Банк задач по математике

Задача 9.1.1

Рассмотрим ненормальную матрицу $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

Вычислите $A^n$ , где $n \in \mathbb {N}$ .

?

Задача 9.1.2

Рассмотрим матрицу $2 \times 2$ $A = (a_{jk})$ над комплексными числами. Найдите $\mathrm{exp}\left(A\right)$ .

?

Задача 9.1.3

(i)(ii)

?

(i)

Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 0 & a_{22} \end{pmatrix}.

Найдите $\mathrm{exp}\left(tA\right)$ .

(ii)

Пусть $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ и

M(\alpha ,\beta ) = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \end{pmatrix}.

Вычислите $\mathrm{exp}\left(M(\alpha ,\beta )\right)$ .

Задача 9.1.4

Рассмотрим унитарную матрицу $2 \times 2$

U = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Можем ли мы найти $\alpha \in \mathbb {R}$ такое, что $U = \mathrm{exp}\left(\alpha A\right)$ , где

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}?

?

Задача 9.1.5

(i)(ii)

Пусть $H$ — эрмитова матрица, т.е. $H = H^*$ . Тогда $U := e^{iH}$ — унитарная матрица. Пусть

H = \begin{pmatrix} a & b \\ \overline{b} & a \end{pmatrix}, \qquad a \in \mathbb {R}, \; b \in \mathbb {C}

с $b \neq 0$ .

?

(i)

Вычислите $e^{iH}$ , используя нормированные собственные векторы матрицы $H$ для построения унитарной матрицы $V$ такой, что $V^*HV$ является диагональной матрицей.

(ii)

Укажите $a$ , $b$ такие, чтобы получить унитарную матрицу

U = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Задача 9.1.6

Пусть $z \in \mathbb {C}$ . Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Будем говорить, что $B$ инвариантна относительно $A$ , если

e^{zA}Be^{-zA} = B.

Очевидно, $e^{-zA}$ является обратной матрицей к $e^{zA}$ . Покажите, что если это условие выполнено, то $[A,B] = 0_n$ . Если бы $e^{zA}$ была унитарной, мы имели бы $UBU^* = B$ .

?

Задача 9.1.7

(i)(ii)(iii)

Пусть $z \in \mathbb {C}$ .

?

(i)

Рассмотрим матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.

Вычислите $\mathrm{exp}\left(zA\right)$ , $\mathrm{exp}\left(-zA\right)$ и $\mathrm{exp}\left(zA\right)B\mathrm{exp}\left(-zA\right)$ . Вычислите коммутатор $[A,B]$ .

(ii)

Рассмотрим матрицы $2 \times 2$

C = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} d_{11} & d_{12} \\ -d_{12} & d_{11} \end{pmatrix}.

Вычислите $\mathrm{exp}\left(zC\right)$ , $\mathrm{exp}\left(-zC\right)$ и $\mathrm{exp}\left(zC\right)D\mathrm{exp}\left(-zC\right)$ . Вычислите коммутатор $[C,D]$ .

(iii)

Рассмотрим матрицы $2 \times 2$

E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad F = \begin{pmatrix} f_{11} & f_{12} \\ 0 & f_{11} \end{pmatrix}.

Вычислите $\mathrm{exp}\left(zE\right)$ , $\mathrm{exp}\left(-zE\right)$ и $\mathrm{exp}\left(zE\right)F\mathrm{exp}\left(-zE\right)$ . Вычислите коммутатор $[E,F]$ .

Задача 9.1.8

Пусть $\sigma_1$ , $\sigma_2$ , $\sigma_3$ — матрицы Паули. Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

U(\alpha ,\beta ,\gamma ) = e^{-i\alpha \sigma _3/2}e^{-i\beta \sigma _2/2}e^{-i\gamma \sigma _3/2}

где $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ — три угла Эйлера с диапазоном $0 \leq \alpha < 2\pi$ , $0 \leq \beta \leq \pi$ и $0 \leq \gamma < 2\pi$ . Покажите, что

U(\alpha ,\beta ,\gamma ) = \begin{pmatrix} e^{-i\alpha /2}\cos (\beta /2)e^{-i\gamma /2} & -e^{-i\alpha /2}\sin (\beta /2)e^{i\gamma /2} \\ e^{-i\alpha /2}\sin (\beta /2)e^{-i\gamma /2} & e^{i\alpha /2}\cos (\beta /2)e^{i\gamma /2} \end{pmatrix}. \tag {1}

?

Задача 9.1.9

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим симметричную матрицу $3 \times 3$

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \alpha \\ 0 & 0 & 0 \\ \alpha & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите $\mathrm{exp}\left(A(\alpha )\right)$ .

(ii)

Рассмотрим матрицу $3 \times 3$

B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Найдите $\mathrm{exp}\left(\alpha B\right)$ .

(iii)

Пусть $a_{12}, a_{13}, a_{23} \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим кососимметричную матрицу $3 \times 3$

A(a_{12},a_{13},a_{23}) = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0 \end{pmatrix}.

Найдите $\mathrm{exp}\left(A\right)$ .

Задача 9.1.10

(i)(ii)

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с $A^2 = rA$ , где $r \in \mathbb {C}$ и $r \neq 0$ .

?

(i)

Вычислите $e^{zA}$ , где $z \in \mathbb {C}$ .

(ii)

Пусть $U(z) = e^{zA}$ . Пусть $z' \in \mathbb {C}$ . Вычислите $U(z)U(z')$ .

Задача 9.1.11

Можно ли найти матрицу $2 \times 2$ $B$ над вещественными числами $\mathbb {R}$ такую, что

\sin (B) = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}? \tag {1}

?

Задача 9.1.12

(i)(ii)

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $A^2 = cI_n$ , где $c \in \mathbb {R}$ .

?

(i)

Вычислите $\mathrm{exp}\left(A\right)$ .

(ii)

Примените результат к матрице $2 \times 2$ ( $z \neq 0$ )

B = \begin{pmatrix} 0 & z \\ -\overline{z} & 0 \end{pmatrix}.

Таким образом, $B$ косоэрмитова, т.е. $\overline{B}^T = -B$ .

Задача 9.1.13

(i)(ii)

Для любой матрицы $A$ размера $n \times n$ имеет место тождество

\operatorname {det}\left(\mathrm{exp}\left(A\right)\right) \equiv \mathrm{exp}\left(\operatorname {tr}(A)\right).

?

(i)

Любую унитарную матрицу $U$ размера $n \times n$ можно записать в виде $U = \mathrm{exp}\left(iK\right)$ , где $K$ — эрмитова матрица. Предположим, что $\operatorname {det}\left(U\right) = -1$ . Что можно сказать о следе матрицы $K$ ?

(ii)

Пусть

A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 7 & -2 \end{pmatrix}.

Вычислите $\operatorname {det}\left(\mathrm{exp}\left(A\right)\right)$ .

Задача 9.1.14

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ . Тогда $\mathrm{exp}\left(A\right)$ можно также вычислить как

e^A = \lim _{m \to \infty } \left(I_n + \frac{A}{m}\right)^m.

Используя это определение, покажите, что $\operatorname {det}\left(\mathrm{exp}\left(A\right)\right) \equiv \mathrm{exp}\left(\operatorname {tr}(A)\right)$ .

?

Задача 9.1.15

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ . Тогда имеет место тождество

\operatorname {det}\left(e^Ae^Be^{-A}e^{-B}\right) \equiv \mathrm{exp}\left(\operatorname {tr}([A,B])\right).

Покажите, что $\operatorname {det}\left(e^Ae^Be^{-A}e^{-B}\right) = 1$ .

?

Задача 9.1.16

Ряд Маклорена для $\arctan (z)$ определяется как

\arctan (z) = z - \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{5} - \frac{z^7}{7} + \cdots = \sum _{j=0}^{\infty } \frac{(-1)^j z^{2j+1}}{2j+1}

который сходится для всех комплексных значений $z$ с абсолютной величиной меньше 1, т.е. $\left|z\right| < 1$ . Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ . Тогда разложение в ряд

\arctan (A) = A - \frac{A^3}{3} + \frac{A^5}{5} - \frac{A^7}{7} + \cdots = \sum _{j=0}^{\infty } \frac{(-1)^j A^{2j+1}}{2j+1}

корректно определено для $A$ , если все собственные значения $\lambda$ матрицы $A$ удовлетворяют условию $\left|\lambda \right| < 1$ . Пусть

A = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Существует ли $\arctan (A)$ ?

?

Задача 9.1.17

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что

[A,[A,B]] = [B,[A,B]] = 0_n. \tag {1}

Покажите, что

e^{A+B} = e^A e^B e^{-\frac{1}{2}[A,B]} \tag {2a}

e^{A+B} = e^B e^A e^{+\frac{1}{2}[A,B]}. \tag {2b}

Используйте метод дифференцирования по параметру, т.е. рассмотрите матричнозначную функцию

f(\epsilon ) := e^{\epsilon A}e^{\epsilon B}

где $\epsilon$ — вещественный параметр. Затем возьмите производную $f$ по $\epsilon$ .

?

Задача 9.1.18

(i)(ii)

Пусть $A$ , $B$ , $C_2$ , , $C_m$ , — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Формула Цассенхауза задаётся как

\mathrm{exp}\left(A+B\right) = \mathrm{exp}\left(A\right)\mathrm{exp}\left(B\right)\mathrm{exp}\left(C_2\right) \cdots \mathrm{exp}\left(C_m\right) \cdots .

Левая часть называется распутанной формой, а правая часть — запутанной формой. Найдите $C_2, C_3, \ldots$ , используя метод сравнения. В методе сравнения распутанная и запутанная формы разлагаются по степеням упорядочивающего скаляра $\alpha$ , и сравниваются матричные коэффициенты при равных степенях $\alpha$ . Из

\exp (\alpha (A+B)) = \exp (\alpha A)\exp (\alpha B)\exp (\alpha ^2 C_2)\exp (\alpha ^3 C_3) \cdots

мы получаем

\sum _{k=0}^{\infty } \frac{\alpha ^k}{k!}(A+B)^k = \sum _{r_0,r_1,r_2,r_3,\ldots =0}^{\infty } \frac{\alpha ^{r_0+r_1+2r_2+3r_3+\ldots }}{r_0!r_1!r_2!r_3!\cdots } A^{r_0}B^{r_1}C_2^{r_2}C_3^{r_3} \cdots .

?

(i)

Найдите $C_2$ и $C_3$ .

(ii)

Предположим, что $[A,[A,B]] = 0_n$ и $[B,[A,B]] = 0_n$ . Какой вывод можно сделать для формулы Цассенхауза?

Задача 9.1.19

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ и $t \in \mathbb {R}$ . Покажите, что

e^{t(A+B)} - e^{tA}e^{tB} = \frac{t^2}{2}(BA-AB) + \text{члены высшего порядка по } t. \tag {1}

?

Задача 9.1.20

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ с $A^3 = -A$ и $\alpha \in \mathbb {R}$ . Вычислите $\exp (\alpha A)$ .

?

Задача 9.1.21

(i)(ii)

Пусть $X$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $X^2 = I_n$ . Пусть $Y$ — произвольная матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $z \in \mathbb {C}$ .

?

(i)

Вычислите $\exp (zX)Y\exp (-zX)$ , используя формулу Бейкера—Кэмпбелла—Хаусдорфа

e^{zX}Ye^{-zX} = Y + z[X,Y] + \frac{z^2}{2!}[X,[X,Y]] + \frac{z^3}{3!}[X,[X,[X,Y]]] + \cdots .

(ii)

Вычислите $\exp (zX)Y\exp (-zX)$ , сначала вычислив $\exp (zX)$ и $\exp (-zX)$ , а затем выполнив матричное умножение. Сравните оба метода.

Задача 9.1.22

Пусть $K$ — эрмитова матрица. Тогда $U := \mathrm{exp}\left(iK\right)$ — унитарная матрица. Метод нахождения эрмитовой матрицы $K$ по унитарной матрице $U$ состоит в рассмотрении главного логарифма матрицы $A \in \mathbb {C}^{n \times n}$ , не имеющей собственных значений на $\mathbb {R}^-$ (замкнутой отрицательной вещественной полуоси). Этот логарифм обозначается $\log (A)$ и является единственной матрицей $B$ , такой что $\mathrm{exp}\left(B\right) = A$ и мнимые части собственных значений $B$ лежат строго между $-\pi$ и $\pi$ . Для $A \in \mathbb {C}^{n \times n}$ без собственных значений на $\mathbb {R}^-$ справедливо следующее интегральное представление

\log (s(A-I_n)+I_n) = \int _0^s (A-I_n)(t(A-I_n)+I_n)^{-1}dt.

Таким образом, при $s=1$ получаем

\log (A) = \int _0^1 (A-I_n)(t(A-I_n)+I_n)^{-1}dt.

Найдите $\log (U)$ для унитарной матрицы

U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Сначала проверьте, применим ли этот метод.

?

Задача 9.1.23

(i)(ii)(iii)(iv)

Рассмотрим матрицу ( $\zeta \in \mathbb {R}$ )

S(\zeta ) = \begin{pmatrix} \cosh (\zeta ) & 0 & 0 & \sinh (\zeta ) \\ 0 & \cosh (\zeta ) & \sinh (\zeta ) & 0 \\ 0 & \sinh (\zeta ) & \cosh (\zeta ) & 0 \\ \sinh (\zeta ) & 0 & 0 & \cosh (\zeta ) \end{pmatrix}.

?

(i)

Покажите, что матрица обратима, т.е. найдите определитель.

(ii)

Вычислите обратную к $S(\zeta )$ .

(iii)

Вычислите

A := \frac{d}{d\zeta }S(\zeta )\bigg|_{\zeta =0}

а затем вычислите $\exp (\zeta A)$ .

(iv)

Образуют ли матрицы $S(\zeta )$ группу относительно матричного умножения?

Задача 9.1.24

Пусть $M$ — матрица размера $n \times n$ с $m_{jk} = 1$ для всех $j,k = 1,\ldots ,n$ . Пусть $z \in \mathbb {C}$ . Найдите $\mathrm{exp}\left(zM\right)$ . Затем рассмотрите особый случай $zn = i\pi$ .

?

Задача 9.1.25

Пусть $X$ , $Y$ — матрицы размера $n \times n$ . Покажите, что

[e^X,Y] = \sum _{k=1}^{\infty } \frac{[X^k,Y]}{k!}.

?

Задача 9.1.26

(i)(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ и $\alpha \in \mathbb {C}$ . Формула Бейкера—Кэмпбелла—Хаусдорфа утверждает, что

e^{\alpha A}Be^{-\alpha A} = B + \alpha [A,B] + \frac{\alpha ^2}{2!}[A,[A,B]] + \cdots = \sum _{j=0}^{\infty } \frac{\alpha ^j}{j!}\{ A^j,B\} = \widetilde{B}(\alpha )

где $[A,B] := AB-BA$ и $\{ A^j,B\} := [A,\{ A^{j-1},B\} ]$ — повторный коммутатор.

?

(i)

Обобщите формулу на $e^{\alpha A}B^ke^{-\alpha A}$ , где $k \geq 1$ .

(ii)

Обобщите формулу на $e^{\alpha A}e^Be^{-\alpha A}$ .

Задача 9.1.27

Рассмотрим $n \times n$ матрицу ( $n \geq 2$ )

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}.

Пусть $f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — аналитическая функция. Вычислите

f(0)I_n + \frac{f'(0)}{1!}A + \frac{f''(0)}{2!}A^2 + \cdots + \frac{f^{n-1}(0)}{(n-1)!}A^{n-1}

где $'$ обозначает дифференцирование. Обсудите.

?

Задача 9.1.28

Пусть $A$ , $B$ — $n \times n$ матрицы, причём $A^2 = I_n$ и $B^2 = I_n$ . Предположим, что $[A,B] = 0_n$ . Пусть $a, b \in \mathbb {C}$ . Вычислите $e^{aA+bB}$ .

?

Задача 9.1.29

Пусть $A$ , $B$ — $n \times n$ матрицы, причём $A^2 = I_n$ и $B^2 = I_n$ . Предположим, что $[A,B]_+ = 0_n$ . Пусть $a, b \in \mathbb {C}$ . Вычислите $e^{aA+bB}$ .

?

Задача 9.1.30

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A$ , $B$ — $n \times n$ матрицы над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $A^2 = I_n$ и $B^2 = I_n$ . Найдите $\exp (\alpha A \otimes \beta B)$ , где $\alpha , \beta \in \mathbb {C}$ .

(ii)

Пусть $A$ , $B$ , $C$ — $n \times n$ матрицы над $\mathbb {C}$ , такие что $A^2 = I_n$ , $B^2 = I_n$ и $C^2 = I_n$ . Далее предположим, что

[A,B]_+ = 0_n, \qquad [B,C]_+ = 0_n, \qquad [C,A]_+ = 0_n.

Пусть $\alpha , \beta , \gamma \in \mathbb {C}$ . Вычислите $e^{\alpha A+\beta B+\gamma C}$ , используя

e^{\alpha A+\beta B+\gamma C} = \sum _{j=0}^{\infty } \frac{(\alpha A+\beta B+\gamma C)^j}{j!}.

Задача 9.1.31

(i)(ii)

Пусть $A$ — $n \times n$ матрица над $\mathbb {C}$ . Предположим, что все собственные значения $\lambda_1, \ldots , \lambda_n$ попарно различны.

?

(i)

Тогда $e^{tA}$ можно вычислить следующим образом (интерполяция Лагранжа)

e^{tA} = \sum _{j=1}^{n} e^{\lambda _j t} \prod _{\substack {k=1 \\ k \neq j}}^{n} \frac{(A-\lambda _k I_n)}{(\lambda _j-\lambda _k)}.

Рассмотрим матрицу спина Паули $\sigma_1$ . Вычислите $e^{tA}$ этим методом.

(ii)

$e^{tA}$ можно также вычислить следующим образом (интерполяция Ньютона)

e^{tA} = e^{\lambda _1 t}I_n + \sum _{j=2}^{n} [\lambda _1,\ldots ,\lambda _j] \prod _{k=1}^{j-1} (A-\lambda _k I_n).

Разделённые разности $[\lambda_1,\ldots ,\lambda_j]$ зависят от $t$ и определяются рекурсивно как

[\lambda _1,\lambda _2] := \frac{e^{\lambda _1 t}-e^{\lambda _2 t}}{\lambda _1-\lambda _2}

[\lambda _1,\ldots ,\lambda _{k+1}] := \frac{[\lambda _1,\ldots ,\lambda _k]-[\lambda _2,\ldots ,\lambda _{k+1}]}{\lambda _1-\lambda _{k+1}}, \quad k \geq 2.

Вычислите $e^{t\sigma_1}$ этим методом.

Задача 9.1.32

Пусть $A$ — $n \times n$ матрица. Характеристический многочлен

\operatorname {det}\left(\lambda I_n - A\right) = \lambda ^n + a_1\lambda ^{n-1} + \cdots + a_n = p(\lambda )

тесно связан с резольвентой $(\lambda I_n - A)^{-1}$ через формулу

(\lambda I_n - A)^{-1} = \frac{N_1\lambda ^{n-1}+N_2\lambda ^{n-2}+\cdots +N_n}{\lambda ^n+a_1\lambda ^{n-1}+\cdots +a_n} = \frac{N(\lambda )}{p(\lambda )}

где присоединённая матрица $N(\lambda )$ является многочленом от $\lambda$ степени $n-1$ с постоянными $n \times n$ матрицами коэффициентов $N_1,\ldots ,N_n$ . Преобразование Лапласа матричной экспоненты есть резольвента

\mathcal{L}(e^{tA}) = (\lambda I_n - A)^{-1}.

Матрицы $N_k$ и коэффициенты $a_k$ можно вычислить рекурсивно следующим образом

N_1 = I_n, \qquad a_1 = -\frac{1}{1}\operatorname {tr}(AN_1)

N_2 = AN_1 + a_1I_n, \qquad a_2 = -\frac{1}{2}\operatorname {tr}(AN_2)

N_n = AN_{n-1} + a_{n-1}I_n, \qquad a_n = -\frac{1}{n}\operatorname {tr}(AN_n)

0_n = AN_n + a_nI_n.

Рассмотрим $2 \times 2$ унитарную матрицу

U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

Найдите матрицы $N_k$ и коэффициенты $a_k$ и тем самым вычислите резольвенту.

?

Задача 9.1.33

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A$ , $B$ — $n \times n$ матрицы над $\mathbb {C}$ . Вычислите $e^ABe^A$ . Положим $f(\epsilon ) = e^{\epsilon A}Be^{\epsilon A}$ , где $\epsilon$ — вещественный параметр. Затем продифференцируйте по $\epsilon$ . При $\epsilon = 1$ получаем $e^ABe^A$ .

(ii)

Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Вычислите матричнозначную функцию

f(\epsilon ) = e^{-\epsilon \sigma _2}\sigma _3 e^{\epsilon \sigma _2}.

Продифференцируйте матричнозначную функцию $f$ по $\epsilon$ и решите задачу Коши для полученного обыкновенного дифференциального уравнения.

Задача 9.1.34

Пусть $A$ — $n \times n$ матрица над $\mathbb {C}$ . Пусть $T$ — нильпотентная матрица над $\mathbb {C}$ , удовлетворяющая $T^*A + AT = 0_n$ . Покажите, что $(e^T)^*Ae^T = A$ .

?

Задача 9.1.35

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $\Pi$ — $n \times n$ матрица проектирования. Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Вычислите $\exp (\epsilon \Pi )$ .

(ii)

Пусть $\Pi_1, \Pi_2, \ldots , \Pi_n$ — $n \times n$ матрицы проектирования. Предположим, что $\Pi_j\Pi_k = 0_n$ ( $j \neq k$ ) для всех $j,k = 1,\ldots ,n$ . Пусть $\epsilon_j \in \mathbb {R}$ при $j = 1,\ldots ,n$ . Вычислите

\exp (\epsilon _1\Pi _1+\epsilon _2\Pi _2+\cdots +\epsilon _n\Pi _n).

Предположим дополнительно, что $\Pi_1+\Pi_2+\cdots +\Pi_n = I_n$ . Упростите результат из (i), используя это условие.

Задача 9.1.36

Пусть $A$ , $B$ — $n \times n$ матрицы над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $A$ и $B$ коммутируют с коммутатором $[A,B]$ . Тогда

\exp (A+B) = \exp (A)\exp (B)\exp \left(-\frac{1}{2}[A,B]\right).

Можно ли применить эту формулу к матрицам

C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

?

Задача 9.1.37

Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Пусть $A$ , $B$ — $n \times n$ матрицы над $\mathbb {C}$ . Разложите $e^{\epsilon A}e^{\epsilon B}e^{-\epsilon A}e^{-\epsilon B}$ до второго порядка по $\epsilon$ .

?

Задача 9.1.38

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & \sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & -\cos (\alpha ) \end{pmatrix}.

?

(i)

Покажите, что эта матрица ортогональна.

(ii)

Найдите определитель $A(\alpha )$ . Является ли эта матрица элементом $SO(2,\mathbb {R})$ ?

(iii)

Образуют ли эти матрицы группу относительно умножения матриц?

(iv)

Вычислите

X = \frac{d}{d\alpha }A(\alpha )\bigg|_{\alpha =0}.

Вычислите $\exp (\alpha X)$ и сравните эту матрицу с $A(\alpha )$ . Обсудите.

(v)

Пусть $\beta \in \mathbb {R}$ и

B(\beta ) = \begin{pmatrix} \cos (\beta ) & \sin (\beta ) \\ \sin (\beta ) & -\cos (\beta ) \end{pmatrix}.

Является ли матрица $A(\alpha ) \otimes B(\beta )$ ортогональной? Найдите определитель $A(\alpha ) \otimes A(\alpha )$ . Является ли эта матрица элементом $SO(4,\mathbb {R})$ ?

Задача 9.1.39

Пусть $A$ — нормальная матрица с собственными значениями $\lambda_1, \ldots , \lambda_n$ и соответствующими нормированными попарно ортогональными собственными векторами $\overrightarrow {u}_1, \ldots , \overrightarrow {u}_n$ . Пусть $\overrightarrow {w}, \overrightarrow {v} \in \mathbb {C}^{n}$ (векторы-столбцы). Найдите $\overrightarrow {w}^* \mathrm{exp}\left(A\right)\overrightarrow {v}$ , разложив $\overrightarrow {w}$ и $\overrightarrow {v}$ по базису $\overrightarrow {u}_j$ ( $j = 1,\ldots ,n$ ).

?

Задача 9.1.40

Пусть $B$ — матрица $n \times n$ с $B^2 = I_n$ . Покажите, что

\exp \left(-\frac{1}{2}i\pi (B-I_n)\right) \equiv B.

?

Задача 9.1.41

Рассмотрим ненормальные матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = A^*.

Являются ли матрицы

\mathrm{exp}\left(A\right), \qquad \mathrm{exp}\left(B\right)

нормальными? Являются ли нормальными матрицы $\sin (A)$ , $\sin (B)$ , $\cos (A)$ , $\cos (B)$ ?

?

Задача 9.1.42

Пусть $z \in \mathbb {C}$ . Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $A^3 = zA$ . Найдите $\mathrm{exp}\left(A\right)$ .

?

Задача 9.1.43

Пусть $\overrightarrow {v}_1$ , $\overrightarrow {v}_2$ — ортонормированное множество в $\mathbb {C}^{2}$ . Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

A = -i\overrightarrow {v}_1\overrightarrow {v}_1^* + i\overrightarrow {v}_2\overrightarrow {v}_2^*.

Таким образом, $I_2 = \overrightarrow {v}_1\overrightarrow {v}_1^* + \overrightarrow {v}_2\overrightarrow {v}_2^*$ . Найдите $K$ такое, что $\mathrm{exp}\left(K\right) = A$ .

?

Задача 9.1.44

(i)(ii)

Любую матрицу $2 \times 2$ $A$ можно записать в виде линейной комбинации матриц Паули и единичной матрицы $2 \times 2$ $I_2$

A = aI_2 + b\sigma _1 + c\sigma _2 + d\sigma _3

где $a,b,c,d \in \mathbb {C}$ .

?

(i)

Найдите $A^2$ и $A^3$ .

(ii)

Используя результат из (i), найдите все матрицы $A$ , такие что $A^3 = \sigma_1$ , т.е. вычислите кубический корень $\sqrt[3]{\sigma_1}$ .

Задача 9.1.45

Пусть $A$ , $B$ , $H$ , $K$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $A^2 = B^2 = 0_n$ . Пусть $z \in \mathbb {C}$ . Вычислите

e^{z(A \otimes B)}(H \otimes K)e^{-z(A \otimes B)}

используя формулу Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа.

?

Задача 9.1.46

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ , $z \in \mathbb {C}$ и $\overrightarrow {u}, \overrightarrow {v} \in \mathbb {C}^{n}$ . Вычислите

\exp (z(A \otimes B))(\overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v}).

(ii)

Упростите результат из (i), если $A^2 = I_n$ и $B^2 = I_n$ .

Задача 9.1.47

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ . Вычислите

\exp \begin{pmatrix} 0_n & A \\ A & 0_n \end{pmatrix}

используя тождество

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \otimes A \equiv \begin{pmatrix} 0_n & A \\ A & 0_n \end{pmatrix}.

?

Задача 9.1.48

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A_1, A_2, \ldots , A_m$ — матрицы $n \times n$ с $A_j^2 = I_n$ для $j = 1,\ldots ,m$ . Пусть $z \in \mathbb {C}$ . Вычислите

\exp (z(A_1 \otimes A_2 \otimes \cdots \otimes A_m)).

(ii)

Используя результат из (i), вычислите $\exp (-i\theta (\sigma_1 \otimes \sigma_2 \otimes \sigma_3))$ , где $\theta \in \mathbb {R}$ .

Задача 9.1.49

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ , а $\Pi$ — матрица проектирования $m \times m$ . Пусть $z \in \mathbb {C}$ . Вычислите

\exp (z(A \otimes \Pi )).

(ii)

Пусть $A_1$ , $A_2$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $\Pi_1$ , $\Pi_2$ — матрицы проектирования $m \times m$ с $\Pi_1\Pi_2 = 0_n$ . Вычислите

\exp (z(A_1 \otimes \Pi _1 + A_2 \otimes \Pi _2)).

(iii)

Используя результат из (ii), найдите унитарную матрицу

U(t) = \exp (-i\hat{H}t/\hbar )

где $\hat{H} = \hbar \omega (A_1 \otimes \Pi_1 + A_2 \otimes \Pi_2)$ , и предположим, что $A_1$ и $A_2$ — эрмитовы матрицы.

Задача 9.1.50

(i)(ii)(iii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $\overrightarrow {u}$ — собственный вектор $A$ , а $\overrightarrow {v}$ — собственный вектор $B$ соответственно, т.е. $A\overrightarrow {u} = \lambda \overrightarrow {u}$ , $B\overrightarrow {v} = \mu \overrightarrow {v}$ .

?

(i)

Найдите $e^{A \otimes B}(\overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v})$ .

(ii)

Найдите $e^{A \otimes I_n+I_n \otimes B}(\overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v})$ .

(iii)

Найдите $e^{A \otimes I_n+I_n \otimes B+A \otimes B}(\overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v})$ .

Задача 9.1.51

Для любой положительно определённой матрицы $A$ существует единственная положительно определённая матрица $Q$ такая, что $Q^2 = A$ . Матрица $Q$ называется квадратным корнем из $A$ . Можем ли мы найти квадратный корень матрицы

B = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}?

?

Задача 9.1.52

Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.

Матрица симметрична над $\mathbb {R}$ , а её собственные значения положительны. Таким образом, матрица положительно определена. Покажите, что

X = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

являются квадратными корнями из $A$ . Обсудите.

?

Задача 9.1.53

Найдите квадратный корень матрицы Паули $\sigma_1$ , применяя спектральную теорему.

?

Задача 9.1.54

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Матрица $n \times n$ $B$ над $\mathbb {C}$ является квадратным корнем из $A$ тогда и только тогда, когда $B^2 = A$ . Число квадратных корней данной матрицы $A$ может быть нулевым, конечным или бесконечным. Допускает ли матрица

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

квадратный корень?

?

Задача 9.1.55

Найдите квадратный корень ненормальной матрицы $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

т.е. найдите матрицы $B$ такие, что $B^2 = A$ .

?

Задача 9.1.56

Рассмотрим двумерную матрицу вращения

R(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}

с $0 \leq \alpha \leq \pi$ . Найдите квадратный корень $R^{1/2}(\alpha )$ из $R(\alpha )$ , т.е. матрицу $S$ такую, что $S^2 = R(\alpha )$ .

?

Задача 9.1.57

Пусть $V_1$ — эрмитова матрица $n \times n$ . Пусть $V_2$ — положительно полуопределённая матрица $n \times n$ . Пусть $k$ — положительное целое число. Покажите, что

\operatorname {tr}((V_2V_1)^k)

можно записать как $\operatorname {tr}(V^k)$ , где $V := V_2^{1/2}V_1V_2^{1/2}$ .

?

Задача 9.1.58

Пусть $A$ , $B$ — эрмитовы матрицы $n \times n$ . Тогда (неравенство Голдена-Томпсона)

\operatorname {tr}(e^{A+B}) \leq \operatorname {tr}(e^Ae^B).

Пусть $A = \sigma_3$ и $B = \sigma_1$ . Вычислите левую и правую части неравенства.

?

Задача 9.1.59

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Аппроксимация Паде $(p,q)$ для $\mathrm{exp}\left(A\right)$ определяется как

R_{pq}(A) := (D_{pq}(A))^{-1}N_{pq}(A)

где

N_{pq}(A) = \sum _{j=0}^{p} \frac{(p+q-j)!p!}{(p+q)!j!(p-j)!}A^j, \qquad D_{pq}(A) = \sum _{j=0}^{q} \frac{(p+q-j)!q!}{(p+q)!j!(q-j)!}(-A)^j.

Невырожденность $D_{pq}(A)$ гарантирована, если $p$ и $q$ достаточно велики или если собственные значения $A$ отрицательны. Найдите аппроксимацию Паде для матрицы

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

и $p = q = 2$ . Сравните с точным решением.

?

Задача 9.1.60

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ . Определим $j$ - $k$ аппроксимант $\mathrm{exp}\left(A\right)$ как

f_{j,k}(A) := \left(\sum _{\ell =0}^{k} \frac{1}{\ell !}\left(\frac{A}{j}\right)^{\ell }\right)^j. \tag {1}

Справедливо неравенство

\left\| e^A-f_{j,k}(A)\right\| \leq \frac{1}{j^k(k+1)!}\left\| A\right\| ^{k+1}e^{\left\| A\right\| } \tag {2}

и $f_{j,k}(A)$ сходится к $e^A$ , т.е.

\lim _{j \to \infty } f_{j,k}(A) = \lim _{k \to \infty } f_{j,k}(A) = e^A.

Пусть

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите $f_{2,2}(A)$ и $e^A$ . Вычислите правую часть неравенства (2).

?

Задача 9.1.61

(i)(ii)

Итерация Денмана-Биверса для квадратного корня матрицы $n \times n$ $A$ без собственных значений на $\mathbb {R}^-$ имеет вид

Y_{k+1} = \frac{1}{2}(Y_k+Z_k^{-1}), \qquad Z_{k+1} = \frac{1}{2}(Z_k+Y_k^{-1})

при $k = 0,1,2,\ldots$ и $Z_0 = I_n$ и $Y_0 = A$ . Итерация обладает свойствами

\lim _{k \to \infty } Y_k = A^{1/2}, \qquad \lim _{k \to \infty } Z_k = A^{-1/2}

и, для всех $k$ ,

Y_k = AZ_k, \qquad Y_kZ_k = Z_kY_k, \qquad Y_{k+1} = \frac{1}{2}(Y_k+AY_k^{-1}).

?

(i)

Покажите, что итерацию Денмана-Биверса можно применить к матрице

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.

(ii)

Найдите $Y_1$ и $Z_1$ .

Задачи главы