно взять всюду конечной, то $v$$\sigma$ -конечна.

Примечание.

?

Обе меры, разумеется, имеют область определения $\mathcal{F}$ , и $v$ произвольна на протяжении пунктов (a)-(c).

Теорема Радона-Никодима (Раздел 9.2 — теорема, доказываемая здесь заново). Пусть $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ обозначает $\sigma$ -конечное измеримое пространство с разложением $\mathcal{A}$ , и пусть $v$ обозначает произвольную меру с областью определения $\mathcal{F}$ и $v \ll \mu$ . (a) Существует $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримая функция $f: \Omega \rightarrow \left[0,+\infty \right]$ такая, что $v(A)=\int_{A} f \, d\mu$ для каждого $A \in \mathcal{F}$ . Эту функцию $f$ можно взять конечной на каждом $A \in \mathcal{A}$ , являющемся $\sigma$ -конечным относительно $\mu$ . (b) Имеем $\int g \, dv=\int g f \, d\mu$ для каждой $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримой $g: \Omega \rightarrow \left[0,+\infty \right]$ . (c) Если $g \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, v)$ , то $gf$ принадлежит $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ и $\int g \, dv=\int g f \, d\mu$ . (d) Функция $f$ единственна в том смысле, что если $h: \Omega \rightarrow \left[0,+\infty \right]$ — $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримая функция такая, что $v(A)=\int h \, d\mu$ для каждого $A \in \mathcal{F}$ с $\mu (A)<+\infty$ , то $f=h$$\mu$ -п.в. на $\Omega$ .

Теорема Радона-Никодима,

$\sigma$ -конечный случай (Раздел 9.1 — используется в пункте (d)). Пусть $\mu$ и $v$ обозначают $\sigma$ -конечные меры с областью определения $\mathcal{F}$ такие, что $v \ll \mu$ . Тогда существует неотрицательная конечнозначная $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримая функция $f$ на $\Omega$ , обладающая следующими свойствами: (a) $v(A)=\int_{A} f \, d\mu$ для каждого $A \in \mathcal{F}$ ; эта функция $f$ единственна с точностью до множества $\mu$ -меры нуль. (b) $\int g \, dv=\int g f \, d\mu$ для каждой неотрицательной $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримой $g$ , определённой на $\Omega$ . (c) Для каждой $g \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, v)$ имеем $fg \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ , и снова выполняется равенство $\int g \, dv=\int g f \, d\mu$ .

Теорема Радона–Никодима, часть II