Банк задач по математике

Задача 10.4.1

Обобщённое неравенство Минковского: пусть $\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1}\right)$ и $\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2}\right)$ обозначают $\sigma$ -конечные измеримые пространства, пусть $1 \leq p < +\infty$ , и пусть $f: \Omega_{1} \times \Omega_{2} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ является $\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой и такой, что

\int _{\Omega _{2}} \left[\int _{\Omega _{1}} \left|f\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right)\right|^{p} \, d\mu _{1}\left(\omega _{1}\right)\right]^{1 / p} d\mu _{2}\left(\omega _{2}\right) < +\infty .

Тогда

\left[\int _{\Omega _{1}} \left|\int _{\Omega _{2}} f\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right) \, d\mu _{2}\left(\omega _{2}\right)\right|^{p} d\mu _{1}\left(\omega _{1}\right)\right]^{1 / p} \leq \int _{\Omega _{2}} \left[\int _{\Omega _{1}} \left|f\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right)\right|^{p} \, d\mu _{1}\left(\omega _{1}\right)\right]^{1 / p} d\mu _{2}\left(\omega _{2}\right) .

Рассмотрим $\sigma$ -конечное измеримое пространство $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ и конечное измеримое пространство $\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2}\right)$ , где $\Omega_{2} = \left\{ a, b\right\}$ , $\mathcal{F}_{2} = 2^{\Omega_{2}}$ , а $\mu_{2}$ обозначает считающую меру. Пусть $f, g \in L^{p}\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ , где $1 \leq p < +\infty$ . Определим $h: \Omega \times \Omega_{2} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ , положив $h\left(\omega , a\right) = f(\omega )$ и $h\left(\omega , b\right) = g(\omega )$ для каждого $\omega \in \Omega$ . Здесь обобщённое неравенство Минковского принимает следующий вид: пусть $f, g \in L^{p}\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ . Тогда $f + g \in L^{p}\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ и $\left\| f + g\right\|_{p} \leq \left\| f\right\|_{p} + \left\| g\right\|_{p}$ .

?

Задача 10.4.2

Пусть $0 < q \leq p < +\infty$ . Не заботясь об условиях измеримости, получите неравенство

\left[\int _{\Omega _{1}} \left(\int _{\Omega _{2}} \left|f\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right)\right|^{q} \, d\mu _{2}\left(\omega _{2}\right)\right)^{p / q} d\mu _{1}\left(\omega _{1}\right)\right]^{1 / p} \leq \left[\int _{\Omega _{2}} \left(\int _{\Omega _{1}} \left|f\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right)\right|^{p} \, d\mu _{1}\left(\omega _{1}\right)\right)^{q / p} d\mu _{2}\left(\omega _{2}\right)\right]^{1 / q} .

?

Примечание.

?

Имеем $1 \leq p / q < +\infty$ . Поиграйте с показателями и используйте обобщённое неравенство Минковского.

Задача 10.4.3

(a)(b)(c)

Пусть $\mathcal{L}$ обозначает лебеговы подмножества $(0, +\infty )$ , а $\bar{\lambda }$ обозначает меру Лебега на лебеговых подмножествах $(0, +\infty )$ . Рассмотрим $\sigma$ -конечное измеримое пространство $\left((0, +\infty ), \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ . Для функции $f \in L^{1}\left((0, +\infty ), \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ сопоставим функцию $F: (0, +\infty ) \rightarrow [0, +\infty )$ , заданную как $F(x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(y) \, d\bar{\lambda }(y)$ .

?

(a)

При $1 < p < +\infty$ имеем $F \in L^{p}\left((0, +\infty ), \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ и $\left\| F\right\|_{p} \leq p^{\prime } \left\| f\right\|_{p}$ .

(b)

Константа $p^{\prime } = \frac{p}{p - 1}$ является наилучшей [наименьшей] возможной константой для неравенства в (a).

(c)

До сих пор мы исключали случай $p = 1$ . Покажите, что если $f \in L^{1}\left((0, +\infty ), \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ положительна, то $F \notin L^{1}\left((0, +\infty ), \mathcal{L}, \bar{\lambda }\right)$ .

Примечание.

?

(a) Замените $y$ на $xt$ , а затем используйте главный результат этого раздела.

(b) Рассмотрите $f(x) = x^{\epsilon - \frac{1}{p}} \; \mathbb {1}_{(0, 1)}(x)$ для каждого $x \in (0, +\infty )$ .

Задача 10.4.4

Это упражнение является леммой для следующего упражнения. Пусть $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ обозначает измеримое пространство с $\mu (\Omega ) < +\infty$ . Всякая $\mathcal{F} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримая функция $f: \Omega \rightarrow [0, +\infty ]$ удовлетворяет условию

\lim _{p \rightarrow \infty } \left[\int _{\Omega } f(\omega )^{p} \, d\mu (\omega )\right]^{1 / p} = \operatorname {ess} \sup _{\omega \in \Omega } f(\omega ) .

?

Примечание.

?

Предположим, что $f$ не является существенно ограниченной. Тогда $\mu \left(\left\{ \omega \in \Omega : f(\omega ) \geq M\right\} \right) > 0$ имеет положительную $\mu$ -меру для каждого $M > 0$ . Покажите для каждого $M > 0$ и $p > 1$ , что

0 < M \mu \left(\left\{ \omega \in \Omega : f(\omega ) \geq M\right\} \right)^{1 / p} \leq \left[\int _{\Omega } \left|f(\omega )\right|^{p} \, d\mu (\omega )\right]^{1 / p}

разбив интеграл на интеграл по множеству $\omega$ , где $f(\omega ) \geq M$ , и множеству $\omega$ , где $f(\omega ) < M$ . Далее, $\lim_{p \rightarrow \infty } \mu \left(\left\{ \omega \in \Omega : f(\omega ) \geq M\right\} \right)^{1 / p} = 1$ , поскольку $\mu (\Omega ) < +\infty$ . Следовательно, для любого сколь угодно большого $M$ мы можем выбрать настолько большое $p$ , что $\left(\int_{\Omega } \left|f(\omega )\right|^{p} \, d\mu (\omega )\right)^{1 / p}$ превзойдёт, скажем, $M / 2$ . Это даёт результат в случае, когда $f$ не является существенно ограниченной. Если же, с другой стороны, $f$ существенно ограничена, то $f \in L^{p}\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ для каждого $p \geq 1$ в силу того, что $\mu (\Omega ) < +\infty$ . Ранее мы показали, что в этом случае $\left\| f\right\|_{p} \rightarrow \left\| f\right\|_{\infty }$ ; см. упражнение 4 раздела 8.5.

Задача 10.4.5

(a)(b)(c)(d)

Мы доказали обобщённое неравенство Минковского для $1 \leq p < +\infty$ . Существует версия для случая $p = +\infty$ . Пусть $\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1}\right)$ и $\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2}\right)$ обозначают $\sigma$ -конечные измеримые пространства, и пусть $f: \Omega_{1} \times \Omega_{2} \rightarrow [0, +\infty ]$ является $\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой.

?

(a)

Отображение $\omega_{2} \mapsto \operatorname {ess} \sup_{\omega_{1} \in \Omega_{1}} f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$ является $\mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримым, следовательно, мы можем осмысленно рассматривать $\int_{\Omega_{2}} \operatorname {ess} \sup_{\omega_{1} \in \Omega_{1}} f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \, d\mu_{2}\left(\omega_{2}\right)$ .

Отныне предположим, что $\int_{\Omega_{2}} \operatorname {ess} \sup_{\omega_{1} \in \Omega_{1}} f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \, d\mu_{2}\left(\omega_{2}\right) < +\infty$ .

(b)

Для $\mu_{1}$ -почти всех $\omega_{1} \in \Omega_{1}$ отображение $\omega_{2} \mapsto f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$ принадлежит $L^{1}\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2}\right)$ . То есть для $\mu_{1}$ -почти всех $\omega_{1} \in \Omega_{1}$ имеем $\int_{\Omega_{2}} f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \, d\mu_{2}\left(\omega_{2}\right) < +\infty$ .

(c)

[Неотрицательное] отображение $\omega_{1} \mapsto \int_{\Omega_{2}} f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \, d\mu_{2}\left(\omega_{2}\right)$ , определённое на $\Omega_{1}$ , является $\mathcal{F}_{1} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримым, следовательно, мы можем осмысленно рассматривать $\operatorname {ess} \sup_{\omega_{1} \in \Omega_{1}} \int_{\Omega_{2}} f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \, d\mu_{2}\left(\omega_{2}\right)$ .

(d)

Имеет место неравенство

\operatorname {ess} \sup _{\omega _{1} \in \Omega _{1}} \int _{\Omega _{2}} f\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right) \, d\mu _{2}\left(\omega _{2}\right) \leq \int _{\Omega _{2}} \operatorname {ess} \sup _{\omega _{1} \in \Omega _{1}} f\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right) \, d\mu _{2}\left(\omega _{2}\right) .