Банк задач по математике

Задача 10.5.1

(a)(b)

Пусть $f, g, h \in L^{1}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ .

?

(a)

Свёртка коммутативна в том смысле, что $f * g = g * f$ $\bar{\lambda }$ -почти всюду на $\mathbb {R}$ .

(b)

Свёртка ассоциативна в том смысле, что $f * \left(g * h\right) = \left(f * g\right) * h$ $\bar{\lambda }$ -почти всюду на $\mathbb {R}$ .

Задача 10.5.2

Это упражнение является леммой для следующего упражнения. Пусть $f \in L^{1}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ и $\epsilon > 0$ . Существует замкнутый отрезок $F = \left[-\alpha , \alpha \right] \subseteq \mathbb {R}$ такой, что $\int_{F^{c}} f \, d\bar{\lambda } < \epsilon$ .

?

Примечание.

?

Рассмотрим последовательность $\left\{ f \; \mathbb {1}_{[-n, n]}\right\}_{n=1}^{\infty }$ функций из $L^{1}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ . Для каждого $n \in \mathbb {N}$ имеем $\left|f \; \mathbb {1}_{[-n, n]}\right| \leq \left|f\right|$ и $\int_{\mathbb {R}} \left|f\right| \, d\bar{\lambda } < +\infty$ . Следовательно, $\lim_{n} \int_{\mathbb {R}} f \; \mathbb {1}_{[-n, n]} \, d\bar{\lambda } = \int_{\mathbb {R}} f \, d\bar{\lambda }$ по теореме о мажорируемой сходимости. Положим $F = [-n, n]$ для достаточно большого $n$ .

Задача 10.5.3

В утверждении 8 (результате, устанавливающем, что $f * g$ содержательно определена, ограничена величиной $\left\| f\right\|_{p} \left\| g\right\|_{p^{\prime }}$ и равномерно непрерывна на $\mathbb {R}$ всякий раз, когда $1 \leq p < +\infty$ , $f \in L^{p}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ и $g \in L^{p^{\prime }}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ ), мы также имеем $\lim_{\left|x\right| \rightarrow +\infty } f * g(x) = 0$ .

?

Примечание.

?

Пусть $\epsilon > 0$ . Используйте упражнение 2, чтобы найти замкнутый отрезок $F = \left[-\alpha , \alpha \right] \subseteq \mathbb {R}$ такой, что

\int _{F^{c}} \left|f\right|^{p} \, d\bar{\lambda } < \left[\frac{\epsilon }{\left\| f\right\| _{p} + \left\| g\right\| _{p^{\prime }}}\right]^{p} = c^{p} \quad \text{и} \quad \int _{F^{c}} \left|g\right|^{p^{\prime }} \, d\bar{\lambda } < \left[\frac{\epsilon }{\left\| f\right\| _{p} + \left\| g\right\| _{p^{\prime }}}\right]^{p^{\prime }} = c^{p^{\prime }} .

Проверьте, что $x \in \mathbb {R}$ и $\left|x\right| > 2\alpha$ даёт $\left[x - \alpha , x + \alpha \right] \subseteq F^{c}$ , так что $\left|x\right| > 2\alpha$ влечёт

\begin{aligned} \left|f * g(x)\right| & \leq \left|\int _{F} f(x - y) g(y) \, d\bar{\lambda }(y)\right| + \left|\int _{F^{c}} f(x - y) g(y) \, d\bar{\lambda }(y)\right| \\ & \leq \left[\int _{F} \left|f(x - y)\right|^{p} \, d\bar{\lambda }(y)\right]^{1 / p} \left\| g\right\| _{p^{\prime }} + \left\| f\right\| _{p} \left[\int _{F^{c}} \left|g(y)\right|^{p^{\prime }} \, d\bar{\lambda }(y)\right]^{1 / p^{\prime }} \\ & \leq \left[\int _{[x - \alpha , x + \alpha ]} \left|f(y)\right|^{p} \, d\bar{\lambda }(y)\right]^{1 / p} \left\| g\right\| _{p^{\prime }} + c \left\| f\right\| _{p} \\ & \leq \left[\int _{F^{c}} \left|f(y)\right|^{p} \, d\bar{\lambda }(y)\right]^{1 / p} \left\| g\right\| _{p^{\prime }} + c \left\| f\right\| _{p} \\ & \leq c \left\| g\right\| _{p^{\prime }} + c \left\| f\right\| _{p} \\ & = \epsilon . \end{aligned}

Задача 10.5.4

В $L^{1}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ нет элемента $u$ такого, что $u * f = f$ $\bar{\lambda }$ -почти всюду на $\mathbb {R}$ для каждого $f$ из $L^{1}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ .

?

Примечание.

?

Предположим, что такой $u$ существует. Найдём $\delta > 0$ с $\int_{[-2\delta , 2\delta ]} \left|u\right| \, d\bar{\lambda } < 1$ . Пусть $f = \; \mathbb {1}_{[-\delta , \delta ]}$ . Для $\bar{\lambda }$ -почти всех $x \in \mathbb {R}$ имеем

\begin{aligned} f(x) = u * f(x) & = \int _{\mathbb {R}} u(x - y) f(y) \, d\bar{\lambda }(y) \\ & = \int _{[-\delta , \delta ]} u(x - y) \, d\bar{\lambda }(y) \\ & = \int _{[x - \delta , x + \delta ]} u(t) \, d\bar{\lambda }(t) . \end{aligned}

Поскольку $\bar{\lambda }\left([-\delta , \delta ]\right) > 0$ , найдётся $x_{0} \in [-\delta , \delta ]$ с $1 = f\left(x_{0}\right) = \int_{[x_{0} - \delta , x_{0} + \delta ]} u(t) \, d\bar{\lambda }(t)$ . Теперь $[x_{0} - \delta , x_{0} + \delta ] \subseteq [-2\delta , 2\delta ]$ , так что

1 = \left|\int _{x_{0} - \delta }^{x_{0} + \delta } u(t) \, d\bar{\lambda }(t)\right| \leq \int _{x_{0} - \delta }^{x_{0} + \delta } \left|u(t)\right| \, d\bar{\lambda }(t) \leq \int _{-2\delta }^{2\delta } \left|u(t)\right| \, d\bar{\lambda }(t) < 1 .

Это даёт противоречие.

Задача 10.5.5

Последовательность $\left\{ u_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ функций из $L^{1}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ называется приближённой единицей, если

$u_{n} \geq 0$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ ,
$\left\| u_{n}\right\|_{1} = 1$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ ,
для каждой окрестности $V$ точки $0$ , $\lim_{n} \int_{V^{c}} u_{n} \, d\bar{\lambda } = 0$ .

Например, если $u_{n} = \frac{n}{2} \; \mathbb {1}_{[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}]}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ , то $\left\{ u_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ является приближённой единицей.

Докажите следующее: пусть $\left\{ u_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает приближённую единицу, и пусть $1 < p < +\infty$ . Для каждой $f \in L^{p}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ имеем $\lim_{n} \left\| f * u_{n} - f\right\|_{p} = 0$ .

?

Примечание.

?

Пусть $f \in L^{p}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ и $\epsilon > 0$ . Утверждение тривиально, если $\left\| f\right\|_{p} = 0$ , поэтому предположим, что $\left\| f\right\|_{p} > 0$ . Найдём окрестность $V$ точки $0$ такую, что $y \in V$ влечёт $\left\| \tau_{-y} f - f\right\|_{p} < \frac{\epsilon }{2}$ . Используйте (iii), чтобы найти $n_{0} \in \mathbb {N}$ такое, что $n \geq n_{0}$ влечёт $\int_{V^{c}} u_{n} \, d\bar{\lambda } < \frac{\epsilon }{4 \left\| f\right\|_{p}}$ . Пусть $n \geq n_{0}$ . Имеем $f * u_{n} \in L^{p}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ по результатам этого раздела, и для каждой $h \in L^{p^{\prime }}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ имеем

\begin{aligned} & \left|\int _{\mathbb {R}} \left[f * u_{n}(x) - f(x)\right] h(x) \, d\bar{\lambda }(x)\right| \\ & = \left|\int _{\mathbb {R}} \left[\int _{\mathbb {R}} f(x - y) u_{n}(y) \, d\bar{\lambda }(y) - f(x)\right] h(x) \, d\bar{\lambda }(x)\right| \\ & = \left|\int _{\mathbb {R}} \int _{\mathbb {R}} \left[f(x - y) - f(x)\right] u_{n}(y) \, d\bar{\lambda }(y) \, h(x) \, d\bar{\lambda }(x)\right| \\ & \leq \int _{\mathbb {R}} \int _{\mathbb {R}} \left|f(x - y) - f(x)\right| \left|u_{n}(y)\right| \, d\bar{\lambda }(y) \, \left|h(x)\right| \, d\bar{\lambda }(x) \\ & = \int _{\mathbb {R}} \left|u_{n}(y)\right| \int _{\mathbb {R}} \left|f(x - y) - f(x)\right| \left|h(x)\right| \, d\bar{\lambda }(x) \, d\bar{\lambda }(y) \\ & \leq \int _{\mathbb {R}} \left|u_{n}(y)\right| \left\| \tau _{-y} f - f\right\| _{p} \left\| h\right\| _{p^{\prime }} \, d\bar{\lambda }(y) \\ & \leq \int _{V} u_{n}(y) \frac{\epsilon }{2} \left\| h\right\| _{p^{\prime }} \, d\bar{\lambda }(y) + \int _{V^{c}} 2 u_{n}(y) \left\| f\right\| _{p} \left\| h\right\| _{p^{\prime }} \, d\bar{\lambda }(y) \\ & \leq \left(\frac{\epsilon }{2} \left\| h\right\| _{p^{\prime }} \times 1\right) + \left(2 \left\| f\right\| _{p} \left\| h\right\| _{p^{\prime }} \times \frac{\epsilon }{4 \left\| f\right\| _{p}}\right) \\ & = \epsilon \left\| h\right\| _{p^{\prime }} . \end{aligned}

Определим $L$ на $L^{p^{\prime }}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ , положив $L(h) = \int_{\mathbb {R}} \left[f * u_{n}(x) - f(x)\right] h(x) \, d\bar{\lambda }(x)$ . Тогда $L$ является ограниченным линейным функционалом, и $\epsilon \geq \left\| L\right\| = \left\| f * u_{n} - f\right\|_{p}$ по утверждению 1 раздела 8.9.

Задача 10.5.6

Переделайте упражнение 5 для случая $p = 1$ .

?

Примечание.

?

Положите $h = 1$ выше.

Задача 10.5.7

Если $f$ и $g$ — элементы $L^{1}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ , зависящие только от $\left|x\right|$ , то $f * g$ зависит только от $\left|x\right|$ .

?

Задача 10.5.8

(a)(b)(c)(d)

Следующие части дают несколько конкретных примеров свёрток, любезно предоставленных Джонсом (Jones), стр. 278-279.

?

(a)

Пусть $0 < b \leq a$ . Пусть $f = \; \mathbb {1}_{(-a, a)}$ и $g = \; \mathbb {1}_{(-b, b)}$ . Тогда для каждого $x \in \mathbb {R}$

f * g(x) = \begin{cases} 2b & \left|x\right| \leq a - b \\ a + b - \left|x\right| & a - b \leq \left|x\right| \leq a + b \\ 0 & a + b \leq \left|x\right| . \end{cases}

(b)

Пусть $a$ и $b$ обозначают различные вещественные числа. Пусть $f(x) = e^{-ax} \; \mathbb {1}_{[0, +\infty )}(x)$ и $g(x) = e^{-bx} \; \mathbb {1}_{[0, +\infty )}(x)$ для каждого $x \in \mathbb {R}$ . Тогда

f * g(x) = \begin{cases} \dfrac {e^{-ax} - e^{-bx}}{b - a} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 . \end{cases}

(c)

Если в (b) $a = b$ , то $f * g(x) = x e^{-ax}$ для каждого $x \in \mathbb {R}$ .

(d)

Если $a + b > 0$ , $f(x) = e^{-ax^{2}}$ и $g(x) = e^{-bx^{2}}$ [для всех $x \in \mathbb {R}$ ], то

f * g(x) = \sqrt{\frac{\pi }{a + b}} \, e^{-\frac{ab}{a + b} x^{2}} \quad \text{для всех } x \in \mathbb {R} .

Задача 10.5.9

(a)(b)(c)(d)

Утверждение 6 (теорема Юнга): пусть $1 < p < +\infty$ , пусть $f \in L^{1}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ с $g \in L^{p}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ . Тогда $f * g \in L^{p}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ , $g * f = f * g$ $\bar{\lambda }$ -почти всюду на $\mathbb {R}$ , и $\left\| f * g\right\|_{p} = \left\| g * f\right\|_{p} \leq \left\| f\right\|_{1} \left\| g\right\|_{p}$ .

Данное упражнение обобщает теорему Юнга и требует результата упражнения 3 раздела 8.1. Покажите следующее: пусть $1 \leq p, q, r \leq +\infty$ таковы, что $\frac{1}{r} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} - 1$ . Пусть $f \in L^{p}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ и $g \in L^{q}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ . Тогда $f * g$ существует $\bar{\lambda }$ -почти всюду на $\mathbb {R}$ и принадлежит $L^{r}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ . Кроме того, $\left\| f * g\right\|_{r} \leq \left\| f\right\|_{p} \left\| g\right\|_{q}$ .

?

(a)

Если $p = +\infty$ , то $q = 1$ и $r = +\infty$ , и утверждение легко следует в этом случае. То же замечание применимо к случаю, когда $q = +\infty$ [а следовательно, $p = 1$ и $r = +\infty$ ].

(b)

Если $r = +\infty$ , то $p$ и $q$ являются сопряжёнными показателями, и утверждение следует из неравенства Гёльдера.

(c)

Предположим теперь, что $1 \leq r < +\infty$ . Это влечёт $1 \leq p, q < +\infty$ . Покажите, что достаточно доказать утверждение при $f, g \geq 0$ и $\left\| f\right\|_{p} = \left\| g\right\|_{q} = 1$ .

(d)

Докажите утверждение из (c).

Примечание.

?

Утверждение 3: пусть $f, g \in L^{1}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ . Тогда $f * g \in L^{1}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ и $\left\| f * g\right\|_{1} \leq \left\| f\right\|_{1} \left\| g\right\|_{1}$ .

Поскольку $f, g$ неотрицательны и $\mathcal{L} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримы, мы можем осмысленно рассматривать $\int_{\mathbb {R}} f(x - y) g(y) \, d\bar{\lambda }(y) = f * g(x)$ для каждого $x \in \mathbb {R}$ . Покажите, что $\frac{1}{r} + \frac{1}{q^{\prime }} + \frac{1}{p^{\prime }} = 1$ , и используйте упражнение 3 раздела 8.1, чтобы получить

\begin{aligned} f * g(x) & = \int _{\mathbb {R}} f(x - y) g(y) \, d\bar{\lambda }(y) \\ & = \int _{\mathbb {R}} f(x - y)^{\frac{p}{r}} g(y)^{\frac{q}{r}} f(x - y)^{1 - \frac{p}{r}} g(y)^{1 - \frac{q}{r}} \, d\bar{\lambda }(y) \\ & \leq \left[\int _{\mathbb {R}} f(x - y)^{p} g(y)^{q} \, d\bar{\lambda }(y)\right]^{1 / r} \left[\int _{\mathbb {R}} f(x - y)^{q^{\prime } \left(1 - \frac{p}{r}\right)} \, d\bar{\lambda }(y)\right]^{1 / q^{\prime }} \\ & \quad \times \left[\int _{\mathbb {R}} g(y)^{p^{\prime } \left(1 - \frac{q}{r}\right)} \, d\bar{\lambda }(y)\right]^{1 / p^{\prime }} \\ & = \left[\int _{\mathbb {R}} f(x - y)^{p} g(y)^{q} \, d\bar{\lambda }(y)\right]^{1 / r} \times 1 \times 1 \end{aligned}

для каждого $x \in \mathbb {R}$ . Это показывает, что $\left(f * g\right)^{r} \leq f^{p} * g^{q} \in L^{1}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ по утверждению 3. Отсюда следует, что $f * g \in L^{r}\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ , а применение утверждения 3 к $f^{p}$ и $g^{q}$ даёт

\left\| f * g\right\| _{r}^{r} = \int _{\mathbb {R}} f * g(x)^{r} \, d\bar{\lambda }(x) \leq \int _{\mathbb {R}} f^{p} * g^{q}(x) \, d\bar{\lambda }(x) \leq \left\| f^{p}\right\| _{1} \left\| g^{q}\right\| _{1} = \left\| f\right\| _{p}^{p} \left\| g\right\| _{q}^{q} = 1 .

Свёртки