Теоремы Фубини в евклидовом пространстве

Подсказка к части (a): покажите, что

вычислив двумерный интеграл Римана $\int_{(0,a) \times (0,+\infty )} (\sin x) e^{-xy} \, \mathrm{d} A$ двумя разными способами. Используйте подходящую теорему о сходимости, чтобы установить предел.

Подсказка к части (b): для $0<x<+\infty$ заметьте, что $f^{+}(x)>0$ тогда и только тогда, когда $f(x)>0$, тогда и только тогда, когда $2n\pi <x<(2n+1)\pi$ для некоторого неотрицательного целого $n$. Используйте следующую теорему о среднем значении: если $g$ и $h$ неотрицательны и непрерывны на $(c,d)$, то найдётся $\xi \in (c,d)$ такое, что $\int_{c}^{d} g(x) h(x) \, \mathrm{d} x=g(\xi ) \int_{c}^{d} h(x) \, \mathrm{d} x$. Положим $g(x)=\frac{1}{x}$ и $h(x)=\sin x$ и покажите для всех $n \geqslant 0$, что

Тогда $\int_{(0,+\infty )} f^{+}(x) \, \mathrm{d}\bar\lambda (x)=\sum_{n=0}^{\infty } \int_{2n\pi }^{(2n+1)\pi } f(x) \, \mathrm{d} x=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{2}{\xi_{n}}=+\infty$. Аналогично можно показать, что $\int_{(0,+\infty )} f^{-}(x) \, \mathrm{d}\bar\lambda (x)=+\infty$.

Подсказка к части (c): используйте результат о линейной замене переменных.

Используйте теорему Фубини, чтобы показать, что

Левый интеграл (при подстановке $u=xy$) равен $\left(\int_{0}^{\infty } e^{-x^{2}} \, \mathrm{d} x\right)^{2}$. Правый интеграл (при подстановке $u=x^{2}$) во внутреннем интеграле непосредственно вычисляется и равен $\frac{\pi }{4}$.

Подсказка к части (a): пусть $g: \mathbb {R}^{k+1} \rightarrow \mathbb {R}$ задано как $g(\boldsymbol {x},y)=f(\boldsymbol {x})$. Тогда

поскольку $\mathscr {L}^{k} \times \mathscr {L} \subseteq \mathscr {L}^{k+1}$. Это показывает, что $g$ является $\mathscr {L}^{k+1} / \mathcal{B}^{*}$-измеримой. Теперь запишите $A$ и $B$ как прообразы при отображении $g$ подходящих $\mathcal{B}^{*}$-множеств.

Подсказка к части (b): обоснуйте следующее:

Аналогично, $\int_{E} f(\boldsymbol {x}) \, \mathrm{d}\bar\lambda_{k}(\boldsymbol {x})=\bar\lambda_{k+1}(B)$.

Подсказка к части (d): проверьте, что $A^{y}=\left\{ \boldsymbol {x} \in E: f(\boldsymbol {x})>y\right\}$ при $0<y<+\infty$ и $A^{y}=\varnothing$ иначе. Затем проверьте, что

Подсказка к части (a): проинтегрируйте по частям.

Для положительных вещественных $\alpha$ и $\beta$ гамма- и бета-функции определяются как

Подсказка к части (a): проверьте, что

используя, где это уместно, полную теорему Фубини для неотрицательных функций.

Подсказка к части (b): запишите $x=\sin^{2}\theta$, чтобы получить тождество $B(\alpha ,\beta )=2\int_{0}^{\pi /2} \sin^{2\alpha -1}\theta \cos^{2\beta -1}\theta \, \mathrm{d}\bar\lambda (\theta )$. Положите $\alpha =\beta =\frac{1}{2}$.

Полная теорема Фубини для неотрицательных функций: рассмотрим полные и $\sigma$-конечные измеримые пространства $\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1}\right)$ и $\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2}\right)$. Пусть $f: \Omega_{1} \times \Omega_{2} \rightarrow \left[0,+\infty \right]$ является $\overline{\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}} / \mathcal{B}^{*}$-измеримой. Тогда отображения $\omega_{1} \mapsto f\left(\omega_{1},\omega_{2}\right)$, $\omega_{2} \mapsto f\left(\omega_{1},\omega_{2}\right)$ и соответствующие проинтегрированные отображения измеримы в подходящем смысле почти всюду, причём

Используйте подходящую форму теоремы Фубини, чтобы получить

где $I_{1}=\int_{0}^{\infty } f(t) t^{\sum_{i=1}^{k} c_{i}-1} \, \mathrm{d}\bar\lambda (t)$, а $I_{2}$ — (постоянный, не зависящий от $f$) интеграл по $B$. Второе равенство следует из замены $t=x_{1}+\cdots +x_{k}$. Множество $A$ в третьем равенстве — это множество $\left(x_{1},\ldots ,x_{k-1}\right)$ с $x_{1},\ldots ,x_{k-1}>0$ и $x_{1}+\cdots +x_{k-1}<t$. Четвёртое равенство следует из замены $x_{i}=t y_{i}$ при $i=1,\ldots ,k-1$; множество $B$ — это множество $\left(y_{1},\ldots ,y_{k-1}\right)$ с $y_{1},\ldots ,y_{k-1}>0$ и $y_{1}+\cdots +y_{k-1}<1$. Если $f(z)=e^{-z}$, то приведённые выше вычисления и теорема Фубини показывают, что левая часть равна $\int_{(0,+\infty )^{k}} e^{-\left(x_{1}+\cdots +x_{k}\right)} \prod_{i=1}^{k} x_{i}^{c_{i}-1} \, \mathrm{d}\bar\lambda_{k}(\boldsymbol {x})=\prod_{i=1}^{k} \Gamma \left(c_{i}\right)$.

Но тот же вывод показывает, что в этом случае левая часть также равна $\int_{0}^{\infty } e^{-t} t^{\sum_{i=1}^{k} c_{i}-1} \, \mathrm{d}\bar\lambda (t) \times I_{2}=\Gamma \left(\sum_{i=1}^{k} c_{i}\right) \times I_{2}$.

Следовательно, $I_{2}=\left(\prod_{i=1}^{k} \Gamma \left(c_{i}\right)\right)/\Gamma \left(\sum_{i=1}^{k} c_{i}\right)$. Возвращаясь к общему неотрицательному $f$ в приведённом выше выводе, получаем результат.

В задаче 10.3.8 положите $b_{1}=\cdots =b_{k}=2$ и $c_{1}=\cdots =c_{k}=1$, чтобы получить

Если $f$ является композицией $g$ и квадратного корня, где $g$ неотрицательна и $\mathscr {L} / \mathcal{B}^{*}$-измерима, имеем

Заметьте, что $\int_{\mathbb {R}^{k}} g\left(\left\| \boldsymbol {x}\right\| \right) \, \mathrm{d}\bar\lambda_{k}(\boldsymbol {x})=2^{k} \int_{(0,+\infty )^{k}} g\left(\left\| \boldsymbol {x}\right\| \right) \, \mathrm{d}\bar\lambda_{k}(\boldsymbol {x})$ в силу вращательной симметрии подынтегральной функции. Это даёт результат при замене $f$ на $g$.

Примените задачу 10.3.9 к функции $\; \mathbb {1}_{B(\boldsymbol {0},r)}(\boldsymbol {x})=\; \mathbb {1}_{(0,r)}\left(\left\| \boldsymbol {x}\right\| \right)$:

Здесь $B(\boldsymbol {0},r)$ обозначает шар в $\mathbb {R}^{k}$ радиуса $r$; мы можем считать центром начало координат $\boldsymbol {0}$ пространства $\mathbb {R}^{k}$ в силу трансляционной инвариантности $\bar\lambda_{k}$.