Банк задач по математике

Задача 9.1.1

В определении аддитивной функции множества покажите, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty } \varphi \left(A_{n}\right)$ должен сходиться абсолютно.

?

Задача 9.1.2

В Утверждении 4 быстро проверьте, что $\varphi^{-}$ есть конечная мера с носителем $A^{-}$ .

Определение (предшествующее Утверждению 4). Пусть $\left(A^{+}, A^{-}\right)$ обозначает разложение Хана пространства $\Omega$ относительно аддитивной функции множества $\varphi$ . Определим $\varphi^{+}: \mathcal{F} \rightarrow \mathbb {R}$ и $\varphi^{-}: \mathcal{F} \rightarrow \mathbb {R}$ , полагая $\varphi^{+}(A)=\varphi \left(A \cap A^{+}\right)$ и $\varphi^{-}(A)=-\varphi \left(A \cap A^{-}\right)$ для каждого $A \in \mathcal{F}$ ; $\varphi^{+}$ и $\varphi^{-}$ называются верхней и нижней вариацией $\varphi$ , а $\varphi =\varphi^{+}-\varphi^{-}$ называется разложением Жордана функции $\varphi$ .

Утверждение 4. Примем указанные выше обозначения. Функции $\varphi^{+}$ и $\varphi^{-}$ выше суть конечные меры на $\mathcal{F}$ , имеющие носители $A^{+}$ и $A^{-}$ соответственно. (Следовательно, $\varphi^{+}$ и $\varphi^{-}$ имеют непересекающиеся носители.) [Доказательство для $\varphi^{+}$ приведено в тексте; данное упражнение просит привести аналогичное рассуждение для $\varphi^{-}$ .]

?

Задача 9.1.3

Пусть ( $A^{+}, A^{-}$ ) и ( $B^{+}, B^{-}$ ) — разложения Хана относительно аддитивной функции множества $\varphi$ . Тогда $\varphi \left(A^{+} \Delta B^{+}\right)= \varphi \left(A^{-} \Delta B^{-}\right)=0$ .

?

Задача 9.1.4

Разложение Жордана аддитивной функции множества $\varphi$ единственно.

?

Задача 9.1.5

(a)(b)

Данная задача в некоторой степени связывает понятие абсолютной непрерывности с привычными $\varepsilon -\delta$ -понятиями.

?

(a)

Пусть $\mu$ и $v$ обозначают меры с общей областью определения $\mathcal{F}$ , причём $v$ конечна. Тогда $v \ll \mu$ в том и только том случае, если для каждого $\varepsilon >0$ найдётся $\delta >0$ такое, что $\mu (A)<\delta$ влечёт $v(A)<\varepsilon$ .

(b)

Утверждение из (a) не обязано быть верным, если $v$ бесконечна, поскольку условие $v \ll \mu$ не влечёт $\varepsilon -\delta$ -условие.

Задача 9.1.6

Пусть $\mu , v, v_{1}$ и $v_{2}$ обозначают меры, каждая с общей областью определения $\mathcal{F}$ .

?

(a)

Если $v_{1} \perp \mu$ и $v_{2} \perp \mu$ , то $v_{1}+v_{2} \perp \mu$ .

(b)

Если $v_{1} \ll \mu$ и $v_{2} \ll \mu$ , то $v_{1}+v_{2} \ll \mu$ .

(c)

Если $v_{1} \ll \mu$ и $v_{2} \perp \mu$ , то $v_{1} \perp v_{2}$ .

(d)

Если $v \ll \mu$ и $v \perp \mu$ , то $v=0$ .

(e)

Если $\mu \perp \mu$ , то $\mu =0$ .

(f)

Если $\mu$ и $v$ являются $\sigma$ -конечными и $v \ll \mu$ , то $v\left(\left\{ \omega \in \Omega : \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~ d} \mu }(\omega )=0\right\} \right)=0$ .

Задача 9.1.7

(a)(b)

Утверждение 1 может быть обобщено следующим образом: если $\left\{ E_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность множеств из $\mathcal{F}$ , такая что $\lim E_{n}$ существует [т.е. $\overline{\lim } E_{n}=\underline{\lim } E_{n}$ ], то $\lim \varphi \left(E_{n}\right)=\varphi \left(\lim E_{n}\right)$ .

Утверждение 1 (Глава 9). Пусть $\varphi$ обозначает аддитивную функцию множества на $\mathcal{F}$ .

?

(a)

Если $\left\{ E_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — неубывающая последовательность множеств из $\mathcal{F}$ с пределом $E$ , то $\lim_{n} \varphi \left(E_{n}\right)=\varphi (E)$ .

(b)

Если $\left\{ E_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — невозрастающая последовательность множеств из $\mathcal{F}$ с пределом $E$ , то $\lim_{n} \varphi \left(E_{n}\right)=\varphi (E)$ .

Примечание.

?

Запишите $\varphi =\varphi^{+}-\varphi^{-}$ для разложения Жордана функции $\varphi$ и вспомните, что $\varphi^{+}$ и $\varphi^{-}$ суть конечные меры.

Задача 9.1.8

(a)(b)

Пусть $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . Определим $\nu (E)=\int_{E} f \mathrm{~ d} \mu$ для каждого $E \in \mathscr {F}$ .

?

(a)

$v$ — аддитивная функция множества, такая что $v^{+}(E)=\int_{E} f^{+} \mathrm{d} \mu$ и $v^{-}(E)= \int_{E} f^{-} \mathrm{d} \mu$ для каждого $E \in \mathcal{F}$ .

(b)

Если $A^{+}=\left\{ \omega \in \Omega : f(\omega )>0\right\}$ и $A^{-}=A^{+c}$ , то ( $A^{+}, A^{-}$ ) есть разложение Хана относительно $v$ .

Задача 9.1.9

(a)(b)(c)

Пусть $\mathfrak {M}$ обозначает совокупность аддитивных функций множества $\varphi$ с областью определения $\mathcal{F}$ .

?

(a)

$\mathfrak {M}$ — линейное пространство над $\mathbb {R}$ : для $a, b \in \mathbb {R}$ и $\varphi_{1}, \varphi_{2} \in \mathfrak {M}$ имеем $a \varphi_{1}+b \varphi_{2} \in \mathfrak {M}$ .

(b)

Для $\varphi \in \mathfrak {M}$ определим $\left\| \varphi \right\| =\varphi^{+}(\Omega )+\varphi^{-}(\Omega )$ , где $\varphi =\varphi^{+}-\varphi^{-}$ есть разложение Жордана функции $\varphi$ . Тогда $\| \|$ есть норма на $\mathfrak {M}$ .

(c)

Является ли M банаховым пространством?

Задача 9.1.10

Пусть ( $A^{+}, A^{-}$ ) обозначает разложение Хана аддитивной функции множества $\varphi$ , и пусть $\varphi =\varphi^{+}-\varphi^{-}$ обозначает разложение Жордана. Имеем

\begin{aligned} \varphi ^{+}(A) & =\sup \left\{ \varphi (E): E \in \mathscr {F}, E \subseteq A\right\} \\ \varphi ^{-}(A) & =-\inf \left\{ \varphi (E): E \in \mathscr {F}, E \subseteq A\right\} \end{aligned}

для каждого $A \in \mathcal{F}$ .

?

Задача 9.1.11

Теорема Радона-Никодима может не выполняться, если $\mu$ не является $\sigma$ -конечной, даже если $v$ конечна.

?

Примечание.

?

Пусть $\Omega$ несчётно, пусть $\mathcal{F}=\left\{ A \subseteq \Omega : A \text{ есть amc или } A^{c} \text{ есть amc}\right\}$ , пусть $\mu$ обозначает считающую меру, и пусть $v(A)=1$ или $0$ в зависимости от того, является ли $A^{c}$ amc или $A$ amc. В частности, $v\left(\left\{ \omega \right\} \right)=0$ для каждого $\omega \in \Omega$ . Если существует $f$ , удовлетворяющая заключению теоремы Радона-Никодима, то для каждого $\omega \in \Omega$ имеем $0=v\left(\left\{ \omega \right\} \right)=\int_{\left\{ \omega \right\} } f \, \mathrm{d} \mu =f(\omega )$ , откуда $f=0$ на $\Omega$ . (Вспомните Упражнение 7 из Раздела 6.2.) Тогда $1=v(\Omega )=\int f \, \mathrm{d} \mu =0$ — противоречие.

Задача 9.1.12

(a)(b)(c)(d)

Пусть $\mu , v, v_{1}, v_{2}$ и $\rho$ обозначают $\sigma$ -конечные меры с областью определения $\mathcal{F}$ . Имеют место следующие утверждения.

?

(a)

Если $\nu_{1} \ll \mu$ и $\nu_{2} \ll \mu$ , то $\mathrm{d}\left(\nu_{1} \pm \nu_{2}\right) / \mathrm{d} \mu =\mathrm{d} \nu_{1} / \mathrm{d} \mu \pm \mathrm{d} \nu_{2} / \mathrm{d} \mu$$\mu$ -п.в. на $\Omega$ .

(b)

Если $v \ll \mu$ и $\mu \ll \rho$ , то $v \ll \rho$ и $\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~ d} \rho }=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~ d} \mu } \frac{\mathrm{~ d} \mu }{\mathrm{~ d} \rho }$$\mu$ -п.в. на $\Omega$ .

(c)

Если $\nu \ll \mu$ и $\mu \ll \nu$ , то $\frac{\mathrm{d} \nu }{\mathrm{d} \mu }=\; \mathbb {1}_{\left[\mathrm{d} \mu / \mathrm{d} \nu >0\right]} \times \frac{1}{\mathrm{~ d} \mu / \mathrm{d} \nu }$$\mu$ -п.в. на $\Omega$ .

(d)

Пусть $\mu \ll \rho$ и $v \ll \rho$ . Тогда $v \ll \mu$ в том и только том случае, если $\rho \left[\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~ d} \rho }>0, \frac{\mathrm{~ d} \mu }{\mathrm{~ d} \rho }>0\right]=0$ , и в этом случае имеем

\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~ d} \mu }=\; \mathbb {1}_{\left[\mathrm{d} \mu / \mathrm{d} \rho >0\right]} \times \frac{\mathrm{d} v / \mathrm{d} \rho }{\mathrm{~ d} \mu / \mathrm{d} \rho } \quad \mu \text{-п.в. на } \Omega \text{. }

Задача 9.1.13

Пусть $\mu$ и $v$ обозначают конечные меры с областью определения $\mathcal{F}$ . Пусть $\mathcal{H} \subseteq \mathcal{F}$ обозначает суб- $\sigma$ -алгебру алгебры $\mathcal{F}$ . Пусть $\mu^{*}$ и $v^{*}$ обозначают сужения $\mu$ и $v$ на $\mathcal{H}$ . В соответствии с теоремой Лебега о разложении, пусть $v_{\mathrm{ac}}$ и $v_{\mathrm{s}}$ обозначают абсолютно непрерывную и сингулярную части $v$ относительно $\mu$ . Аналогично, пусть $v_{\mathrm{ac}}^{*}$ и $v_{\mathrm{s}}^{*}$ обозначают абсолютно непрерывную и сингулярную части $v^{*}$ относительно $\mu^{*}$ . Тогда

v_{\mathrm{ac}}^{*}(E) \geqslant v_{\mathrm{ac}}(E) \quad \text{ и } \quad v_{\mathrm{s}}^{*}(E) \leqslant v_{\mathrm{s}}(E) \quad \text{ для каждого } E \in \mathcal{H}.

?

Примечание.

?

Обратитесь к доказательству конечной версии теоремы Радона-Никодима, взяв $f$ неотрицательной, конечной и такой, что $v_{\mathrm{ac}}(E)=\int_{E} f \, \mathrm{d} \mu$ для каждого $E \in \mathcal{F}$ . Также отметим, что $v_{\mathrm{s}}=v-v_{\mathrm{ac}}$ . Мы имеем $v^{*} \ll \mu^{*}$ , следовательно, существует неотрицательная конечнозначная $f^{*}$ с $v^{*}(E)=\int_{E} f^{*} \, \mathrm{d} \mu +v_{\mathrm{s}}^{*}(E)$ для каждого $E \in \mathcal{H}$ . Найдите $S^{*} \in \mathcal{H}$ такое, что $v_{\mathrm{s}}^{*}\left(S^{* c}\right)=0$ и $\mu^{*}\left(S^{*}\right)=\mu \left(S^{*}\right)=0$ , так что $v_{\mathrm{s}}^{*}$ и $\mu$ имеют непересекающиеся носители.

Задача 9.1.14

(a)(b)(c)

Пусть $\mu$ и $v$ обозначают конечные меры с областью определения $\mathcal{F}$ . Пусть $\left\{ v_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает последовательность конечных мер с областью определения $f$ такую, что $v=\sum_{n=1}^{\infty } v_{n}$ . Предположим для каждого $n \in \mathbb {N}$ и $A \in \mathcal{F}$ , что

v_{n}(A)=\int _{A} f_{n} \, \mathrm{d} \mu +v_{n}^{\prime }(A),

где каждая $f_{n}$ — неотрицательная конечнозначная функция на $\Omega$ , а каждая $v_{n}^{\prime }$ сингулярна относительно $\mu$ . Наконец, предположим для каждого $A \in \mathcal{F}$ , что

v(A)=\int _{A} f \, \mathrm{d} \mu +v^{\prime }(A),

где $f$ — неотрицательная конечнозначная функция на $\Omega$ , а $v^{\prime } \perp \mu$ .

?

(a)

$f=\sum_{n=1}^{\infty } f_{n}$$\mu$ -п.в. на $\Omega$ .

(b)

$v^{\prime }=\sum_{n=1}^{\infty } v_{n}^{\prime }$ .

(c)

$v \ll \mu$ в том и только том случае, если $v_{n} \ll \mu$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ .

Задача 9.1.15

Предположим, что $\mu$ и $v$ — $\sigma$ -конечные меры на $\mathcal{F}$ . Разложение Лебега функции $v$ относительно $\mu$ единственно. Иначе говоря, если $v=v_{\mathrm{ac}}+v_{\mathrm{s}}$ , где $v_{\mathrm{ac}}$ и $v_{\mathrm{s}}$ — $\sigma$ -конечные меры с $v_{\mathrm{ac}} \ll \mu$ и $v_{\mathrm{s}} \perp \mu$ , и если, кроме того, $\nu =\nu_{\mathrm{ac}}^{\prime }+\nu_{\mathrm{s}}^{\prime }$ , где $\nu_{\mathrm{ac}}^{\prime }$ и $\nu_{\mathrm{s}}^{\prime }$ — $\sigma$ -конечные меры с $\nu_{\mathrm{ac}}^{\prime } \ll \mu$ и $\nu_{\mathrm{s}}^{\prime } \perp \mu$ , то $\nu_{\mathrm{ac}}=\nu_{\mathrm{ac}}^{\prime }$ и $\nu_{\mathrm{s}}=\nu_{\mathrm{s}}^{\prime }$ .

?

Задача 9.1.16

Пусть $\mu$ и $v$ обозначают меры с областью определения $\mathcal{F}$ такие, что $v(E) \leqslant \mu (E)$ для каждого $E \in \mathcal{F}$ . Пусть $0<p<+\infty$ и $f \in L^{p}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . Тогда $\int \left|f\right|^{p} \, \mathrm{d} v \leqslant \int \left|f\right|^{p} \, \mathrm{d} \mu$ , так что $f \in L^{p}(\Omega , \mathcal{F}, v)$ .

?

Примечание.

?

Пусть $s=\sum_{i=1}^{n} c_{i} I_{A_{i}}$ , где $c_{1}, \cdots , c_{n}$ — неотрицательные вещественные числа, а $A_{1}, \cdots , A_{n}$ — непересекающиеся множества из $\mathcal{F}$ с объединением $\Omega$ . Тогда $\left|s\right|^{p}=\sum_{i=1}^{n} c_{i}^{p} I_{A_{i}}$ , и

\int \left|s\right|^{p} \, \mathrm{d} v=\sum _{i=1}^{n} c_{i}^{p} v\left(A_{i}\right) \leqslant \sum _{i=1}^{n} c_{i}^{p} \mu \left(A_{i}\right)=\int \left|s\right|^{p} \, \mathrm{d} \mu ,

так что результат выполняется для неотрицательных конечнозначных $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримых простых функций, определённых на $\Omega$ . Далее, пусть $f \geqslant 0$ определена на $\Omega$ и $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измерима. Пусть $\left\{ s_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает неубывающую последовательность неотрицательных конечнозначных $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримых простых функций, определённых на $\Omega$ , с $\lim s_{n}=f$ . В силу только что показанного и теоремы о монотонной сходимости (МТС),

\int f^{p} \, \mathrm{d} v=\lim \int s_{n}^{p} \, \mathrm{d} v \leqslant \lim \int s_{n}^{p} \, \mathrm{d} \mu =\int f^{p} \, \mathrm{d} \mu .

Для общего $f \in L^{p}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ , запишите $f=f^{+}-f^{-}$ .

Задача 9.1.17

Пусть $\mu$ и $v$ обозначают конечные меры с общей областью определения $\mathcal{F}$ . Пусть $g \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu +v)$ . Тогда $g$ принадлежит как $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ , так и $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, v)$ , и

\int g \, \mathrm{d} v+\int g \, \mathrm{d} \mu =\int g \, \mathrm{d}(\mu +v).

?

Примечание.

?

Заметим, что $\mu , v \leqslant \mu +v$ ; используйте Упражнение 16, чтобы получить, что $g$ принадлежит как $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ , так и $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, v)$ . Установите формулу, сначала рассмотрев простые функции. Используйте МТС и формулу для простых функций, чтобы получить результат для неотрицательных функций. Для общих функций $g \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu +v)$ рассмотрите положительную и отрицательную части и примените результат для неотрицательных функций. Всё это будет совершенно несложным.

Задача 9.1.18

Данное упражнение опирается на Упражнение 17, которое, в свою очередь, опирается на Упражнение 16. Пусть $\mu$ и $v$ обозначают конечные меры с общей областью определения $\mathcal{F}$ такие, что $v \ll \mu$ . Существует $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримая функция $g$ , определённая на $\Omega$ , с $0 \leqslant g<1$ и такая, что

\int f(1-g) \, \mathrm{d} v=\int f g \, \mathrm{d} \mu \quad \text{ для каждой } f \in L^{2}(\Omega , \mathcal{F}, \mu +v).

?

Примечание.

?

Для $f \in L^{2}(\Omega , \mathcal{F}, \mu +v)$ определим $L(f)=\int f \, \mathrm{d} v$ . Конечность $\mu$ и $v$ влечёт конечность $\mu +v$ , а следовательно $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu +v)$ по Утверждению 1 Раздела 8.5. Поскольку $v \leqslant \mu +v$ , предыдущее упражнение даёт $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, v)$ , следовательно, $L$ корректно определён и конечен на $L^{2}(\Omega , \mathcal{F}, \mu +v)$ . Нетрудно проверить, что $L$ линеен. Используя неравенство Гёльдера с $p=p^{\prime }=2$ для функций $f$ и $1$ , имеем для каждой $f \in L^{2}(\Omega , \mathcal{F}, \mu +v)$ , что

\begin{aligned} \left|L(f)\right|=\left|\int f \, \mathrm{d} v\right| & \leqslant \left(\int \left|f\right|^{2} \, \mathrm{d} v\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int 1^{2} \, \mathrm{d} v\right)^{\frac{1}{2}} \\ & \leqslant \left(\int \left|f\right|^{2} \, \mathrm{d}(\mu +v)\right)^{\frac{1}{2}} v(\Omega )^{\frac{1}{2}} \\ & =\left\| f\right\| _{2} v(\Omega )^{\frac{1}{2}} \end{aligned}

в силу предыдущего упражнения ( $\left\| \cdot \right\|_{2}$ обозначает норму на $L^{2}(\Omega , \mathcal{F}, \mu +v)$ ). Отсюда следует, что $L$ есть ограниченный линейный функционал на $L^{2}(\Omega , \mathcal{F}, \mu +v)$ . Теорема Рисса о представлении для $p=2$ утверждает существование функции $h$ в $L^{2}(\Omega , \mathcal{F}, \mu +v)$ такой, что

L(f)=\int f \, \mathrm{d} v=\int f h \, \mathrm{d}(\mu +v) \quad \text{ для каждой } f \in L^{2}(\Omega , \mathcal{F}, \mu +v).

Если $h$ отрицательна на некотором $B \in \mathcal{F}$ с $(\mu +v)(B)>0$ , то $L\left(I_{B}\right)=v(B) \geqslant 0$ , но в то же время имеем $L\left(I_{B}\right)=\int I_{B} \, \mathrm{d} v=\int I_{B} h \, \mathrm{d}(\mu +v)=\int_{B} h \, \mathrm{d}(\mu +v)<0$ — противоречие. Следовательно, если $h$ отрицательна на некотором $B \in \mathcal{F}$ , то $(\mu +v)(B)=0$ , то есть $h \geqslant 0$$(\mu +v)$ -п.в. на $\Omega$ . Далее, заметим из предыдущего равенства и Упражнения 17, что

\int f(1-h) \, \mathrm{d} v=\int f \, \mathrm{d} v-\int f h \, \mathrm{d} v=\int f h \, \mathrm{d}(\mu +v)-\int f h \, \mathrm{d} v=\int f h \, \mathrm{d} \mu

для каждой $f \in L^{2}(\Omega , \mathcal{F}, \mu +v)$ . Пусть $E=\left\{ \omega \in \Omega : h(\omega ) \geqslant 1\right\}$ . Тогда имеем $I_{E} \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu +v)$ , и предыдущее равенство с $f=I_{E}$ даёт

0 \leqslant \mu (E)=\int I_{E} \, \mathrm{d} \mu \leqslant \int I_{E} h \, \mathrm{d} \mu =\int I_{E}(1-h) \, \mathrm{d} v \leqslant 0,

следовательно, $\mu (E)=0$ . Предположение $v \ll \mu$ даёт $v(E)=0$ . (Это единственное место, где используется предположение $v \ll \mu$ .) Если $g=h I_{E^{c}}$ , то

\begin{aligned} \int f(1-g) \, \mathrm{d} v=\int f \, \mathrm{d} v-\int \left(f I_{E^{c}}\right) h \, \mathrm{d} v & =\int f h \, \mathrm{d}(\mu +v)-\int \left(f I_{E^{c}}\right) h \, \mathrm{d} v \\ & =\int \left(f I_{E^{c}}\right) h \, \mathrm{d}(\mu +v)-\int \left(f I_{E^{c}}\right) h \, \mathrm{d} v \\ & =\int \left(f I_{E^{c}}\right) h \, \mathrm{d} \mu \qquad [\text{Упражнение 16}] \\ & =\int f g \, \mathrm{d} \mu . \end{aligned}

Следовательно, мы можем взять $g=h I_{E^{c}}$ , чтобы завершить доказательство.

Задача 9.1.19

Используйте Упражнение 18 [которое опирается на Упражнения 16 и 17], чтобы доказать конечную версию теоремы Радона-Никодима: Пусть $\mu$ и $v$ обозначают конечные меры с областью определения $\mathcal{F}$ такие, что $v \ll \mu$ . Тогда существует неотрицательная конечнозначная $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримая функция $g^{*}$ на $\Omega$ такая, что $v(E)=\int_{E} g^{*} \, \mathrm{d} \mu$ для каждого $E \in \mathcal{F}$ .

?

Примечание.

?

Пусть $f \geqslant 0$ ограничена, и пусть $g$ — как в Упражнении 18. Поскольку $f$ и $g$ ограничены, а $\mu +v$ конечна, для каждого $n \in \mathbb {N}$ следует, что $\left(1+g+\cdots +g^{n-1}\right) f \in L^{2}(\Omega , \mathcal{F}, \mu +v)$ . Используя Упражнение 18, получаем

\int \left(1+g+\cdots +g^{n-1}\right) f(1-g) \, \mathrm{d} v=\int \left(1+g+\cdots +g^{n-1}\right) f g \, \mathrm{d} \mu \quad \text{ для каждого } n \in \mathbb {N}.

Поскольку $0 \leqslant g<1$ , это даёт $\int \left(1-g^{n}\right) f \, \mathrm{d} v=\int \frac{g}{1-g}\left(1-g^{n}\right) f \, \mathrm{d} \mu$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ . Используя МТС и тот факт, что $0 \leqslant g<1$ , получаем

\begin{aligned} \int f \, \mathrm{d} v=\int \lim _{n}\left(1-g^{n}\right) f \, \mathrm{d} v & =\lim _{n} \int \left(1-g^{n}\right) f \, \mathrm{d} v \\ & =\lim _{n} \int \frac{g}{1-g}\left(1-g^{n}\right) f \, \mathrm{d} \mu \\ & =\int \lim _{n} \frac{g}{1-g}\left(1-g^{n}\right) f \, \mathrm{d} \mu \\ & =\int \frac{g}{1-g} f \, \mathrm{d} \mu . \end{aligned}

В частности, если $f=1$ , то $v(\Omega )=\int \frac{g}{1-g} \, \mathrm{d} \mu$ , следовательно, конечность $v$ влечёт $\frac{g}{1-g} \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ , так что $\frac{g}{1-g}$ можно считать конечной на всём $\Omega$ . Очевидно, $\frac{g}{1-g}$ неотрицательна. Запишем $g^{*}=\frac{g}{1-g}$ и пусть $f=I_{E}$ , где $E \in \mathcal{F}$ произвольно. Из цепочки равенств выше имеем $v(E)=\int_{E} g^{*} \, \mathrm{d} \mu$ для каждого $E \in \mathcal{F}$ , так что $g^{*}$ удовлетворяет заключению конечной версии теоремы Радона-Никодима. Доказательство единственности $g^{*}$ , приведённое в тексте, разумеется, работает и здесь --- настоящая работа заключается в доказательстве существования, а не единственности.

Задача 9.1.20

Пусть $\mu_{0}, \mu_{1}$ и $\mu_{2}$ обозначают конечные меры. Предположим, что

\mathrm{d} \mu _{0}=f_{1} \mathrm{~ d}\left(\mu _{0}+\mu _{1}\right)=f_{2} \mathrm{~ d}\left(\mu _{0}+\mu _{2}\right)=f \mathrm{~ d}\left(\mu _{0}+\mu _{1}+\mu _{2}\right).

Тогда для $\left(\mu_{0}+\mu_{1}+\mu_{2}\right)$ -п.в. $\omega \in \Omega$ имеем

f(\omega )= \begin{cases} \dfrac {f_{1}(\omega ) f_{2}(\omega )}{f_{1}(\omega )+f_{2}(\omega )-f_{1}(\omega ) f_{2}(\omega )} & \text{ если } f_{1}(\omega ) f_{2}(\omega ) \neq 0, \\ 0 & \text{ если } f_{1}(\omega ) f_{2}(\omega )=0. \end{cases}

?

Примечание.

?

Данное упражнение и Упражнение 21 взяты из Раздела 32 книги Халмоша Теория меры. Для Упражнения 21 [которое не слишком сложно] вспомните обсуждение обозначений, приведённое в конце этого раздела. Упражнение 21 требует решения Упражнения 12(b).

Задача 9.1.21

Пусть $\left\{ v_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ и $\left\{ \mu_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначают последовательности конечных мер с областью определения $\mathcal{F}$ . Для каждого $n \in \mathbb {N}$ определим $\bar{\mu }_{n}=\sum_{i=1}^{n} \mu_{i}$ и $\bar{v}_{n}=\sum_{i=1}^{n} v_{i}$ . Определим $\mu =\sum_{n=1}^{\infty } \mu_{n}$ и $v=\sum_{n=1}^{\infty } v_{n}$ , и далее предположим, что как $\mu$ , так и $v$ конечны. Цель — доказать следующее: Если $v_{n} \ll \mu_{n}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ , то $v \ll \mu$ и $\lim_{n} \frac{\mathrm{d} \bar{v}_{n}}{\mathrm{d} \bar{\mu }_{n}}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} \mu }$$\mu$ -п.в. на $\Omega$ . Следуйте плану Халмоша, приведённому ниже.

?

(a)

Если $\left\{ E_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность множеств из $\mathcal{F}$ с $\bar{\mu }_{n}\left(E_{n}\right)=0$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ , то $\mu \left(\overline{\lim } E_{n}\right)=0$ .

(b)

Если $\left\{ \phi_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ и $\left\{ \psi_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательности $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримых функций на $\Omega$ такие, что $\phi_{n}=\psi_{n}$$\mu_{n}$ -п.в. на $\Omega$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ , то

\overline{\lim _{n}} \phi _{n}=\overline{\lim _{n}} \psi _{n} \quad \text{ и } \quad \underline{\lim _{n}} \phi _{n}=\underline{\lim _{n}} \psi _{n} \quad \mu \text{-п.в. на } \Omega .

(c)

Из (b) достаточно доказать основное утверждение для любого фиксированного выбора производных Радона-Никодима $\left\{ \frac{\mathrm{d} v_{n}}{\mathrm{d} \mu_{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }$ . Для каждого $n \in \mathbb {N}$ запишем $f_{n}=\frac{\mathrm{d} v_{n}}{\mathrm{d} \mu }$ и $g_{n}=\frac{\mathrm{d} \mu_{n}}{\mathrm{d} \mu }$ . Из Упражнения 12(b) одним из таких выборов является

\frac{\mathrm{d} \bar{v}_{n}}{\mathrm{d} \mu }=\frac{f_{1}+\cdots +f_{n}}{g_{1}+\cdots +g_{n}} \quad \mu _{n}\text{-п.в. на } \Omega , \, n \in \mathbb {N}.

(d)

Имеем $\sum_{n=1}^{\infty } f_{n}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} \mu }$ и $\sum_{n=1}^{\infty } g_{n}=1$ , причём оба равенства выполняются $\mu$ -п.в. на $\Omega$ .

(e)

Пункт (d) непосредственно влечёт основное утверждение данного упражнения.

Теорема Радона–Никодима, часть I