Банк задач по математике

Задача 10.2.1

(a)(b)(c)(d)

Пусть $\Omega_{1}=\Omega_{2}=\left[0,1\right]$ , пусть $\mathcal{F}_{1}$ и $\mathcal{F}_{2}$ обозначают борелевские подмножества $\left[0,1\right]$ , пусть $\mu_{1}$ обозначает меру Лебега, суженную на $\mathcal{F}_{1}$ , и пусть $\mu_{2}$ обозначает считающую меру. Определим $E=\left\{ \left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \in \Omega_{1} \times \Omega_{2}: \omega_{1}=\omega_{2}\right\}$ . Заметим, что $\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2}\right)$ не является $\sigma$ -конечным пространством с мерой, тогда как $\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1}\right)$ является $\sigma$ -конечным пространством с мерой.

?

(a)

$E \in \mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}$ , следовательно, $\; \mathbb {1}_{E}$ является $\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой.

(b)

$\int_{\Omega_{1}} \int_{\Omega_{2}} \; \mathbb {1}_{E} \mathrm{~ d} \mu_{2} \mathrm{~ d} \mu_{1}=1$ .

(c)

$\int_{\Omega_{2}} \int_{\Omega_{1}} \; \mathbb {1}_{E} \mathrm{~ d} \mu_{1} \mathrm{~ d} \mu_{2}=0$ . Следовательно, заключение неотрицательной теоремы Фубини не выполняется.

(d)

Чему равно $\int_{\Omega_{1} \times \Omega_{2}} \; \mathbb {1}_{E} \mathrm{~ d} \mu_{1} \otimes \mu_{2}=\mu_{1} \otimes \mu_{2}(E)$ ?

Примечание.

?

Неотрицательная теорема Фубини: пусть $f: \Omega_{1} \times \Omega_{2} \rightarrow \left[0,+\infty \right]$ является $\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой, где $\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1}\right)$ и $\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2}\right)$ — $\sigma$ -конечные пространства с мерой. Тогда (i) для каждого $\omega_{1} \in \Omega_{1}$ отображение $\omega_{2} \mapsto f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$ на $\Omega_{2}$ является $\mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримым и неотрицательным; (ii) для каждого $\omega_{2} \in \Omega_{2}$ отображение $\omega_{1} \mapsto f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$ на $\Omega_{1}$ является $\mathcal{F}_{1} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримым и неотрицательным; (iii) отображение $\omega_{1} \mapsto \int_{\Omega_{2}} f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \mathrm{~ d} \mu_{2}\left(\omega_{2}\right)$ на $\Omega_{1}$ является $\mathcal{F}_{1} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримым и неотрицательным; (iv) отображение $\omega_{2} \mapsto \int_{\Omega_{1}} f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \mathrm{~ d} \mu_{1}\left(\omega_{1}\right)$ на $\Omega_{2}$ является $\mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримым и неотрицательным; и (v)

\int _{\Omega _{1} \times \Omega _{2}} f \mathrm{~ d} \mu _{1} \otimes \mu _{2}=\int _{\Omega _{1}} \int _{\Omega _{2}} f \mathrm{~ d} \mu _{2} \mathrm{~ d} \mu _{1}=\int _{\Omega _{2}} \int _{\Omega _{1}} f \mathrm{~ d} \mu _{1} \mathrm{~ d} \mu _{2} .

Предположение о том, что оба пространства $\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1}\right)$ и $\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2}\right)$ $\sigma$ -конечны, не является избыточным — данная задача и есть контрпример.

Задача 10.2.2

(a)(b)(c)

Пусть $\Omega$ обозначает несчётное множество, и пусть $\mathcal{F}$ обозначает набор $A \subseteq \Omega$ таких, что $A$ не более чем счётно или $A^{c}$ не более чем счётно. Пусть $\mu$ такова, что $\mu (E)$ равно $0$ или $1$ в зависимости от того, является ли $E$ не более чем счётным или $E^{c}$ не более чем счётным соответственно.

?

(a)

$\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ — конечное (следовательно, $\sigma$ -конечное) пространство с мерой.

(b)

Пусть $\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1}\right)$ и $\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2}\right)$ идентичны $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ . Пусть $E$ обозначает множество такое, что $E_{\omega_{1}}$ не более чем счётно для каждого $\omega_{1} \in \Omega_{1}$ , а $\left(E^{\omega_{2}}\right)^{c}$ не более чем счётно для каждого $\omega_{2} \in \Omega_{2}$ . Покажите, что

\int _{\Omega _{1}} \int _{\Omega _{2}} \; \mathbb {1}_{E} \mathrm{~ d} \mu _{2} \mathrm{~ d} \mu _{1}=1 \neq 0=\int _{\Omega _{2}} \int _{\Omega _{1}} \; \mathbb {1}_{E} \mathrm{~ d} \mu _{1} \mathrm{~ d} \mu _{2} .

(c)

Используя неотрицательную теорему Фубини, выведите, что множество $E$ из пункта (b) не может принадлежать $\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}$ . В частности, $\int_{\Omega_{1} \times \Omega_{2}} \; \mathbb {1}_{E} \mathrm{~ d} \mu_{1} \otimes \mu_{2}$ не существует, поскольку $\; \mathbb {1}_{E}$ не является $\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой. Это показывает, что предположение о $\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримости в неотрицательной теореме Фубини не является избыточным. Это также показывает, что оба повторных интеграла могут существовать, тогда как двойной интеграл не определён.

Примечание.

?

Неотрицательная теорема Фубини: пусть $f: \Omega_{1} \times \Omega_{2} \rightarrow \left[0,+\infty \right]$ является $\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой, где $\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1}\right)$ и $\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2}\right)$ — $\sigma$ -конечные пространства с мерой. Тогда (i)–(iv) оба отображения $\omega_{1} \mapsto f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$ и $\omega_{2} \mapsto f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$ , а также соответствующие проинтегрированные отображения $\omega_{1} \mapsto \int_{\Omega_{2}} f \mathrm{~ d} \mu_{2}$ и $\omega_{2} \mapsto \int_{\Omega_{1}} f \mathrm{~ d} \mu_{1}$ , измеримы и неотрицательны; и (v) $\int_{\Omega_{1} \times \Omega_{2}} f \mathrm{~ d} \mu_{1} \otimes \mu_{2}=\int_{\Omega_{1}} \int_{\Omega_{2}} f \mathrm{~ d} \mu_{2} \mathrm{~ d} \mu_{1}=\int_{\Omega_{2}} \int_{\Omega_{1}} f \mathrm{~ d} \mu_{1} \mathrm{~ d} \mu_{2}$ .

Задача 10.2.3

(a)(b)(c)(d)

Пусть $\Omega =\left[0,1\right]$ , пусть $\mathcal{L}$ обозначает лебеговские подмножества $\left[0,1\right]$ , и пусть $\bar\lambda$ обозначает сужение меры Лебега на лебеговские подмножества $\left[0,1\right]$ . Пусть $\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1}\right)$ и $\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2}\right)$ обозначают копии $\sigma$ -конечного пространства с мерой $\left(\Omega , \mathcal{L}, \bar\lambda \right)$ .

?

(a)

Предположим, что $E \subseteq \Omega_{1} \times \Omega_{2}$ такова, что $\mu_{2}\left(E_{\omega_{1}}\right)=0=\mu_{1}\left(\left[0,1\right]-E^{\omega_{2}}\right)$ для каждого $\omega_{1} \in \Omega_{1}$ и $\omega_{2} \in \Omega_{2}$ . Используя неотрицательную теорему Фубини, выведите, что $E \notin \mathcal{L} \otimes \mathcal{L}$ .

Мы хотим показать, что такое множество $E$ действительно существует. Для этого примем гипотезу континуума: $\operatorname {card} P_{\xi }=\aleph_{1}=\mathfrak {c}$ , где $P_{\xi }=\left\{ \alpha : \alpha \prec \xi \right\}$ — множество порядковых чисел, предшествующих $\xi$ , первому несчётному порядковому числу.

(b)

Существует взаимно однозначное отображение $\phi : P_{\xi } \rightarrow \left[0,1\right]$ , являющееся отображением на $\left[0,1\right]$ .

(c)

Пусть $E=\left\{ \left(\phi (\alpha ), \phi (\beta )\right): \beta \prec \alpha \prec \xi \right\}$ . Тогда для каждого $\omega_{1} \in \Omega_{1}$ имеем $\operatorname {card}\left(E_{\omega_{1}}\right)<\mathfrak {c}$ , а для каждого $\omega_{2} \in \Omega_{2}$ имеем $\operatorname {card}\left(\left[0,1\right]-E^{\omega_{2}}\right)<\mathfrak {c}$ .

(d)

Заключите (используя гипотезу континуума), что в действительности и $E_{\omega_{1}}$ , и $\left[0,1\right]-E^{\omega_{2}}$ не более чем счётны для каждого $\omega_{1} \in \Omega_{1}$ и $\omega_{2} \in \Omega_{2}$ , и, следовательно, $\bar\lambda \left(E_{\omega_{1}}\right)=\bar\lambda \left(\left[0,1\right]-E^{\omega_{2}}\right)=0$ для каждого $\omega_{1} \in \Omega_{1}$ и $\omega_{2} \in \Omega_{2}$ .

Примечание.

?

Подсказка к части (a): вычислите два повторных интеграла от $\; \mathbb {1}_{E}$ и убедитесь, что они не равны; если бы $E \in \mathcal{L} \otimes \mathcal{L}$ , повторные интегралы совпадали бы. Это похоже на задачу 10.2.2.

Неотрицательная теорема Фубини: пусть $f: \Omega_{1} \times \Omega_{2} \rightarrow \left[0,+\infty \right]$ является $\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой, где $\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1}\right)$ и $\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2}\right)$ — $\sigma$ -конечные пространства с мерой. Тогда все условия (i)–(iv) измеримости выполняются, и $\int_{\Omega_{1} \times \Omega_{2}} f \mathrm{~ d} \mu_{1} \otimes \mu_{2}=\int_{\Omega_{1}} \int_{\Omega_{2}} f \mathrm{~ d} \mu_{2} \mathrm{~ d} \mu_{1}=\int_{\Omega_{2}} \int_{\Omega_{1}} f \mathrm{~ d} \mu_{1} \mathrm{~ d} \mu_{2}$ .

Задача 10.2.4

Пусть $\Omega_{1}=\Omega_{2}=\left[0,1\right]$ , пусть $\mathcal{F}_{1}=\mathcal{F}_{2}$ обозначают лебеговские подмножества $\left[0,1\right]$ , и пусть $\mu_{1}=\mu_{2}=\bar\lambda$ обозначает меру Лебега, суженную на лебеговские подмножества $\left[0,1\right]$ . Мы построим, используя гипотезу континуума, множество $S \subseteq \left[0,1\right] \times \left[0,1\right]$ такое, что $\operatorname {card}\left(S_{\omega_{1}}\right) \leqslant 1$ и $\operatorname {card}\left(S^{\omega_{2}}\right) \leqslant 1$ для каждого $\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \in \left[0,1\right] \times \left[0,1\right]$ , однако $S \notin \overline{\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}}$ .

?

(a)

Пусть $\mathcal{F}$ обозначает набор компактных множеств $F \subseteq \left[0,1\right] \times \left[0,1\right]$ таких, что выполняется неравенство $\mu_{1} \otimes \mu_{2}(F)>0$ . Тогда $\operatorname {card}(\mathcal{F})=\mathfrak {c}$ , и существует отображение $\phi : P_{\xi } \rightarrow \mathcal{F}$ , являющееся взаимно однозначным отображением на $\mathcal{F}$ . (Мы используем те же обозначения порядковых чисел, что и в задаче 10.2.3: $P_{\xi }=\left\{ \alpha : \alpha \prec \xi \right\}$ — множество порядковых чисел, предшествующих $\xi$ , первому несчётному порядковому числу.)

(b)

Мы можем выбрать точку в $\phi (0)$ , скажем, $\left(\omega_{10}, \omega_{20}\right) \in \phi (0)$ .

Запишем $E_{1}=\left\{ \left(\omega_{10}, \omega_{20}\right)\right\}$ . Тривиально, что $\left(E_{1}\right)_{\omega_{1}}$ и $\left(E_{1}\right)^{\omega_{2}}$ имеют мощность $\leqslant 1$ для каждого $\omega_{1} \in \Omega_{1}$ и $\omega_{2} \in \Omega_{2}$ .

Предположим, что для заданного порядкового числа $\beta \prec \xi$ множество $E_{\beta }=\left\{ \left(\omega_{1\alpha }, \omega_{2\alpha }\right): \alpha \prec \beta \right\}$ таково, что каждое $\omega_{1}$ - и $\omega_{2}$ -сечение $E_{\beta }$ состоит не более чем из одной точки. Определим множество $B_{\beta }=\left\{ \omega_{1} \in \Omega_{1}: \bar\lambda \left(\phi (B)_{\omega_{1}}\right)>0\right\}$ .

(c)

$\bar\lambda \left(B_{\beta }\right)>0$ .

(d)

Существует точка, обозначим её $\omega_{1\beta }$ , в $B_{\beta } \cap \left\{ \omega_{1\alpha }: \alpha \prec \beta \right\}^{c}$ .

(e)

Для этой $\omega_{1\beta }$ имеем $\bar\lambda \left(\phi (\beta )_{\omega_{1\beta }}\right)>0$ ; отсюда существует точка $\omega_{2\beta }$ в $\phi (\beta )_{\omega_{1\beta }} \cap \left\{ \omega_{2\alpha }: \alpha \prec \beta \right\}^{c}$ .

(f)

Множество $\left\{ \left(\omega_{1\alpha }, \omega_{2\alpha }\right): \alpha \prec \beta \right\}$ имеет $\omega_{1}$ - и $\omega_{2}$ -сечения мощности не более одного.

Порядковое число $\beta \prec \xi$ было произвольным, следовательно, по трансфинитной индукции мы можем выполнить (c)–(f) для всех порядковых чисел $\alpha \prec \xi$ , получая пару $\left(\omega_{1\alpha }, \omega_{2\alpha }\right)$ , как описано выше, для каждого $\alpha \prec \xi$ . Пусть $S=\left\{ \left(\omega_{1\alpha }, \omega_{2\alpha }\right): \alpha \prec \xi \right\}$ .

(g)

$\operatorname {card}\left(S_{\omega_{1}}\right) \leqslant 1$ и $\operatorname {card}\left(S^{\omega_{2}}\right) \leqslant 1$ для каждого $\omega_{1} \in \Omega_{1}$ и $\omega_{2} \in \Omega_{2}$ .

(h)

$S \cap \phi (\alpha ) \neq \varnothing$ для каждого $\alpha \prec \xi$ .

(i)

Заключите, что $S \notin \overline{\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}}$ . (Каждое измеримое подмножество $\left[0,1\right] \times \left[0,1\right]$ положительной меры содержит некоторое $\phi (\alpha )$ .)

Задача 10.2.5

(a)(b)

Предположим, что $f: \Omega_{1} \rightarrow \left[0,+\infty \right]$ является $\mathcal{F}_{1} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой, и пусть $g: \Omega_{2} \rightarrow \left[0,+\infty \right]$ является $\mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой. Определим $h\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)=f\left(\omega_{1}\right) g\left(\omega_{2}\right)$ для каждого $\omega_{1} \in \Omega_{1}$ и $\omega_{2} \in \Omega_{2}$ .

?

(a)

$h: \Omega_{1} \times \Omega_{2} \rightarrow \left[0,+\infty \right]$ является $\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой.

(b)

$\int_{\Omega_{1} \times \Omega_{2}} h \, \mathrm{d} \mu_{1} \otimes \mu_{2}=\int_{\Omega_{1}} f \, \mathrm{d} \mu_{1} \int_{\Omega_{2}} g \, \mathrm{d} \mu_{2}$ .

Примечание.

?

Подсказка к части (b): используйте, конечно же, неотрицательную теорему Фубини. Неотрицательная теорема Фубини: пусть $f: \Omega_{1} \times \Omega_{2} \rightarrow \left[0,+\infty \right]$ является $\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой, где $\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1}\right)$ и $\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2}\right)$ — $\sigma$ -конечные пространства с мерой. Тогда $\int_{\Omega_{1} \times \Omega_{2}} f \mathrm{~ d} \mu_{1} \otimes \mu_{2}=\int_{\Omega_{1}} \int_{\Omega_{2}} f \mathrm{~ d} \mu_{2} \mathrm{~ d} \mu_{1}=\int_{\Omega_{2}} \int_{\Omega_{1}} f \mathrm{~ d} \mu_{1} \mathrm{~ d} \mu_{2}$ .

Задача 10.2.6

Предположим континуум-гипотезу. Пусть $\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1}\right)$ и $\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2}\right)$ совпадают с $\left(\left[0,1\right], \mathcal{L}, \bar\lambda \right)$ , где $\mathcal{L}$ обозначает лебеговы подмножества $\left[0,1\right]$ , а $\bar\lambda$ обозначает меру Лебега на лебеговых подмножествах $\left[0,1\right]$ .

?

(a)

Существует взаимно однозначное отображение $j$ множества $\left[0,1\right]$ на вполне упорядоченное множество $P_{\xi }$ — множество ординалов, предшествующих первому несчётному ординалу $\xi$ .

Пусть $E=\left\{ (x, y) \in \left[0,1\right] \times \left[0,1\right]: j(x) \prec j(y)\right\}$ .

(b)

Для каждого $x \in \left[0,1\right]$ множество $E_{x}$ содержит все, кроме не более чем счётного числа, точек $\left[0,1\right]$ .

(c)

Для каждого $y \in \left[0,1\right]$ множество $E^{y}$ содержит не более чем счётное число точек $\left[0,1\right]$ .

(d)

Пусть $f=\; \mathbb {1}_{E}$ . Тогда $f_{x}$ и $f^{y}$ борелевски измеримы для каждых $x, y \in \left[0,1\right]$ .

(e)

Имеем $\int_{\Omega_{2}} f_{x} \, \mathrm{d} \mu_{2}=1$ для каждого $x \in \left[0,1\right]$ и $\int_{\Omega_{1}} f^{y} \, \mathrm{d} \mu_{1}=0$ для каждого $y \in \left[0,1\right]$ .

(f)

$\int_{\Omega_{1}} \int_{\Omega_{2}} f \, \mathrm{d} \mu_{2} \mathrm{~ d} \mu_{1}=1 \neq 0=\int_{\Omega_{2}} \int_{\Omega_{1}} f \, \mathrm{d} \mu_{1} \mathrm{~ d} \mu_{2}$ .

(g)

Почему (f) не противоречит ни одной из теорем Фубини?

Задача 10.2.7

(a)(b)(c)(d)

Предположим, что $\mu_{1}\left(\Omega_{1}\right)=\mu_{2}\left(\Omega_{2}\right)=1$ . Пусть $A_{0} \in \mathcal{F}_{1}$ таково, что $\mu_{1}\left(A_{0}\right)=\frac{1}{2}$ , и пусть $B_{0} \in \mathcal{F}_{2}$ таково, что $\mu_{2}\left(B_{0}\right)=\frac{1}{2}$ . Определим $f=2\; \mathbb {1}_{\left(A_{0} \times \Omega_{2}\right) \triangle \left(\Omega_{1} \times B_{0}\right)}$ . Для каждого $E \in \mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}$ определим $\eta (E)=\int_{E} f \, \mathrm{d} \mu_{1} \otimes \mu_{2}$ .

?

(a)

$\eta$ является конечной мерой на $\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}$ .

(b)

Для каждого $A \in \mathcal{F}_{1}$ имеем $\eta \left(A \times \Omega_{2}\right)=\mu_{1}(A)=\mu_{1} \otimes \mu_{2}\left(A \times \Omega_{2}\right)$ .

(c)

Для каждого $B \in \mathcal{F}_{2}$ имеем $\eta \left(\Omega_{1} \times B\right)=\mu_{2}(B)=\mu_{1} \otimes \mu_{2}\left(\Omega_{1} \times B\right)$ .

(d)

Сделайте вывод, что произведение мер $\mu_{1} \otimes \mu_{2}$ не определяется однозначно своими значениями на множествах вида $A \times \Omega_{2}$ и $\Omega_{1} \times B$ , где $A \in \mathcal{F}_{1}$ и $B \in \mathcal{F}_{2}$ .

Задача 10.2.8

(a)(b)(c)

Рассмотрим $\sigma$ -конечные измеримые пространства $\left(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \bar\lambda \right)$ и $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ . Пусть $f$ обозначает неотрицательную $\mathcal{L} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримую функцию на $\Omega$ .

?

(a)

Множество $\left\{ (\omega , y) \in \Omega \times \mathbb {R}: 0 \leqslant y \leqslant f(\omega )\right\}$ принадлежит $\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}$ .

(b)

$\int_{\Omega } f \, \mathrm{d} \mu =\mu \otimes \bar\lambda \left(\left\{ (\omega , x) \in \Omega \times \mathbb {R}: 0 \leqslant x \leqslant f(\omega )\right\} \right)$ .

(c)

Свяжите (b) с «площадью под кривой».

Примечание.

?

Подсказка к части (a): определим $g(\omega , x) = f(\omega )$ для каждого $(\omega , x) \in \Omega \times \mathbb {R}$ . Покажите, что $g$ является $\mathcal{F} \otimes \mathcal{L} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой. Запишите данное множество как прообраз $\left[y,+\infty \right]$ при отображении $g$ .

Задача 10.2.9

Докажите полную теорему Фубини для интегрируемых функций (Integrable Complete Fubini Theorem).

?

Примечание.

?

Запишем $f=f^{+}-f^{-}$ и применим полную теорему Фубини для неотрицательных функций к $f^{+}$ и $f^{-}$ .

Полная теорема Фубини для неотрицательных функций: рассмотрим полные и $\sigma$ -конечные измеримые пространства $\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1}\right)$ и $\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2}\right)$ . Пусть $f: \Omega_{1} \times \Omega_{2} \rightarrow \left[0,+\infty \right]$ является $\overline{\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой. Тогда справедливо следующее: (i) для $\mu_{1}$ -почти всех $\omega_{1} \in \Omega_{1}$ отображение $\omega_{2} \mapsto f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$ является $\mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримым; (ii) для $\mu_{2}$ -почти всех $\omega_{2} \in \Omega_{2}$ отображение $\omega_{1} \mapsto f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$ является $\mathcal{F}_{1} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримым; (iii) отображение $\omega_{1} \mapsto \int_{\Omega_{2}} f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \mathrm{~ d} \mu_{2}\left(\omega_{2}\right)$ , определённое $\mu_{1}$ -почти всюду на $\Omega_{1}$ (в соответствии с (i)), является $\mathcal{F}_{1} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримым; (iv) отображение $\omega_{2} \mapsto \int_{\Omega_{1}} f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \mathrm{~ d} \mu_{1}\left(\omega_{1}\right)$ , определённое $\mu_{2}$ -почти всюду на $\Omega_{2}$ (в соответствии с (ii)), является $\mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримым; и (v)

\int _{\Omega _{1} \times \Omega _{2}} f\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right) \, \mathrm{d}\overline{\mu _{1} \otimes \mu _{2}}\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right)=\int _{\Omega _{1}} \int _{\Omega _{2}} f\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right) \, \mathrm{d} \mu _{2}\left(\omega _{2}\right) \mathrm{d} \mu _{1}\left(\omega _{1}\right)=\int _{\Omega _{2}} \int _{\Omega _{1}} f\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right) \, \mathrm{d} \mu _{1}\left(\omega _{1}\right) \mathrm{d} \mu _{2}\left(\omega _{2}\right) .

Полная теорема Фубини для интегрируемых функций: пусть $f: \Omega_{1} \times \Omega_{2} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ обозначает функцию, являющуюся $\overline{\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой и такую, что хотя бы один из интегралов $\int_{\Omega_{1} \times \Omega_{2}} \left|f\right| \, \mathrm{d}\overline{\mu_{1} \otimes \mu_{2}}$ , $\int_{\Omega_{1}} \int_{\Omega_{2}} \left|f\right| \, \mathrm{d} \mu_{2} \mathrm{d} \mu_{1}$ или $\int_{\Omega_{2}} \int_{\Omega_{1}} \left|f\right| \, \mathrm{d} \mu_{1} \mathrm{d} \mu_{2}$ конечен. Тогда $f \in L^{1}\left(\Omega_{1} \times \Omega_{2}, \overline{\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}}, \overline{\mu_{1} \otimes \mu_{2}}\right)$ , и все три интеграла конечны и равны между собой, причём, кроме того: (i) для $\mu_{1}$ -почти всех $\omega_{1} \in \Omega_{1}$ отображение $\omega_{2} \mapsto f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$ на $\Omega_{2}$ принадлежит $L^{1}\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2}\right)$ ; (ii) для $\mu_{2}$ -почти всех $\omega_{2} \in \Omega_{2}$ отображение $\omega_{1} \mapsto f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$ на $\Omega_{1}$ принадлежит $L^{1}\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1}\right)$ ; (iii) отображение $\omega_{1} \mapsto \int_{\Omega_{2}} f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \, \mathrm{d} \mu_{2}\left(\omega_{2}\right)$ , определённое $\mu_{1}$ -почти всюду на $\Omega_{1}$ , принадлежит $L^{1}\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1}\right)$ ; (iv) отображение $\omega_{2} \mapsto \int_{\Omega_{1}} f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \, \mathrm{d} \mu_{1}\left(\omega_{1}\right)$ , определённое $\mu_{2}$ -почти всюду на $\Omega_{2}$ , принадлежит $L^{1}\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2}\right)$ ; и (v) выполняется то же тройное равенство двойного и повторных интегралов, что и в полной теореме Фубини для неотрицательных функций.

Задача 10.2.10

(a)(b)

Пусть $\left\{ a_{ij}: i, j \in \mathbb {N}\right\}$ обозначает двойную последовательность неотрицательных чисел.

?

(a)

Выведите хорошо известный результат из курса математического анализа

\sum _{i,j \in \mathbb {N}} a_{ij}=\sum _{i=1}^{\infty } \sum _{j=1}^{\infty } a_{ij}=\sum _{j=1}^{\infty } \sum _{i=1}^{\infty } a_{ij}

связав его с схемой теоремы Фубини.

(b)

При каких условиях предыдущее равенство сохраняется, если числа $a_{ij}$ не обязательно неотрицательны?

Примечание.

?

Подсказка к части (a): пусть $\Omega_{1}=\Omega_{2}=\mathbb {N}$ , пусть $\mathcal{F}_{1}=\mathcal{F}_{2}=2^{\mathbb {N}}$ , и пусть $\mu_{1}=\mu_{2}$ обозначает считающую меру. Покажите, что $\mu_{1} \otimes \mu_{2}$ является считающей мерой на $\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}=2^{\mathbb {N} \times \mathbb {N}}$ . Определим $f: \Omega_{1} \times \Omega_{2} \rightarrow \left[0,+\infty \right]$ , положив $f(i,j)=a_{ij}$ . Тогда $\int_{\Omega_{1} \times \Omega_{2}} f \, \mathrm{d} \mu_{1} \otimes \mu_{2}=\sum_{i,j \in \mathbb {N}} a_{ij}$ и $\int_{\Omega_{1}} \int_{\Omega_{2}} f \, \mathrm{d} \mu_{2} \mathrm{d} \mu_{1}=\sum_{i=1}^{\infty } \sum_{j=1}^{\infty } a_{ij}$ .

Подсказка к части (b): перенесите условие конечности из теоремы Фубини для интегрируемых функций в данную схему.

Задача 10.2.11

Заключения теоремы Фубини для неотрицательных функций сохраняются, если вместо предположения, что оба пространства $\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1}\right)$ и $\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2}\right)$ $\sigma$ -конечны, мы предполагаем лишь, что множество $\left\{ \left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \in \Omega_{1} \times \Omega_{2}: f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \neq 0\right\}$ является $\sigma$ -конечным относительно $\mu_{1} \otimes \mu_{2}$ .

?

Задача 10.2.12

(a)(b)(c)

Пусть $\Omega_{1}=\Omega_{2}=\mathbb {N}$ , пусть $\mathcal{F}_{1}=\mathcal{F}_{2}=2^{\mathbb {N}}$ , и пусть $\mu_{1}=\mu_{2}$ обозначает считающую меру. Определим $f: \Omega_{1} \times \Omega_{2} \rightarrow \mathbb {R}$ , положив

f\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right)= \begin{cases} 2-2^{-\omega _{1}} & \omega _{1}=\omega _{2} \\ -2+2^{-\omega _{1}} & \omega _{1}=\omega _{2}+1 \\ 0 & \text{иначе} \end{cases}

для каждого $\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \in \Omega_{1} \times \Omega_{2}$ .

?

(a)

$\int_{\Omega_{1}} \int_{\Omega_{2}} f \, \mathrm{d} \mu_{2} \mathrm{~ d} \mu_{1}=0$ и $\int_{\Omega_{2}} \int_{\Omega_{1}} f \, \mathrm{d} \mu_{1} \mathrm{~ d} \mu_{2}=-\frac{1}{2}$ .

(b)

$\int_{\Omega_{1} \times \Omega_{2}} f \, \mathrm{d} \mu_{1} \otimes \mu_{2}$ не существует, поскольку оба интеграла

\int _{\Omega _{1} \times \Omega _{2}} f^{+} \, \mathrm{d} \mu _{1} \otimes \mu _{2}=\int _{\Omega _{1} \times \Omega _{2}} f^{-} \, \mathrm{d} \mu _{1} \otimes \mu _{2}=+\infty .

(c)

Имеем $\int_{\Omega_{1} \times \Omega_{2}} \left|f\right| \, \mathrm{d} \mu_{1} \otimes \mu_{2}=+\infty$ , следовательно, противоречия с теоремой Фубини для интегрируемых функций нет.

Примечание.

?

Имеем $\int_{\Omega_{2}} f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \, \mathrm{d} \mu_{2}\left(\omega_{2}\right)=\sum_{\omega_{2}=1}^{\infty } f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)=f\left(\omega_{1}, \omega_{1}\right)+f\left(\omega_{1}, \omega_{1}-1\right)=0$ для каждого $\omega_{1} \in \Omega_{1}$ , следовательно, $\int_{\Omega_{1}} \int_{\Omega_{2}} f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \, \mathrm{d} \mu_{2}\left(\omega_{2}\right) \mathrm{d} \mu_{1}\left(\omega_{1}\right)=\int_{\Omega_{1}} 0 \, \mathrm{d} \mu_{1}\left(\omega_{1}\right)=0$ . Далее, $\int_{\Omega_{1}} f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \, \mathrm{d} \mu_{1}\left(\omega_{1}\right)=\sum_{\omega_{1}=1}^{\infty } f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)=f\left(\omega_{2}, \omega_{2}\right)+f\left(\omega_{2}+1, \omega_{2}\right)=-\left(\frac{1}{2}\right)^{\omega_{2}+1}$ , следовательно, $\int_{\Omega_{2}} \int_{\Omega_{1}} f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \, \mathrm{d} \mu_{1}\left(\omega_{1}\right) \mathrm{d} \mu_{2}\left(\omega_{2}\right)=\sum_{\omega_{2}=1}^{\infty } -\left(\frac{1}{2}\right)^{\omega_{2}+1}=-\frac{1}{2}$ . Далее, имеем $\int_{\Omega_{1} \times \Omega_{2}} f^{+} \, \mathrm{d} \mu_{1} \otimes \mu_{2}=f(1,1)+f(2,2)+f(3,3)+\cdots =+\infty$ . Двойной интеграл от $f^{-}$ аналогично вычисляется как $f(2,1)+f(3,2)+f(4,3)+\cdots =+\infty$ .

Задача 10.2.13

Существует мера $\mu$ на $\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}$ такая, что $\mu (E \times F)=\phi (E,F)$ тогда и только тогда, когда $\phi (E, \cdot )$ является мерой на $\mathcal{F}_{2}$ для каждого $E \in \mathcal{F}_{1}$ , а $\phi (\cdot , F)$ является мерой на $\mathcal{F}_{1}$ для каждого $F \in \mathcal{F}_{2}$ .

?

Задача 10.2.14

Рассмотрим измеримое пространство $\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1}\right)$ с $\mu_{1}\left(\Omega_{1}\right)=1$ . Предположим, что для каждого $\omega_{1} \in \Omega_{1}$ пара $\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2,\omega_{1}}\right)$ является измеримым пространством с $\mu_{2,\omega_{1}}\left(\Omega_{2}\right)=1$ . Далее предположим, что для каждого $B \in \mathcal{F}_{2}$ отображение $\omega_{1} \mapsto \mu_{2,\omega_{1}}(B)$ на $\Omega_{1}$ является $\mathcal{F}_{1} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримым.

?

(a)

Если $E \in \mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}$ , то отображение $\omega_{1} \mapsto \mu_{2,\omega_{1}}\left(E_{\omega_{1}}\right)$ на $\Omega_{1}$ является $\mathcal{F}_{1} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримым.

(b)

Для каждого $E \in \mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}$ определим $\pi (E)=\int_{\Omega_{1}} \mu_{2,\omega_{1}}\left(E_{\omega_{1}}\right) \, \mathrm{d} \mu_{1}\left(\omega_{1}\right)$ . Тогда $\left(\Omega_{1} \times \Omega_{2}, \mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}, \pi \right)$ является измеримым пространством с $\pi \left(\Omega_{1} \times \Omega_{2}\right)=1$ .

(c)

Если $f: \Omega_{1} \times \Omega_{2} \rightarrow \left[0,+\infty \right]$ является $\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой, то отображение на $\Omega_{1}$ , заданное как $\omega_{1} \mapsto \int_{\Omega_{2}} f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \, \mathrm{d} \mu_{2,\omega_{1}}\left(\omega_{2}\right)$ , является $\mathcal{F}_{1} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримым.

(d)

Для $f$ из части (c) имеем

\int _{\Omega _{1} \times \Omega _{2}} f\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right) \, \mathrm{d} \pi \left(\omega _{1}, \omega _{2}\right)=\int _{\Omega _{1}} \int _{\Omega _{2}} f\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right) \, \mathrm{d} \mu _{2,\omega _{1}}\left(\omega _{2}\right) \mathrm{d} \mu _{1}\left(\omega _{1}\right) .

(e)

Сформулируйте аналогичные утверждения для (c) и (d) в случае, когда $f$ отображается в $\overline{\mathbb {R}}$ вместо $\left[0,+\infty \right]$ .

(f)

Пусть $\nu (B)=\int_{\Omega_{1}} \mu_{2,\omega_{1}}(B) \, \mathrm{d} \mu_{1}\left(\omega_{1}\right)$ для каждого $B \in \mathcal{F}_{2}$ . Тогда $\pi \left(\Omega_{1} \times B\right)=\nu (B)$ для каждого $B \in \mathcal{F}_{2}$ .

(g)

В условиях (f) имеем

\int _{\Omega _{2}} f\left(\omega _{2}\right) \, \mathrm{d} \nu \left(\omega _{2}\right)=\int _{\Omega _{1}} \int _{\Omega _{2}} f\left(\omega _{2}\right) \, \mathrm{d} \mu _{2,\omega _{1}}\left(\omega _{2}\right) \mathrm{d} \mu _{1}\left(\omega _{1}\right)

всякий раз, когда $f: \Omega_{2} \rightarrow \left[0,+\infty \right]$ является $\mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой.

(h)

Переделайте (g) для случая, когда $f$ не обязательно неотрицательна.

Примечание.

?

Данное упражнение является обобщением теорем Фубини. Чтобы убедиться в этом, заметьте, что равенство в (g) сводится к обычным формам, если $\mu_{2,\omega_{1}}$ не зависит от $\omega_{1}$ .

Задача 10.2.15

Пусть $\Omega_{1}$ обозначает множество, а $\mathcal{F}_{1}$ обозначает $\sigma$ -алгебру на $\Omega_{1}$ . Пусть $\mu$ и $\mu_{0}$ обозначают меры с областью определения $\mathcal{F}_{1}$ . Далее, пусть $\Omega_{2}$ обозначает множество, а $\mathcal{F}_{2}$ обозначает $\sigma$ -алгебру на $\Omega_{2}$ . Пусть $\nu$ и $\nu_{0}$ обозначают меры с областью определения $\mathcal{F}_{2}$ .

?

(a)

Если $\mu_{0} \ll \mu$ и $\nu_{0} \ll \nu$ , то $\mu_{0} \otimes \nu_{0} \ll \mu \otimes \nu$ .

(b)

Сохраним предположения из (a). Предположим, что $f_{0}$ является производной Радона-Никодима меры $\mu_{0}$ относительно $\mu$ , и предположим, что $g_{0}$ является производной Радона-Никодима меры $\nu_{0}$ относительно $\nu$ . Тогда $f_{0} g_{0}$ является производной Радона-Никодима меры $\mu_{0} \otimes \nu_{0}$ относительно $\mu \otimes \nu$ . В символах: $\frac{\mathrm{d} \mu_{0}}{\mathrm{d} \mu } \frac{\mathrm{d} \nu_{0}}{\mathrm{d} \nu }=\frac{\mathrm{d}\left(\mu_{0} \otimes \nu_{0}\right)}{\mathrm{d}\left(\mu \otimes \nu \right)}$ , $\mu \otimes \nu$ -почти всюду на $\Omega_{1} \times \Omega_{2}$ .

(c)

Предположим теперь, что $\mu_{0} \perp \mu$ или $\nu_{0} \perp \nu$ . Тогда $\mu_{0} \otimes \nu_{0} \perp \mu \otimes \nu$ .

(d)

Пусть $\eta_{1}$ и $\eta_{2}$ — $\sigma$ -конечные меры на $\mathcal{F}_{1}$ , а $\eta_{3}$ и $\eta_{4}$ обозначают $\sigma$ -конечные меры на $\mathcal{F}_{2}$ . Тогда

\left(\eta _{1}+\eta _{2}\right) \otimes \left(\eta _{3}+\eta _{4}\right)=\left(\eta _{1} \otimes \eta _{3}\right)+\left(\eta _{1} \otimes \eta _{4}\right)+\left(\eta _{2} \otimes \eta _{3}\right)+\left(\eta _{2} \otimes \eta _{4}\right) .

(e)

Запишем $\mu_{0}=\mu_{0,ac}+\mu_{0,s}$ как (единственное) разложение Лебега меры $\mu_{0}$ относительно $\mu$ ; запишем $\nu_{0}=\nu_{0,ac}+\nu_{0,s}$ как (единственное) разложение Лебега меры $\nu_{0}$ относительно $\nu$ . Покажите, что

\mu _{0} \otimes \nu _{0}=\left[\mu _{0,ac} \otimes \nu _{0,ac}\right]+\left[\left(\mu _{0,ac} \otimes \nu _{0,s}\right)+\left(\mu _{0,s} \otimes \nu _{0,ac}\right)+\left(\mu _{0,s} \otimes \nu _{0,s}\right)\right]

является (единственным) разложением Лебега меры $\mu_{0} \otimes \nu_{0}$ относительно $\mu \otimes \nu$ .

Примечание.

?

Подсказка к части (a): предположим, что $E \in \mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}$ таково, что $\mu \otimes \nu (E)=0$ . Тогда $0=\mu \otimes \nu (E)=\int_{\Omega_{1}} \nu \left(E_{\omega_{1}}\right) \, \mathrm{d} \mu_{1}\left(\omega_{1}\right)$ , следовательно, $\nu \left(E_{\omega_{1}}\right)=0$ для $\mu_{1}$ -почти всех $\omega_{1} \in \Omega_{1}$ . Таким образом, $\mu (A)=0$ , где $A=\left\{ \omega_{1} \in \Omega_{1}: \nu \left(E_{\omega_{1}}\right)>0\right\}$ ; предположение $\mu_{0} \ll \mu$ даёт также $\mu_{0}(A)=0$ . Предположение $\nu_{0} \ll \nu$ показывает, что для каждого $\omega_{1} \in A^{c}$ имеем $\nu_{0}\left(E_{\omega_{1}}\right)=0$ . Отсюда следует, что

\mu _{0} \otimes \nu _{0}(E)=\int _{\Omega _{1}} \nu _{0}\left(E_{\omega _{1}}\right) \, \mathrm{d} \mu _{0}\left(\omega _{1}\right)=\int _{A} \nu _{0}\left(E_{\omega _{1}}\right) \, \mathrm{d} \mu _{0}\left(\omega _{1}\right)+\int _{A^{c}} \nu _{0}\left(E_{\omega _{1}}\right) \, \mathrm{d} \mu _{0}\left(\omega _{1}\right)=0+0=0 .

Подсказка к части (b): пусть $A \in \mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}$ таково, что $\mu_{0} \otimes \nu_{0}(A)<+\infty$ . Пусть $f \in L^{1}\left(\Omega_{1} \times \Omega_{2}, \mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}, \mu_{0} \otimes \nu_{0}\right)$ . Сравнительно несложно проверить, что

\begin{aligned} \int _{\Omega _{1} \times \Omega _{2}} f\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right) \, \mathrm{d} \mu _{0} \otimes \nu _{0}(\omega ) & =\int _{\Omega _{1}} \int _{\Omega _{2}} f\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right) \, \mathrm{d} \nu _{0}\left(\omega _{2}\right) \mathrm{d} \mu _{0}\left(\omega _{1}\right) \\ & =\int _{\Omega _{1}} \int _{\Omega _{2}} f\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right) g_{0}\left(\omega _{2}\right) \, \mathrm{d} \nu \left(\omega _{2}\right) \mathrm{d} \mu _{0}\left(\omega _{1}\right) \\ & =\int _{\Omega _{1}} \int _{\Omega _{2}} f\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right) g_{0}\left(\omega _{2}\right) \, \mathrm{d} \nu \left(\omega _{2}\right) f_{0}\left(\omega _{1}\right) \, \mathrm{d} \mu \left(\omega _{1}\right) \\ & =\int _{\Omega _{1}} \int _{\Omega _{2}} f\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right) f_{0}\left(\omega _{1}\right) g_{0}\left(\omega _{2}\right) \, \mathrm{d} \nu \left(\omega _{2}\right) \mathrm{d} \mu \left(\omega _{1}\right) \\ & =\int _{\Omega _{1} \times \Omega _{2}} f\left(\omega _{1}, \omega _{2}\right) f_{0}\left(\omega _{1}\right) g_{0}\left(\omega _{2}\right) \, \mathrm{d} \mu \otimes \nu \left(\omega _{1}, \omega _{2}\right) . \end{aligned}

Последнее равенство требует показать, что отображение $\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \mapsto f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) f_{0}\left(\omega_{1}\right) g_{0}\left(\omega_{2}\right)$ на $\Omega_{1} \times \Omega_{2}$ является $\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримым. Для этого достаточно показать, что отображения $\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \mapsto f_{0}\left(\omega_{1}\right)$ и $\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \mapsto g_{0}\left(\omega_{2}\right)$ на $\Omega_{1} \times \Omega_{2}$ являются $\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримыми; это должно быть простым следствием того, что $f_{0}$ является $\mathcal{F}_{1} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой, а $g_{0}$ является $\mathcal{F}_{2} / \mathcal{B}^{*}$ -измеримой. Полагая $f=\; \mathbb {1}_{A}$ , получаем

\mu _{0} \otimes \nu _{0}(A)=\int _{A} f_{0}\left(\omega _{1}\right) g_{0}\left(\omega _{2}\right) \, \mathrm{d} \mu \otimes \nu \left(\omega _{1}, \omega _{2}\right) .

Таким образом, приведённое выше равенство выполняется для каждого $A \in \mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}$ с $\mu_{0} \otimes \nu_{0}(A)<+\infty$ . Используя $\sigma$ -конечность, несложно показать, что оно выполняется для каждого $A \in \mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}$ .

Подсказка к части (c): предположим, что $\mu_{0} \perp \mu$ . Найдём $B \in \mathcal{F}_{1}$ с $\mu (B)=0=\mu_{0}\left(B^{c}\right)$ . Имеем $\mu \otimes \nu \left(B \times \Omega_{2}\right)=0$ и $\mu_{0} \otimes \nu_{0}\left(\left(B \times \Omega_{2}\right)^{c}\right)=0$ , так что $\mu_{0} \otimes \nu_{0}$ и $\mu \otimes \nu$ имеют непересекающиеся носители.

Подсказка к части (d): прямое вычисление показывает, что мера в левой части совпадает с мерой в правой части на $\mathcal{F}_{1} \times \mathcal{F}_{2}$ . Следовательно, меры совпадают на $\mathcal{A}$ — поле конечных дизъюнктных объединений множеств из $\mathcal{F}_{1} \times \mathcal{F}_{2}$ . Используйте теорему единственности, чтобы показать, что меры в левой и правой частях совпадают на $\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}=\sigma (\mathcal{A})$ .

Подсказка к части (e): имеем $\mu_{0,ac} \ll \mu$ и $\nu_{0,ac} \ll \nu$ , следовательно, $\mu_{0,ac} \otimes \nu_{0,ac} \ll \mu \otimes \nu$ по (a). Поскольку $\mu_{0,s} \perp \mu$ , часть (c) даёт $\mu_{0,s} \otimes \nu_{0,ac} \perp \mu \otimes \nu$ и $\mu_{0,s} \otimes \nu_{0,s} \perp \mu \otimes \nu$ . Поскольку $\nu_{0,s} \perp \nu$ , имеем $\mu_{0,ac} \otimes \nu_{0,s} \perp \mu \otimes \nu$ . Отсюда следует, что $\left(\mu_{0,s} \otimes \nu_{0,ac}\right)+\left(\mu_{0,ac} \otimes \nu_{0,s}\right)+\left(\mu_{0,s} \otimes \nu_{0,s}\right) \perp \mu \otimes \nu$ . Используйте единственность разложения Лебега, чтобы завершить доказательство.

Теоремы Фубини