Банк задач по математике

Задача 10.6.1

Схема для этого раздела: $f: \mathbb {R} \rightarrow [0, +\infty ]$ является $\mathcal{L} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой и такой, что интеграл $\int_{F} f \, d\bar{\lambda }$ конечен для каждого компакта $F \subseteq \mathbb {R}$ . Для каждого $x \in \mathbb {R}$ определим

f^{\delta (r)}(x) = \sup _{x < u < +\infty } \frac{1}{u - x} \int _{x}^{u} f \, d\bar{\lambda }, \qquad f^{\delta (l)}(x) = \sup _{-\infty < u < x} \frac{1}{x - u} \int _{u}^{x} f \, d\bar{\lambda }, \qquad f^{\delta }(x) = \max \left\{ f^{\delta (r)}(x), f^{\delta (l)}(x)\right\} .

Для каждого $t \in \mathbb {R}$ определим $G_{t} = \left\{ x \in \mathbb {R} : f(x) > t\right\}$ , $M_{t}^{(r)} = \left\{ x \in \mathbb {R} : f^{\delta (r)}(x) > t\right\}$ , $M_{t}^{(l)} = \left\{ x \in \mathbb {R} : f^{\delta (l)}(x) > t\right\}$ и $M_{t} = \left\{ x \in \mathbb {R} : f^{\delta }(x) > t\right\} = M_{t}^{(r)} \cup M_{t}^{(l)}$ .

Утверждение 1: пусть $x \in \mathbb {R}$ . Тогда (a) отображение $s \mapsto \frac{1}{s - x} \int_{x}^{s} f \, d\bar{\lambda }$ на $(x, +\infty )$ непрерывно, и (b) отображение $s \mapsto \frac{1}{x - s} \int_{s}^{x} f \, d\bar{\lambda }$ на $(-\infty , x)$ непрерывно.

Докажите утверждение 1(b), повторяя доказательство утверждения 1(a).

?

Задача 10.6.2

Утверждение 2: имеет место следующее: (a) для каждого $t \in \mathbb {R}$ множества $M_{t}^{(r)}$ и $M_{t}^{(l)}$ открыты, а значит, принадлежат $\mathcal{L}$ . В частности, доказательство того, что $M_{t}^{(r)}$ открыто, проводится следующим образом: выбирается $t \geq 0$ (случай $t < 0$ тривиален, поскольку тогда $M_{t}^{(r)} = \mathbb {R}$ в силу неотрицательности $f$ ), и, в непустом случае, берётся $x_{0} \in M_{t}^{(r)}$ : поскольку $f^{\delta (r)}\left(x_{0}\right) > t$ , найдётся $u_{0} \in \left(x_{0}, +\infty \right)$ с $\frac{1}{u_{0} - x_{0}} \int_{x_{0}}^{u_{0}} f \, d\bar{\lambda } > t$ , и непрерывность (утверждение 1(b), применённое к отображению $s \mapsto \frac{1}{u_{0} - s} \int_{s}^{u_{0}} f \, d\bar{\lambda }$ на $\left(-\infty , u_{0}\right)$ ) тогда даёт $\delta > 0$ с $\left(x_{0} - \delta , x_{0} + \delta \right) \subseteq M_{t}^{(r)}$ .

В утверждении 2(a) повторите доказательство того, что $M_{t}^{(r)}$ открыто, чтобы показать, что $M_{t}^{(l)}$ открыто.

?

Задача 10.6.3

Утверждение 3: пусть $0 < t < +\infty$ . Имеют место следующие равенства и неравенства: (a) $\bar{\lambda }\left(M_{t}^{(r)}\right) = \frac{1}{t} \int_{M_{t}^{(r)}} f \, d\bar{\lambda }$ ; (b) $\bar{\lambda }\left(M_{t}^{(l)}\right) = \frac{1}{t} \int_{M_{t}^{(l)}} f \, d\bar{\lambda }$ ; (c) $\bar{\lambda }\left(M_{t}\right) \leq \frac{2}{t} \int_{M_{t}} f \, d\bar{\lambda }$ .

Докажите утверждение 3(b), повторяя доказательство утверждения 3(a).

?

Задача 10.6.4

Утверждение 4: пусть $0 < k < 1$ и $0 < t < +\infty$ . Имеет место следующее: (a) $\bar{\lambda }\left(M_{t}^{(r)}\right) \leq \frac{1}{(1 - k) t} \int_{G_{kt}} f \, d\bar{\lambda }$ ; (b) $\bar{\lambda }\left(M_{t}^{(l)}\right) \leq \frac{1}{(1 - k) t} \int_{G_{kt}} f \, d\bar{\lambda }$ ; (c) $\bar{\lambda }\left(M_{t}\right) \leq \frac{2}{(1 - k) t} \int_{G_{kt}} f \, d\bar{\lambda }$ .

Докажите утверждение 4(b), повторяя доказательство утверждения 4(a).

?

Задача 10.6.5

Теорема Харди-Литлвуда о максимальной функции: пусть $1 < p < +\infty$ . Имеют место следующие неравенства: (a) $\left[\int_{\mathbb {R}} \left[f^{\delta (r)}\right]^{p} \, d\bar{\lambda }\right]^{1 / p} \leq \frac{p}{p - 1} \left[\int_{\mathbb {R}} f^{p} \, d\bar{\lambda }\right]^{1 / p}$ . Следовательно, $f \in L^{p}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ влечёт $f^{\delta (r)} \in L^{p}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ и $\left\| f^{\delta (r)}\right\|_{p} \leq \frac{p}{p - 1} \left\| f\right\|_{p}$ . (b) $\left[\int_{\mathbb {R}} \left[f^{\delta (l)}\right]^{p} \, d\bar{\lambda }\right]^{1 / p} \leq \frac{p}{p - 1} \left[\int_{\mathbb {R}} f^{p} \, d\bar{\lambda }\right]^{1 / p}$ . Следовательно, $f \in L^{p}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ влечёт как $f^{\delta (l)} \in L^{p}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ , так и $\left\| f^{\delta (l)}\right\|_{p} \leq \frac{p}{p - 1} \left\| f\right\|_{p}$ . (c) $\left[\int_{\mathbb {R}} \left[f^{\delta }\right]^{p} \, d\bar{\lambda }\right]^{1 / p} \leq \frac{2p}{p - 1} \left[\int_{\mathbb {R}} f^{p} \, d\bar{\lambda }\right]^{1 / p}$ . Следовательно, $f \in L^{p}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ влечёт как $f^{\delta } \in L^{p}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ , так и $\left\| f^{\delta }\right\|_{p} \leq \frac{2p}{p - 1} \left\| f\right\|_{p}$ .

Докажите (b) теоремы Харди-Литлвуда о максимальной функции для $1 < p < +\infty$ способом, аналогичным доказательству части (a) этой теоремы.

?

Задача 10.6.6

В теореме Харди-Литлвуда о максимальной функции рассматривался случай $1 < p < +\infty$ . Существует версия теоремы для случая $p = 1$ . Схема та же, что и в случае $1 < p < +\infty$ : $f: \mathbb {R} \rightarrow [0, +\infty ]$ является $\mathcal{L} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой и такой, что $\int_{F} f \, d\bar{\lambda } < +\infty$ для каждого компакта $F \subseteq \mathbb {R}$ . Теорема заключается в следующем: пусть $E \in \mathcal{L}$ и $0 < k < 1$ . Тогда

\int _{E} f^{\delta (r)} \, d\bar{\lambda } \leq \frac{1}{k} \bar{\lambda }(E) + \frac{1}{1 - k} \int _{\mathbb {R}} f \log ^{+} f \, d\bar{\lambda }

и

\int _{E} f^{\delta (l)} \, d\bar{\lambda } \leq \frac{1}{k} \bar{\lambda }(E) + \frac{1}{1 - k} \int _{\mathbb {R}} f \log ^{+} f \, d\bar{\lambda } .

Кроме того, имеем

\int _{E} f^{\delta } \, d\bar{\lambda } \leq \frac{1}{k} \bar{\lambda }(E) + \frac{2}{1 - k} \int _{\mathbb {R}} f \log ^{+} f \, d\bar{\lambda } .

Здесь $\log^{+} f$ обозначает $\max \left\{ \log f, 0\right\}$ .

?

Примечание.

?

Проверьте каждый из следующих шагов, ссылаясь на подходящие результаты этого раздела:

\begin{aligned} \int _{E} f^{\delta (r)} \, d\bar{\lambda } & = \int _{0}^{\infty } \bar{\lambda }\left(\left\{ y \in \mathbb {R} : \; \mathbb {1}_{E}(y) f^{\delta (r)}(y) > t\right\} \right) \, d\bar{\lambda }(t) \\ & = \int _{0}^{\infty } \bar{\lambda }\left(M_{t}^{(r)} \cap E\right) \, d\bar{\lambda }(t) \\ & = \int _{0}^{1 / k} \bar{\lambda }\left(M_{t}^{(r)} \cap E\right) \, d\bar{\lambda }(t) + \int _{1 / k}^{\infty } \bar{\lambda }\left(M_{t}^{(r)} \cap E\right) \, d\bar{\lambda }(t) \\ & \overset {(*)}{\leq } \frac{1}{k} \bar{\lambda }(E) + \int _{1 / k}^{\infty } \frac{1}{(1 - k) t} \int _{G_{kt}} f(x) \, d\bar{\lambda }(x) \, d\bar{\lambda }(t) \\ & = \frac{1}{k} \bar{\lambda }(E) + \frac{1}{1 - k} \int _{1 / k}^{\infty } \frac{1}{t} \int _{\mathbb {R}} \; \mathbb {1}_{G_{kt}}(x) f(x) \, d\bar{\lambda }(x) \, d\bar{\lambda }(t) \\ & = \frac{1}{k} \bar{\lambda }(E) + \frac{1}{1 - k} \int _{\mathbb {R}} f(x) \int _{1 / k}^{\infty } \frac{1}{t} \; \mathbb {1}_{G_{kt}}(x) \, d\bar{\lambda }(t) \, d\bar{\lambda }(x) . \end{aligned}

Далее покажите, что $\int_{1 / k}^{\infty } \frac{1}{t} \; \mathbb {1}_{G_{kt}}(x) \, d\bar{\lambda }(t)$ равен нулю или $\log f(x)$ в зависимости от того, $0 \leq f(x) \leq 1$ или $f(x) > 1$ . То есть покажите, что $\int_{1 / k}^{\infty } \frac{1}{t} \; \mathbb {1}_{G_{kt}}(x) \, d\bar{\lambda }(t) = \log^{+} f(x)$ для каждого $x \in \mathbb {R}$ . Это даёт $\delta (r)$ -неравенство, а $\delta (l)$ -неравенство достигается практически тем же способом. Для $\delta$ -неравенства тот же аргумент, что и выше, также работает при замене $\delta (r)$ на $\delta$ , $M_{t}^{(r)}$ на $M_{t}$ и использовании неравенства $\bar{\lambda }\left(M_{t}\right) \leq \frac{2}{(1 - k) t} \int_{G_{kt}} f \, d\bar{\lambda }$ в $(*)$ .

Задача 10.6.7

Напомним теорему Харди-Литлвуда о максимальной функции, где $1 < p < +\infty$ : если $f \in L^{p}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ , то $f^{\delta (r)}, f^{\delta (l)}, f^{\delta } \in L^{p}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ и

\left\| f^{\delta (r)}\right\| _{p}, \; \left\| f^{\delta (l)}\right\| _{p} \leq \frac{p}{p - 1} \left\| f\right\| _{p} \qquad \text{и} \qquad \left\| f^{\delta }\right\| _{p} \leq \frac{2p}{p - 1} \left\| f\right\| _{p} .

Возникает естественный вопрос: являются ли константы $\frac{p}{p - 1}$ и $\frac{2p}{p - 1}$ наиболее точными из возможных. Окажется, что ответ утвердительный. Зафиксируем $1 < p < +\infty$ , и для каждого $n \in \mathbb {N}$ определим $f_{n}$ на $\mathbb {R}$ по правилу $f_{n}(x) = x^{\left(\frac{1}{n} - 1\right) \frac{1}{p}} \; \mathbb {1}_{(0, 1)}(x)$ . Пусть $A_{n, p}$ таково, что $\left\| f_{n}^{\delta (r)}\right\|_{p} = A_{n, p} \left\| f_{n}\right\|_{p}$ . Покажите, что $\lim_{n} A_{n, p} = \frac{p}{p - 1}$ , и сделайте вывод, что константа $\frac{p}{p - 1}$ в неравенстве Харди-Литлвуда является наилучшей возможной константой.

?

Примечание.

?

Вычислить $\left\| f_{n}\right\|_{p}$ для каждого $n$ — несложная задача математического анализа. Чтобы получить вид $f_{n}^{\delta (r)}(x)$ для каждых $n$ и $x$ , рассмотрите случаи $x \geq 1$ и $x < 1$ и используйте методы анализа; это не будет трудно, но и не будет тривиально. Из этого можно получить $\left\| f_{n}^{\delta (r)}\right\|_{p}$ для каждого $n$ , так что отношение $\left\| f_{n}^{\delta (r)}\right\|_{p} / \left\| f_{n}\right\|_{p}$ можно вычислить для каждого $n$ . То, что этот коэффициент стремится к $\frac{p}{p - 1}$ при $n \rightarrow +\infty$ , должно быть видно непосредственно.

Задача 10.6.8

Для функции $f$ , заданной в схеме этого раздела [ $f: \mathbb {R} \rightarrow [0, +\infty ]$ является $\mathcal{L} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой и такой, что $\int_{F} f \, d\bar{\lambda } < +\infty$ для каждого компакта $F \subseteq \mathbb {R}$ ], мы определили $f^{\delta }(x)$ как максимум $f^{\delta (r)}(x)$ и $f^{\delta (l)}(x)$ . Мы можем эквивалентно определить $f^{\delta }(x)$ для каждого $x \in \mathbb {R}$ по правилу

f^{\delta }(x) = \sup \left\{ \frac{1}{u - t} \int _{t}^{u} f \, d\bar{\lambda } : -\infty < t \leq x \leq u < +\infty , \, t \neq u\right\} .

?

Задача 10.6.9

(a)(b)(c)(d)

Комментарий: Наше изложение в тексте и в упражнениях основано на одной из форм подхода Харди-Литлвуда. Мы приведём теперь серию упражнений, посвящённых более общему подходу. Пространством с мерой будет $\left(\mathbb {R}^{k}, \mathcal{L}^{k}, \bar{\lambda }_{k}\right)$ , где $k \in \mathbb {N}$ фиксировано. Обозначение $B(\boldsymbol {x}, r)$ означает шар радиуса $r$ с центром в точке $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}$ . При заданном $0 < a < +\infty$ мы будем писать $a B(\boldsymbol {x}, r)$ вместо $B(\boldsymbol {x}, ar)$ . Следующие упражнения дают базу, ведущую к изложению Джонса альтернативной версии Максимальной теоремы Харди-Литлвуда.

Докажите теорему Витали о покрытии: Пусть $E \subseteq \mathbb {R}^{k}$ ограничено. Пусть $\mathcal{F}$ обозначает набор открытых шаров с центрами в точках $E$ , такой что каждая точка $\boldsymbol {x} \in E$ является центром некоторого шара из $\mathcal{F}$ . Тогда существует не более чем счётное подсемейство $B_{1}, B_{2}, \cdots$ шаров из $\mathcal{F}$ , такое что (i) $B_{1}, B_{2}, \cdots$ попарно не пересекаются, и (ii) $E \subseteq \bigcup_{n \geq 1} 3 B_{n}$ . Следуйте приведённому плану.

?

(a)

Теорема очевидна, если радиусы шаров не ограничены сверху.

(b)

Найдётся $n$ такое, что $B \cap B_{n} \neq \varnothing$ .

(c)

Имеем $B \cap \bigcup_{m < n} B_{m} = \varnothing$ , следовательно $\operatorname {rad} B \leq d_{n} < 2 \operatorname {rad} B_{n}$ .

(d)

$\boldsymbol {x} \in 3 B_{n}$ , следовательно $E \subseteq \bigcup_{m \geq 1} 3 B_{m}$ , что завершает доказательство.

Примечание.

?

(a) В этом случае мы можем найти шар $B$ с центром в некоторой точке $E$ и настолько большим радиусом, что $E \subseteq B$ , что тривиально даёт (i) и (ii). Поэтому мы можем считать, что радиусы шаров ограничены сверху. И, разумеется, мы можем считать, что $E$ непусто.

Выполним следующую индуктивную схему: предположим, что $B_{1}, \cdots , B_{n - 1}$ уже выбраны. Пусть $d_{n} = \sup \left\{ \operatorname {rad} B : B \in \mathcal{F}, \, B \cap \bigcup_{m < n} B_{m} = \varnothing \right\}$ . Если не существует $B \in \mathcal{F}$ с $B \cap \bigcup_{m < n} B_{m} = \varnothing$ , схема завершается на множествах $B_{1}, \cdots , B_{n - 1}$ . В противном случае выберем $B_{n} \in \mathcal{F}$ такое, что $\operatorname {rad} B_{n} > \frac{1}{2} d_{n}$ и $B_{n} \cap \bigcup_{m < n} B_{m} = \varnothing$ .

Указанная схема не вызывает затруднений, и полученное семейство $B_{1}, B_{2}, \cdots$ , очевидно, состоит из попарно непересекающихся множеств. Нам нужно показать, что $E \subseteq \bigcup_{n \geq 1} 3 B_{n}$ . Зафиксируем $\boldsymbol {x} \in E$ и найдём $B \in \mathcal{F}$ с центром в точке $\boldsymbol {x}$ .

(b) Предположим, что $B \cap B_{n} = \varnothing$ для каждого $n$ . Тогда процесс выбора никогда не завершается, и $\operatorname {rad} B \leq d_{n}$ для каждого $n$ . Следовательно, мы получаем счётно-бесконечное семейство $B_{1}, B_{2}, \cdots$ шаров с центрами в точках $E$ , причём $\operatorname {rad} B_{n} > \frac{1}{2} d_{n} \geq \frac{1}{2} \operatorname {rad} B > 0$ . Далее, $\bigcup_{n} B_{n}$ ограничено, поскольку $E$ ограничено, а радиусы шаров из $\mathcal{F}$ ограничены сверху, и следовательно $\bar{\lambda }_{k}\left(\bigcup_{n} B_{n}\right) < +\infty$ . Но в то же время $\bar{\lambda }_{k}\left(\bigcup_{n} B_{n}\right) = \sum_{n} \bar{\lambda }_{k}\left(B_{n}\right) = +\infty$ в силу приведённого выше неравенства. Это противоречие даёт требуемый результат.

По (b) найдётся $n$ с $B \cap B_{n} \neq \varnothing$ . Обозначим далее через $n$ наименьшее такое $n$ , для которого $B \cap B_{n} \neq \varnothing$ . Выберем $\boldsymbol {y} \in B \cap B_{n}$ .

(d) Пусть $\boldsymbol {z}$ обозначает центр $B_{n}$ . Тогда $\left\| \boldsymbol {x} - \boldsymbol {z}\right\| \leq \left\| \boldsymbol {x} - \boldsymbol {y}\right\| + \left\| \boldsymbol {y} - \boldsymbol {z}\right\| < \operatorname {rad} B + \operatorname {rad} B_{n} < 3 \operatorname {rad} B_{n}$ . Следовательно, $\boldsymbol {x} \in 3 B_{n}$ .

Задача 10.6.10

Определение: Пусть $f: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ таково, что $\int_{F} f \, d\bar{\lambda }_{k} < +\infty$ для каждого компакта $F \subseteq \mathbb {R}^{k}$ . Максимальной функцией Харди-Литлвуда для $f$ называется функция $Mf$ на $\mathbb {R}^{k}$ , задаваемая для всех $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}$ формулой

Mf(\boldsymbol {x}) = \sup _{0 < r < +\infty } \frac{1}{\bar{\lambda }_{k}\left(B(\boldsymbol {x}, r)\right)} \int _{B(\boldsymbol {x}, r)} \left|f(\boldsymbol {y})\right| \, d\bar{\lambda }_{k}(\boldsymbol {y}) .

$Mf$ полунепрерывна снизу, следовательно, $\mathcal{B}^{k} / \mathcal{B}^{*}$ -измерима. В частности, $Mf$ является $\mathcal{L}^{k} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой.

?

Примечание.

?

Предположим, что $Mf(\boldsymbol {x}) > t$ . Найдётся $0 < r < +\infty$ такое, что $t < \frac{1}{\bar{\lambda }_{k}\left(B(\boldsymbol {x}, r)\right)} \int_{B(\boldsymbol {x}, r)} \left|f(\boldsymbol {y})\right| \, d\bar{\lambda }_{k}(\boldsymbol {y})$ . Мы можем выбрать $r^{\prime } > r$ так, чтобы выполнялось неравенство $t < \frac{1}{\bar{\lambda }_{k}\left(B(\boldsymbol {x}, r^{\prime })\right)} \int_{B(\boldsymbol {x}, r)} \left|f(\boldsymbol {y})\right| \, d\bar{\lambda }_{k}(\boldsymbol {y})$ . Теперь из $\left\| \boldsymbol {x} - \boldsymbol {x}^{\prime }\right\| \leq r^{\prime } - r$ следует $B(\boldsymbol {x}, r) \subseteq B\left(\boldsymbol {x}^{\prime }, r^{\prime }\right)$ , и в силу трансляционной инвариантности $\bar{\lambda }_{k}$ получаем

\begin{aligned} t & < \frac{1}{\bar{\lambda }_{k}\left(B\left(\boldsymbol {x}, r^{\prime }\right)\right)} \int _{B\left(\boldsymbol {x}^{\prime }, r^{\prime }\right)} \left|f(\boldsymbol {y})\right| \, d\bar{\lambda }_{k}(\boldsymbol {y}) \\ & = \frac{1}{\bar{\lambda }_{k}\left(B\left(\boldsymbol {x}^{\prime }, r^{\prime }\right)\right)} \int _{B\left(\boldsymbol {x}^{\prime }, r^{\prime }\right)} \left|f(\boldsymbol {y})\right| \, d\bar{\lambda }_{k}(\boldsymbol {y}) \\ & \leq M f\left(\boldsymbol {x}^{\prime }\right) . \end{aligned}

Следовательно, для всех $\boldsymbol {x}^{\prime }$ , достаточно близких к $\boldsymbol {x}$ , имеем $Mf\left(\boldsymbol {x}^{\prime }\right) > t$ .

Задача 10.6.11

Пусть $f \in L^{1}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathcal{L}^{k}, \bar{\lambda }_{k}\right)$ . Тогда $\bar{\lambda }_{k}\left(\left\{ \boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k} : Mf(\boldsymbol {x}) > t\right\} \right) \leq 3^{k} t^{-1} \left\| f\right\|_{1}$ для каждого $0 < t < +\infty$ . Это ещё одна версия Максимальной теоремы Харди-Литлвуда.

?

Примечание.

?

Пусть $E$ обозначает $\left\{ \boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k} : Mf(\boldsymbol {x}) > t\right\}$ , где $0 < t < +\infty$ задано и фиксировано. Если $E = \varnothing$ , результат тривиален. В противном случае выберем $\boldsymbol {x} \in E$ , так что $Mf(\boldsymbol {x}) > t$ и найдётся $0 < r < +\infty$ с $\frac{1}{\bar{\lambda }_{k}\left(B(\boldsymbol {x}, r)\right)} \int_{B(\boldsymbol {x}, r)} \left|f(\boldsymbol {y})\right| \, d\bar{\lambda }_{k}(\boldsymbol {y}) > t$ . Следовательно, для любой $\boldsymbol {x} \in E$ найдётся шар $B$ с центром $\boldsymbol {x}$ , такой что $\bar{\lambda }_{k}(B) < \frac{1}{t} \int_{B} \left|f(\boldsymbol {y})\right| \, d\bar{\lambda }_{k}(\boldsymbol {y})$ . Выберем положительное вещественное число $q$ и пусть $\mathcal{F}$ обозначает набор открытых шаров $B$ с центрами в $E \cap B(\boldsymbol {0}, q)$ , удовлетворяющих только что указанному неравенству. Если $E \cap B(\boldsymbol {0}, q) \neq \varnothing$ , то существуют попарно непересекающиеся шары $B_{1}, B_{2}, \cdots \in \mathcal{F}$ , такие что $E \cap B(\boldsymbol {0}, q) \subseteq \bigcup_{n \geq 1} 3 B_{n}$ . (Теорема Витали о покрытии.) Проверьте, что

\begin{aligned} \bar{\lambda }_{k}\left(E \cap B(\boldsymbol {0}, q)\right) & \leq \sum _{n \geq 1} \bar{\lambda }_{k}\left(3 B_{n}\right) = \sum _{n = 1}^{\infty } 3^{k} \bar{\lambda }_{k}\left(B_{n}\right) < \sum _{n \geq 1} \frac{3^{k}}{t} \int _{B_{n}} \left|f(\boldsymbol {y})\right| \, d\bar{\lambda }_{k}(\boldsymbol {y}) \\ & = \frac{3^{k}}{t} \int _{\bigcup _{n \geq 1} B_{n}} \left|f(\boldsymbol {y})\right| \, d\bar{\lambda }_{k}(\boldsymbol {y}) \\ & \leq 3^{k} t^{-1} \int _{\mathbb {R}^{k}} \left|f(\boldsymbol {y})\right| \, d\bar{\lambda }_{k}(\boldsymbol {y}) . \end{aligned}

Теперь устремим $q \rightarrow +\infty$ для получения результата.

Задача 10.6.12

Пересмотрите упражнение 3 раздела 10.4 в свете этого раздела.

?

Теоремы Харди–Литтлвуда