Произведения мер

Предположим, что $A \times B \neq \varnothing$. Тогда $A \times B \in \mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}$ тогда и только тогда, когда $A \in \mathcal{F}_{1}$ и $B \in \mathcal{F}_{2}$.

Предположим, что $A \times B=\varnothing$. Тогда очевидно, что $A \times B \in \mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}$, однако не всегда верно, что $A \in \mathcal{F}_{1}$ и $B \in \mathcal{F}_{2}$.

Пусть $A_{1} \times B_{1}$ и $A_{2} \times B_{2}$ оба непусты. Тогда $A_{1} \times B_{1} \subseteq A_{2} \times B_{2}$ тогда и только тогда, когда $A_{1} \subseteq A_{2}$ и $B_{1} \subseteq B_{2}$.

Пусть $A_{1} \times B_{1}$ и $A_{2} \times B_{2}$ оба непусты. Тогда $A_{1} \times B_{1}=A_{2} \times B_{2}$ тогда и только тогда, когда $A_{1}=A_{2}$ и $B_{1}=B_{2}$.

Пусть $A \times B, A_{1} \times B_{1}$ и $A_{2} \times B_{2}$ непусты. Тогда $A \times B$ является дизъюнктным объединением $A_{1} \times B_{1}$ и $A_{2} \times B_{2}$ тогда и только тогда, когда либо (i) $A$ является дизъюнктным объединением $A_{1}$ и $A_{2}$, а $B=B_{1}=B_{2}$, либо (ii) $A=A_{1}=A_{2}$, а $B$ является дизъюнктным объединением $B_{1}$ и $B_{2}$.

Части «только если» пунктов (a) и (b) не обязательно выполняются для пустых декартовых произведений. Что можно сказать о пункте (c)?

$E \in \mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}$.

$\int_{\Omega_{1}} \mu_{2}\left(E_{\omega_{1}}\right) \mathrm{d} \mu_{1}\left(\omega_{1}\right)=1$.

$\int_{\Omega_{2}} \mu_{1}\left(E^{\omega_{2}}\right) \mathrm{d} \mu_{2}\left(\omega_{2}\right)=0$.

Предположим, что существует непустое $A \in \mathcal{F}_{1}$ с $\mu_{1}(A)=0$; предположим также, что существует $B \subseteq \Omega_{2}$ с $B \notin \mathcal{F}_{2}$ (т.е. $\mathcal{F}_{2} \neq 2^{\Omega_{2}}$). Тогда $\left(\Omega_{1} \times \Omega_{2}, \mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}, \mu_{1} \otimes \mu_{2}\right)$ не является полным пространством с мерой.

В качестве частного случая можно сказать, что хотя оба пространства $\left(\mathbb {R}^{k}, \mathscr {L}^{k}, \bar\lambda_{k}\right)$ и $\left(\mathbb {R}^{m}, \mathscr {L}^{m}, \bar\lambda_{m}\right)$ полны, пространство с мерой-произведением $\left(\mathbb {R}^{k+m}, \mathscr {L}^{k} \otimes \mathscr {L}^{m}, \bar\lambda_{k} \otimes \bar\lambda_{m}\right)$ не является полным. Приведите ещё одно доказательство того, что пополнением $\left(\mathbb {R}^{k+m}, \mathscr {L}^{k} \otimes \mathscr {L}^{m}, \bar\lambda_{k} \otimes \bar\lambda_{m}\right)$ является $\left(\mathbb {R}^{k+m}, \mathscr {L}^{k+m}, \bar\lambda_{k+m}\right)$, а именно $\overline{\mathscr {L}^{k} \otimes \mathscr {L}^{m}}=\mathscr {L}^{k+m}$ и $\overline{\bar\lambda_{k} \otimes \bar\lambda_{m}}=\bar\lambda_{k+m}$.

Предположим, что $f: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ такова, что $f_{x}$ является $\mathscr {B} / \mathcal{B}^{*}$-измеримой для каждого $x \in \mathbb {R}$, а $f^{y}$ непрерывна для каждого $y \in \mathbb {R}$. Тогда $f$ является $\mathscr {B}^{2} / \mathcal{B}^{*}$-измеримой.

Предположим, что $f: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна по каждому из своих $k$ аргументов по отдельности. (То есть для любых $x_{2}, \ldots , x_{k} \in \mathbb {R}$ отображение $x_{1} \mapsto f\left(x_{1}, \ldots , x_{k}\right)$ непрерывно; для любых $x_{1}, x_{3}, \ldots , x_{k} \in \mathbb {R}$ отображение $x_{2} \mapsto f\left(x_{1}, x_{3}, \ldots , x_{k}\right)$ непрерывно, и так далее.) Тогда $f$ является $\mathscr {B}^{k} / \mathcal{B}^{*}$-измеримой.

Пусть $E$ обозначает плотное подмножество $\mathbb {R}$, и пусть $f: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ такова, что $f_{x}$ является $\mathscr {L} / \mathcal{B}^{*}$-измеримой для каждого $x \in E$, а $f^{y}$ непрерывна для $\bar\lambda$-п.в. $y \in \mathbb {R}$. Тогда $f$ является $\mathscr {L}^{2} / \mathcal{B}^{*}$-измеримой.

Не обязательно $\overline{\mathcal{F}_{1}} \otimes \overline{\mathcal{F}_{2}}$ совпадает с $\overline{\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}}$ (хотя первое всегда содержится во втором), однако всегда выполняется $\overline{\overline{\mathcal{F}_{1}} \otimes \overline{\mathcal{F}_{2}}}=\overline{\mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}}$.

$\overline{\bar\mu_{1} \otimes \bar\mu_{2}}=\overline{\mu_{1} \otimes \mu_{2}}$.