Банк задач по математике

Задача 9.2.1

Пусть $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb {C}$ . Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

A(z_1,z_2,z_3) = \begin{pmatrix} z_1 & z_2 \\ z_3 & 0 \end{pmatrix}.

Вычислите $\mathrm{exp}\left(A(z_1,z_2,z_3)\right)$ .

?

Задача 9.2.2

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Вычислите вектор в $\mathbb {R}^{2}$

\exp \left(\alpha \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}

двумя различными способами. Сравните и обсудите.

?

Задача 9.2.3

(i)(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ .

?

(i)

Покажите, что

[e^A,e^B] = e^Ae^B - e^Be^A = \sum _{j,k=1}^{\infty } \frac{1}{j!k!}[A^j,B^k].

(ii)

Предположим, что для всех собственных значений $\lambda$ выполнено $\Re (\lambda ) < 0$ . Пусть $B$ — произвольная матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть

R(t) := \int _0^{\infty } e^{tA^*}Be^{tA}dt.

Покажите, что матрица $R$ удовлетворяет $R(t)A + A^*R(t) = -B$ .

Задача 9.2.4

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Верно ли, что $\operatorname {tr}(e^A \otimes e^B) = \operatorname {tr}(e^{A \otimes B})$ ? Докажите или опровергните.

?

Задача 9.2.5

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A_1, A_2, \ldots , A_p$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Обобщённая формула Троттера задаётся как

\exp \left(\sum _{j=1}^{n} A_j\right) = \lim _{n \to \infty } f_n(\left\{ A_j\right\} ) \tag {1}

где $n$ -й аппроксимант $f_n(\left\{ A_j\right\} )$ определяется как

f_n(\left\{ A_j\right\} ) := \left(\exp \left(\frac{1}{n}A_1\right)\exp \left(\frac{1}{n}A_2\right) \cdots \exp \left(\frac{1}{n}A_p\right)\right)^n.

Пусть $p = 2$ и

A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Вычислите левую и правую части (1).

(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с $A^2 = B^2 = I_n$ и $[A,B]_+ = 0_n$ . Пусть $z \in \mathbb {C}$ . Формула Ли-Троттера задаётся как

\exp (z(A+B)) = \lim _{p \to \infty } \left(e^{zA/p}e^{zB/p}\right)^p.

Вычислите $e^{z(A+B)}$ , используя правую часть. Заметьте, что

e^{zA/p} = I_n\cosh (z/p) + A\sinh (z/p), \qquad e^{zB/p} = I_n\cosh (z/p) + B\sinh (z/p).

Задача 9.2.6

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ такие, что $AB = BA$ . Покажите, что

\cos (A+B) \equiv \cos (A)\cos (B) - \sin (A)\sin (B).

(ii)

Пусть $x, y \in \mathbb {R}$ . Известно, что $\sin (x+y) \equiv \sin (x)\cos (y) + \cos (x)\sin (y)$ . Пусть

C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Верно ли, что $\sin (C+D) = \sin (C)\cos (D) + \cos (C)\sin (D)$ ? Докажите или опровергните.

Задача 9.2.7

(i)(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Преобразование Лапласа $\mathcal{L}$ матричной экспоненты — это резольвента

\mathcal{L}(e^{tA}) = (\lambda I_n - A)^{-1}.

?

(i)

Вычислите $\mathcal{L}(e^{tA} \otimes e^{tB})$ .

(ii)

Пусть $\mathcal{L}^{-1}$ — обратное преобразование Лапласа. Найдите

\mathcal{L}^{-1}((\lambda I_n-A)^{-1} \otimes (\lambda I_n-B)^{-1}).

Задача 9.2.8

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ . Характеристический многочлен

\operatorname {det}\left(\lambda I_n - A\right) = \lambda ^n + a_1\lambda ^{n-1} + \cdots + a_n = p(\lambda )

тесно связан с резольвентой $(\lambda I_n - A)^{-1}$ формулой

(\lambda I_n - A)^{-1} = \frac{N_1\lambda ^{n-1}+N_2\lambda ^{n-2}+\cdots +N_n}{\lambda ^n+a_1\lambda ^{n-1}+\cdots +a_n} = \frac{N(\lambda )}{p(\lambda )}

где присоединённая матрица $N(\lambda )$ является многочленом от $\lambda$ степени $n-1$ с постоянными матрицами коэффициентов $N_1,\ldots ,N_n$ размера $n \times n$ . Преобразование Лапласа матричной экспоненты — это резольвента

\mathcal{L}(e^{tA}) = (\lambda I_n - A)^{-1}.

Матрицы $N_k$ и коэффициенты $a_k$ можно вычислить рекурсивно следующим образом

N_1 = I_n, \qquad a_1 = -\frac{1}{1}\operatorname {tr}(AN_1)

N_2 = AN_1 + a_1I_n, \qquad a_2 = -\frac{1}{2}\operatorname {tr}(AN_2)

N_n = AN_{n-1} + a_{n-1}I_n, \qquad a_n = -\frac{1}{n}\operatorname {tr}(AN_n)

0_n = AN_n + a_nI_n.

Покажите, что

\operatorname {tr}(\mathcal{L}(e^{tA})) = \frac{1}{p(\lambda )}\frac{dp(\lambda )}{d\lambda }.

?

Задача 9.2.9

Пусть $A$ — произвольная матрица размера $n \times n$ . Можно ли заключить, что $\mathrm{exp}\left(A^*\right) = (\mathrm{exp}\left(A\right))^*$ ?

?

Задача 9.2.10

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $A$ эрмитова, т.е. $A^* = A$ . Тогда $A$ имеет только вещественные собственные значения. Предположим, что $A^5+A^3+A = 3I_n$ . Покажите, что $A = I_n$ .

?

Задача 9.2.11

Пусть $A$ , $B$ — эрмитовы матрицы размера $n \times n$ . Существуют унитарные матрицы $U$ и $V$ размера $n \times n$ (зависящие от $A$ и $B$ ) такие, что

\mathrm{exp}\left(iA\right)\mathrm{exp}\left(iB\right) = \mathrm{exp}\left(iUAU^{-1}+iVBV^{-1}\right).

Рассмотрим $n = 2$ и

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \; \Rightarrow \; [A,B] = \sqrt{2} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите $U$ и $V$ . Заметьте, что $A$ и $B$ также унитарны.

?

Задача 9.2.12

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ такие, что $[A,B] = A$ . Что можно сказать о коммутаторе $[e^A,e^B]$ ?

?

Задача 9.2.13

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A$ — нильпотентная матрица размера $n \times n$ . Является ли матрица $\cos (A)$ обратимой?

(ii)

Пусть $N$ — нильпотентная матрица размера $n \times n$ с $N^j = 0_n$ при $j \geq 1$ . Верно ли, что

\ln (I_n-N) = -\left(N+\frac{1}{2}N+\cdots +\frac{1}{j-1}N^{j-1}\right)

и $\exp (\ln (I_n-N)) = I_n-N$ .

Задача 9.2.14

Пусть $H = H_1+H_2+H_3$ , где $H_1$ , $H_2$ , $H_3$ — эрмитовы матрицы размера $n \times n$ . Покажите, что

e^{-\beta H} = e^{-\beta H_1/2}e^{-\beta H_2/2}e^{-\beta H_3}e^{-\beta H_2/2}e^{-\beta H_1/2} + \left(-\frac{1}{2}\beta \right)^3 S

где

S = \frac{1}{6}([[H_2+H_3,H_1],H_1+2H_2+2H_3] + [[H_3,H_2],H_2+H_3]).

?

Задача 9.2.15

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Пусть $r$ , $s$ — целые числа с $r \geq 2$ и $s \geq 2$ . Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ с $A^r = 0_n$ и $B^s = 0_n$ . Вычислите $\mathrm{exp}\left(A \otimes B\right)$ .

(ii)

Пусть $A$ , $B$ — базис (заданный матрицами размера $n \times n$ ) некоммутативной двумерной алгебры Ли с $[A,B] = A$ . Вычислите $\exp (A \otimes I_n+I_n \otimes A+B \otimes B)$ .

(iii)

Пусть $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ — базис (заданный матрицами размера $n \times n$ ) алгебры Ли с коммутационными соотношениями

[X_1,X_2] = 0_n, \qquad [X_1,X_3] = X_1, \qquad [X_2,X_3] = 0_n.

Вычислите $\exp (X_1+X_2+X_3)$ и

\exp (X_1 \otimes I_n \otimes I_n+I_n \otimes X_2 \otimes I_n+I_n \otimes I_n \otimes X_3+X_1 \otimes X_2 \otimes X_3).

Задача 9.2.16

Рассмотрим матрицу $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3+B, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Вычислите $\mathrm{exp}\left(A\right)$ , используя $e^A = e^{I_3}e^B$ .

?

Задача 9.2.17

Пусть $z \in \mathbb {C}$ . Постройте все матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$ над $\mathbb {C}$ такие, что

\mathrm{exp}\left(zA\right)B\mathrm{exp}\left(-zA\right) = e^{-z}B.

?

Задача 9.2.18

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Рассмотрим ряд Тейлора

(I_n+A)^{1/2} = I_n+\frac{1}{2}A-\frac{1}{2 \cdot 4}A^2+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 6}A^3-\cdots

и

(I_n+A)^{-1/2} = I_n-\frac{1}{2}A+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}A^2-\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}A^3+\cdots

Каково условие (на норму) для $A$ , при котором эти ряды Тейлора существуют? Можно ли применить его к матрице

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}?

Заметьте, что при $n=1$ мы имеем условие $-1 < A \leq +1$ .

?

Задача 9.2.19

Пусть $U$ — унитарная матрица размера $n \times n$ . Пусть $H = U+U^*$ . Вычислите $\mathrm{exp}\left(zH\right)$ .

?

Задача 9.2.20

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ и $\mathrm{exp}\left(A\right)\mathrm{exp}\left(B\right) = \mathrm{exp}\left(C\right)$ . Тогда матрица $C$ может быть представлена в виде бесконечного ряда коммутаторов $A$ и $B$ . Пусть $z \in \mathbb {C}$ . Запишем

\exp (zA)\exp (zB) = \exp (C(zA,zB))

где

C(zA,zB) = \sum _{j=1}^{\infty } c_j(A,B)z^j.

Покажите, что разложение до четвёртого порядка задаётся выражениями

c_1(A,B) = A+B, \qquad c_2(A,B) = \frac{1}{2}[A,B],

c_3(A,B) = \frac{1}{12}[A,[A,B]] - \frac{1}{12}[B,[A,B]], \qquad c_4(A,B) = -\frac{1}{24}[A,[B,[A,B]]].

?

Задача 9.2.21

Пусть $A_1, \ldots , A_m$ — матрицы размера $n \times n$ . Покажите, что

e^{A_1} \cdots e^{A_m} = \exp \left(\frac{1}{2}\sum _{j<k}[A_j,A_k]\right)\exp (A_1+\cdots +A_m)

если матрицы $A_j$ ( $j=1,\ldots ,m$ ) удовлетворяют условию

[[A_j,A_k],A_\ell ] = 0_n \quad \text{для всех } j,k,\ell \in \left\{ 1,\ldots ,m\right\} .

?

Задача 9.2.22

Пусть $A$ , $B$ , $C$ — положительно полуопределённые матрицы размера $n \times n$ . Определим

A \circ B := A^{1/2}BA^{1/2}

где $A^{1/2}$ обозначает единственный положительный квадратный корень из $A$ . Верно ли, что $A \circ (B \circ C) = (A \circ B) \circ C$ ? Докажите или опровергните.

?

Задача 9.2.23

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $\sigma_1$ — спиновая матрица Паули. Покажите, что

\exp \left(-\frac{1}{2}i\pi (\sigma _1-I_2)\right) = \sigma _1.

(ii)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ и $c \in \mathbb {C}$ такие, что $\exp (c(A-I_2)) = A$ . Заметьте, что

\exp (c(A-I_2)) = \exp (cA)\exp (-cI_2) = \exp (cA) \begin{pmatrix} e^{-c} & 0 \\ 0 & e^{-c} \end{pmatrix}.

Задача 9.2.24

Пусть $A$ , $B$ — вещественные симметричные положительно определённые матрицы. Покажите, что

\frac{1}{\operatorname {det}\left(A\right)}\operatorname {det}\left(A+B\right) \leq \mathrm{exp}\left(\operatorname {tr}(A^{-1}B)\right).

?

Задача 9.2.25

Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Пусть $I_n - \epsilon A$ — положительно определённая матрица. Покажите, что

\exp (\operatorname {tr}(\ln (I_n-\epsilon A))) = \operatorname {det}\left(I_n-\epsilon A\right)

используя тождество $\operatorname {det}\left(e^M\right) \equiv \mathrm{exp}\left(\operatorname {tr}(M)\right)$ .

?

Задача 9.2.26

Пусть $\overrightarrow {v}$ — нормированный (столбцовый) вектор в $\mathbb {C}^{n}$ , и пусть $A$ — эрмитова матрица размера $n \times n$ . Верно ли, что $\overrightarrow {v}^*\mathrm{exp}\left(A\right)\overrightarrow {v} \geq \mathrm{exp}\left(\overrightarrow {v}^*A\overrightarrow {v}\right)$ для всех нормированных $\overrightarrow {v}$ ? Докажите или опровергните.

?

Задача 9.2.27

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Найдите

\lim _{\epsilon \to 0} \frac{\sinh (2\epsilon A)}{\sinh (\epsilon )}.

(ii)

Предположим, что $A^2 = I_n$ . Вычислите

\frac{\sinh (2\epsilon A)}{\sinh (\epsilon )}.

(iii)

Предположим, что $A^2 = 0_n$ . Вычислите

\frac{\sinh (2\epsilon A)}{\sinh (\epsilon )}.

Используйте разложение

\sinh (2\epsilon A) = 2\epsilon A + \frac{(2\epsilon )^3}{3!}A^3 + \cdots .

Задача 9.2.28

Пусть $\alpha > 0$ . Рассмотрим матрицу $4 \times 4$

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & i/\alpha \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ \alpha i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Покажите, что $\exp (\pi A(\alpha )) = -I_4$ .

?

Задача 9.2.29

Пусть $V$ — матрица $2 \times 2$ вида $V = v_0I_2+v_1\sigma_1+v_2\sigma_2+v_3\sigma_3$ , где $v_0, v_1, v_2, v_3 \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим уравнение

\exp (i\epsilon V) = (I_2-iW)(I_2+iW)^{-1}

где $\epsilon$ вещественно. Покажите, что $W$ как функция от $V$ задаётся выражением

W = -\tan \left(\frac{1}{2}\epsilon (v_0I_2+v_1\sigma _1+v_2\sigma _2+v_3\sigma _3)\right).

?

Задача 9.2.30

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ . Покажите, что

e^{A \otimes I_n+I_n \otimes A}e^{B \otimes I_n+I_n \otimes B} = (e^A \otimes e^B)(e^B \otimes e^B) = (e^Ae^B) \otimes (e^Ae^B).

?

Задача 9.2.31

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ и $\Pi$ — матрица проектирования размера $n \times n$ . Пусть $Q = \Pi^{1/2}$ — квадратный корень из $\Pi$ , т.е. $Q^2 = \Pi$ . Покажите, что

U(\alpha ) = \exp (i\alpha \Pi ^{1/2}) = I_n + i\alpha \Pi ^{1/2} + (\cos (\alpha )-1)\Pi + i(\sin (\alpha )-\alpha )\Pi \Pi ^{1/2}.

?

Задача 9.2.32

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Тогда имеет место разложение Тейлора

\sin (A) := \sum _{k=0}^{\infty } \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}A^{2k+1}, \qquad \cos (A) := \sum _{k=0}^{\infty } \frac{(-1)^k}{(2k)!}A^{2k}.

Вычислять $\sin (A)$ и $\cos (A)$ по усечённому ряду Тейлора имеет смысл только вблизи начала координат. Можно использовать многократное применение формулы двойного угла

\cos (2A) \equiv 2\cos ^2(A) - I_n, \qquad \sin (2A) \equiv 2\sin (A)\cos (A).

Найти $\sin (A)$ и $\cos (A)$ для матрицы $A$ по подходяще усечённым приближениям ряда Тейлора можно следующим образом

S_0 = \text{приближение Тейлора для } \sin (A/2^k), \qquad C_0 = \text{приближение Тейлора для } \cos (A/2^k)

и рекурсии

S_j = 2S_{j-1}C_{j-1}, \qquad C_j = 2C_{j-1}^2 - I_n

где $j = 1,2,\ldots$ . Здесь $k$ — положительное целое число, выбранное так, что, скажем, $\left\| A\right\|_{\infty } \approx 2^k$ . Примените эту рекурсию для вычисления синуса и косинуса матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.

Используйте $k=2$ .

?

Задача 9.2.33

Пусть $T$ — матрица $2 \times 2$

T = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Вычислите $\ln (\operatorname {det}\left(I_2-T\right))$ , используя правую часть тождества

\ln (\operatorname {det}\left(I_2-T\right)) \equiv -\sum _{k=1}^{\infty } \frac{1}{k}\operatorname {tr}(T^k).

?

Дополнительные задачи