Банк задач по математике

Задача 5.2.1

?

(i)

Пусть $\theta \in \left[0,\pi /2\right]$ . Найдите след, определитель, собственные значения и собственные векторы матриц $2 \times 2$

M_{1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \tan ^{2}(\theta ) & -\tan (\theta ) \\ -\tan (\theta ) & 1 \end{pmatrix}, \qquad M_{2} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \tan ^{2}(\theta ) & \tan (\theta ) \\ \tan (\theta ) & 1 \end{pmatrix}.

(ii)

Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы матрицы ( $\phi \in \left[0,2\pi \right]$ )

A(\phi ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & e^{i\phi } \\ 1 & e^{-i\phi } \end{pmatrix}.

Обратима ли матрица? Примите решение, взглянув на собственные значения. Если да, найдите обратную матрицу.

(iii)

Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Найдите собственные значения и собственные векторы

A(\epsilon ) = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon ^{2}}}\begin{pmatrix} \epsilon & 1 \\ 1 & \epsilon \end{pmatrix}.

При каких $\epsilon$ матрица $A(\epsilon )$ не обратима? Пусть $\epsilon \in \left[0,1\right]$ . Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

B(\epsilon ) = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon ^{2}}}\begin{pmatrix} 1 & \epsilon \\ \epsilon & -1 \end{pmatrix}.

При $\epsilon =0$ имеем матрицу спина Паули $\sigma_{3}$ , а при $\epsilon =1$ имеем матрицу Адамара. Найдите собственные значения и собственные векторы $A(\epsilon )$ .

(iv)

Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Найдите собственные значения $\lambda_{+}(\epsilon ), \lambda_{-}(\epsilon )$ и нормированные собственные векторы матрицы

A(\epsilon ) = \begin{pmatrix} \sinh (\epsilon ) & 1 \\ 1 & -\sinh (\epsilon ) \end{pmatrix}.

Найдите наименьшее расстояние между $\lambda_{+}(\epsilon )$ и $\lambda_{-}(\epsilon )$ .

(v)

Пусть $\theta \in \mathbb {R}$ . Покажите, что собственные значения эрмитовой матрицы

A(\theta ) = \begin{pmatrix} 1 & \cos (\theta ) \\ \cos (\theta ) & 1 \end{pmatrix}

задаются формулой $\lambda_{\pm }=1\pm \cos (\theta )$ и, следовательно, не могут быть отрицательными.

(vi)

Пусть $\tau := (1+\sqrt{5})/2$ — золотое сечение. Рассмотрим модулярную матрицу $2 \times 2$

M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Покажите, что собственные значения равны $\tau$ и $-\tau^{-1}$ , где $\tau^{-1}=(\sqrt{5}-1)/2$ , а нормированные собственные векторы равны

\overrightarrow {v}_{1} = \frac{1}{1+\tau ^{2}}\begin{pmatrix} \tau \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{2} = \frac{1}{1+\tau ^{2}}\begin{pmatrix} -\tau ^{-1} \\ 1 \end{pmatrix}.

(vii)

Рассмотрим две матрицы $2 \times 2$

A_{\pm } = \begin{pmatrix} -1/2 & \mp 3/2 \\ \pm 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}.

Покажите, что $\operatorname {det}\left(A_{\pm }\right)=1$ , $\operatorname {tr}(A_{\pm })=-1$ , $A_{\pm }^{-1}=A_{\mp }$ , $A_{\pm }^{3}=I_{2}$ и что собственные значения обеих матриц совпадают, а именно

\frac{1}{2}(\sqrt{3}i-1), \qquad -\frac{1}{2}(\sqrt{3}i+1).

Задача 5.2.2

(i)(ii)

?

(i)

Симметричная матрица $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

играет роль для химических соединений $ZnS$ и $NaCl$ . Найдите собственные значения и собственные векторы $A$ . Затем найдите обратную к $A$ матрицу. Найдите все $\overrightarrow {v}$ такие, что $A\overrightarrow {v}=\overrightarrow {v}$ .

(ii)

Пусть $a,b,c \in \mathbb {R}$ . Найдите собственные значения и собственные векторы симметричной матрицы

\begin{pmatrix} 0 & a & b \\ a & 0 & c \\ b & c & 0 \end{pmatrix}.

Характеристическое уравнение имеет вид $\lambda^{3}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\lambda -2abc=0$ .

Задача 5.2.3

(i)(ii)

?

(i)

Найдите собственные значения и собственные векторы ортогональных матриц

R(\alpha ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (\alpha ) & \sin (\alpha ) \\ 0 & -\sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}, \qquad S(\beta ) = \begin{pmatrix} \cos (\beta ) & \sin (\beta ) & 0 \\ -\sin (\beta ) & \cos (\beta ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

(ii)

Найдите собственные значения и собственные векторы $R(\alpha )S(\beta )$ .

Задача 5.2.4

?

(i)

Найдите собственные значения и собственные векторы матриц $3 \times 3$

\begin{pmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ 1 & 0 & a_{23} \\ 0 & 1 & a_{33} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ a_{21} & 0 & a_{23} \\ 0 & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.

(ii)

Пусть $A$ — нормальная матрица $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ с собственными значениями $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ и соответствующими собственными векторами $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}$ . Пусть $c \in \mathbb {C}$ . Что можно сказать о собственных значениях и собственных векторах матриц $3 \times 3$

B_{1} = \begin{pmatrix} c & 0 & 0 \\ 0 & a_{11} & a_{12} \\ 0 & a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}, \qquad B_{2} = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & a_{12} \\ 0 & c & 0 \\ a_{21} & 0 & a_{22} \end{pmatrix}, \qquad B_{3} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}?

(iii)

Пусть $\phi \in \mathbb {R}$ . Найдите собственные значения и собственные векторы матриц $3 \times 3$

X(\phi ) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & e^{i\phi } \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad Y(\phi ) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ e^{i\phi } & 0 & 0 \end{pmatrix}.

(iv)

Рассмотрим матрицу $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Покажите, что характеристический многочлен задаётся формулой $p(\lambda )=\lambda^{3}-\lambda^{2}-1$ . Найдите собственные значения. Вычислите $A \otimes A$ , $A \otimes A \otimes A$ , $A \otimes A \otimes A \otimes A$ . Затем отождествите $1$ с чёрным квадратом, а $0$ — с белым квадратом. Нарисуйте картинки.

(v)

Пусть $m>0$ и $\theta \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим три матрицы $3 \times 3$

M_{1}(\theta ) = m\begin{pmatrix} 0 & \sin (\theta ) & 0 \\ \sin (\theta ) & 0 & \cos (\theta ) \\ 0 & \cos (\theta ) & 0 \end{pmatrix}, \qquad M_{2}(\theta ) = m\begin{pmatrix} 0 & 0 & \sin (\theta ) \\ 0 & 0 & \cos (\theta ) \\ \sin (\theta ) & \cos (\theta ) & 0 \end{pmatrix},

M_{3}(\theta ) = m\begin{pmatrix} 0 & \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \\ \sin (\theta ) & 0 & 0 \\ \cos (\theta ) & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите собственные значения и собственные векторы этих матриц. Эти матрицы играют роль для нейтрино Майораны.

Задача 5.2.5

(i)(ii)

Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ .

?

(i)

Найдите собственные значения и собственные векторы матриц

\begin{pmatrix} 1 & \epsilon \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & \epsilon \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \epsilon \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Обобщите на случай $n \times n$ матриц.

(ii)

Найдите собственные значения и собственные векторы матриц

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \epsilon & 0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \epsilon & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \epsilon & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Обобщите на случай $n \times n$ .

Задача 5.2.6

(i)(ii)

?

(i)

Рассмотрим матрицу размера $5 \times 4$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Найдите собственные значения матриц $A^{T}A$ и $AA^{T}$ , вычисляя только собственные значения $A^{T}A$ .

(ii)

Предположим, мы хотим вычислить собственные значения матрицы размера $4 \times 4$

B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Как можно использовать тот факт, что

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = B, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

и $\operatorname {tr}(B)=4$ , и тем самым избежать решения уравнения $\operatorname {det}\left(B-\lambda I_{4}\right)=0$ ?

Задача 5.2.7

Пусть $A$ — диагонализуемая матрица размера $n \times n$ с различными собственными значениями $\lambda_{j}$ ( $j=1,\ldots ,n$ ). Покажите, что матрица Вандермонда

V = \begin{pmatrix} 1 & 1 & & 1 \\ \lambda _{1} & \lambda _{2} & & \lambda _{n} \\ \lambda _{1}^{2} & \lambda _{2}^{2} & & \lambda _{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \lambda _{1}^{n-1} & \lambda _{2}^{n-1} & & \lambda _{n}^{n-1} \end{pmatrix}

невырождена.

?

Задача 5.2.8

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ — матрицы Паули. Решите нелинейную задачу на собственные значения

\sigma _{1}\overrightarrow {u} = \lambda \sigma _{2}\overrightarrow {u} + \lambda ^{2}\sigma _{3}\overrightarrow {u}

где $\overrightarrow {u} \in \mathbb {C}^{2}$ и $\overrightarrow {u} \neq \overrightarrow {0}$ .

(ii)

Решите нелинейную задачу на собственные значения

(\sigma _{1} \otimes \sigma _{1})\overrightarrow {v} = \lambda (\sigma _{2} \otimes \sigma _{2})\overrightarrow {v} + \lambda ^{2}(\sigma _{3} \otimes \sigma _{3})\overrightarrow {v}

где $\overrightarrow {v} \in \mathbb {C}^{4}$ и $\overrightarrow {v} \neq \overrightarrow {0}$ . Сравните результат с (i). Обсудите.

Задача 5.2.9

Пусть $A, B, C, D, E, F, G, H$ — матрицы размера $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ . Определим звёздное произведение

\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \star \begin{pmatrix} E & F \\ G & H \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} E & 0_{2} & 0_{2} & F \\ 0_{2} & A & B & 0_{2} \\ 0_{2} & C & D & 0_{2} \\ G & 0_{2} & 0_{2} & H \end{pmatrix}.

Таким образом, правая часть — матрица размера $8 \times 8$ . Предположим, что нам известны собственные значения и собственные векторы двух матриц $4 \times 4$ в левой части. Что можно сказать о собственных значениях и собственных векторах матрицы $8 \times 8$ в правой части?

?

Задача 5.2.10

Рассмотрим матрицу $A=(a_{jk})$ размера $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ с

\sum _{j,k=1}^{2} a_{jk} = 1, \qquad \operatorname {tr}(A) = 0.

Что можно сказать о собственных значениях такой матрицы?

?

Задача 5.2.11

Рассмотрим матрицу Адамара

U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}(\sigma _{3}+\sigma _{1}).

Собственные значения матрицы Адамара равны $+1$ и $-1$ с соответствующими нормированными собственными векторами

\frac{1}{\sqrt{8}}\begin{pmatrix} \sqrt{4+2\sqrt{2}} \\ \sqrt{4-2\sqrt{2}} \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt{8}}\begin{pmatrix} \sqrt{4-2\sqrt{2}} \\ -\sqrt{4+2\sqrt{2}} \end{pmatrix}.

Как эту информацию можно использовать для нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы Белла

B = U \star U \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}?

?

Задача 5.2.12

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $U$ — унитарная матрица размера $n \times n$ . Предположим, что $U^{*}=-U$ , т.е. матрица также косоэрмитова. Найдите собственные значения такой матрицы.

(ii)

Пусть $V$ — унитарная матрица размера $n \times n$ . Что можно заключить о собственных значениях $V$ , если $V^{*}=V^{T}$ ?

Задача 5.2.13

Найдите собственные значения ступенчатых матриц

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

?

Задача 5.2.14

Пусть $A, B$ — эрмитовы матрицы над $\mathbb {C}$ с собственными значениями $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ и $\mu_{1}, \ldots , \mu_{n}$ соответственно. Предположим, что $\operatorname {tr}(AB)=0$ (скалярное произведение). Что можно сказать о собственных значениях $A+B$ ?

?

Задача 5.2.15

Рассмотрим обратно-диагональную унитарную матрицу размера $n \times n$

A(\phi _{1},\ldots ,\phi _{n}) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & e^{i\phi _{1}} \\ 0 & 0 & \cdots & e^{i\phi _{2}} & 0 \\ \vdots & \vdots & & & \\ 0 & e^{i\phi _{n-1}} & & 0 & 0 \\ e^{i\phi _{n}} & 0 & & 0 & 0 \end{pmatrix}

где $\phi_{j} \in \mathbb {R}$ ( $j=1,\ldots ,n$ ). Найдите собственные значения и собственные векторы.

?

Задача 5.2.16

(i)(ii)

Пусть $A, B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Две матрицы $A$ и $B$ размера $n \times n$ имеют общий собственный вектор тогда и только тогда, когда матрица размера $n \times n$

\sum _{j,k=1}^{n-1} \left[A^{j},B^{k}\right]^{*}\left[A^{j},B^{k}\right]

вырождена, т.е. её определитель равен $0$ .

?

(i)

Примените эту теорему к матрицам $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

(ii)

Примените эту теорему к матрицам $3 \times 3$

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) \\ 0 & \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}, \qquad B(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) & 0 \\ \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Задача 5.2.17

Пусть $0 \leq x < 1$ . Рассмотрим матрицу $C$ (корреляционную матрицу) размера $N \times N$ с элементами $C_{jk} := x^{\left|j-k\right|}$ , $j,k=1,\ldots ,N$ . Найдите собственные значения $C$ . Покажите, что при $N \rightarrow \infty$ распределение её собственных значений становится непрерывной функцией от $\phi \in \left[0,2\pi \right]$

\lambda (\phi ) = \frac{1-x^{2}}{1-2x\cos (\phi )+x^{2}}.

?

Задача 5.2.18

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Покажите, что $A$ нормальна тогда и только тогда, когда существуют унитарная матрица $U$ размера $n \times n$ и диагональная матрица $D$ размера $n \times n$ , такие что $D=U^{-1}AU$ . Заметим, что $U^{-1}=U^{*}$ .

(ii)

Пусть $A$ — нормальная матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Покажите, что $A$ обладает набором из $n$ ортонормированных собственных векторов. Покажите, что если $A$ обладает набором из $n$ ортонормированных собственных векторов, то $A$ нормальна.

Задача 5.2.19

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Симплектическая матрица размера $2n \times 2n$ определяется как

S = \begin{pmatrix} 0_{n} & I_{n} \\ -I_{n} & 0_{n} \end{pmatrix}.

Матрица $S$ унитарна и косоэрмитова. Найдите собственные значения $S$ , исходя из этой информации.

(ii)

Найдите собственные значения матрицы размера $2n \times 2n$

R = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} I_{n} & I_{n} \\ -I_{n} & I_{n} \end{pmatrix}.

(iii)

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — собственные значения. Что можно сказать о собственных значениях матрицы размера $2n \times 2n$

\begin{pmatrix} 0_{n} & A \\ A^{T} & 0_{n} \end{pmatrix}?

Задача 5.2.20

Дана матрица

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{pmatrix}.

Докажите или опровергните, что ровно два собственных значения равны $0$ .

?

Задача 5.2.21

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Каково условие на $A$ , при котором все собственные значения равны $0$ , и $A$ допускает только один собственный вектор?

?

Задача 5.2.22

Рассмотрим матрицу размера $n \times n$

J_{n} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ & & \ddots & \ddots & & \\ & & & & & 1 \\ & & & & & 0 \end{pmatrix}.

Таким образом, произвольный жорданов блок задаётся как $zI_{n}+J_{n}$ , где $z \in \mathbb {C}$ . Найдите собственные значения

\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \otimes I_{n} + I_{2} \otimes J_{n}.

?

Задача 5.2.23

(i)(ii)(iii)

Пусть $I_{2}$ — единичная матрица размера $2 \times 2$ , $0_{2}$ — нулевая матрица размера $2 \times 2$ , а $\sigma_{3}$ — матрица Паули.

?

(i)

Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы матрицы размера $4 \times 4$

A(t) = \begin{pmatrix} \cosh (2t)I_{2} & \sinh (2t)\sigma _{3} \\ \sinh (2t)\sigma _{3} & \cosh (2t)I_{2} \end{pmatrix}.

(ii)

Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы матрицы размера $6 \times 6$

B(t) = \begin{pmatrix} \cosh (2t)I_{2} & 0_{2} & \sinh (2t)\sigma _{3} \\ 0_{2} & I_{2} & 0_{2} \\ \sinh (2t)\sigma _{3} & 0_{2} & \cosh (2t)I_{2} \end{pmatrix}.

Можно ли использовать здесь результаты из (i)?

(iii)

Найдите собственные значения матриц размера $6 \times 6$

\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}I_{2} & 0_{2} & \frac{1}{\sqrt{2}}I_{2} \\ 0_{2} & I_{2} & 0_{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}I_{2} & 0_{2} & -\frac{1}{\sqrt{2}}I_{2} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0_{3} & I_{3} \\ -I_{3} & 0_{3} \end{pmatrix}.

Задача 5.2.24

Пусть $n \geq 3$ . Рассмотрим трёхдиагональную $n \times n$ матрицу

A = \begin{pmatrix} a_{1} & b_{2} & 0 & & 0 & 0 \\ c_{2} & a_{2} & b_{3} & & 0 & 0 \\ 0 & c_{3} & a_{3} & & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} & b_{n} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & c_{n} & a_{n} \end{pmatrix}

с $a_{1}, a_{j}, b_{j}, c_{j} \in \mathbb {C}$ ( $j=1,\ldots ,n$ ). Она имеет в общем случае $n$ комплексных собственных значений — $n$ корней характеристического многочлена $p(\lambda )$ . Покажите, что этот многочлен можно вычислить по рекуррентной формуле

\begin{align} p_{k}(\lambda ) & = (\lambda -a_{k})p_{k-1}-b_{k}c_{k}p_{k-2}(\lambda ), \qquad k=2,3,\ldots ,n \\ p_{1}(\lambda ) & = \lambda -a_{1} \\ p_{0}(\lambda ) & = 1. \end{align}

?

Задача 5.2.25

Рассмотрим симметричную трёхдиагональную $n \times n$ матрицу над $\mathbb {R}$ . Пусть $f_{n}(\lambda ) := \operatorname {det}\left(A-\lambda I_{n}\right)$ и

f_{k}(\lambda ) = \det \begin{pmatrix} \alpha _{1}-\lambda & \beta _{1} & 0 & & & 0 \\ \beta _{1} & \alpha _{2}-\lambda & \beta _{2} & & & 0 \\ 0 & \beta _{2} & \ddots & & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & & \alpha _{k-1}-\lambda & \beta _{k-1} \\ 0 & \cdots & 0 & & \beta _{k-1} & \alpha _{k}-\lambda \end{pmatrix}

для $k=1,2,\ldots ,n$ и $f_{0}(\lambda )=1$ , $f_{-1}(\lambda )=0$ . Тогда

f_{k}(\lambda ) = (\alpha -\lambda )f_{k-1}(\lambda )-\beta _{k-1}^{2}f_{k-2}(\lambda )

для $k=2,3,\ldots ,n$ . Найдите $f_{4}(\lambda )$ для $4 \times 4$ матрицы

\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1} & 0 & 0 \\ \sqrt{1} & 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{3} \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 \end{pmatrix}.

?

Задача 5.2.26

Пусть $\epsilon_{j} \in \mathbb {R}$ при $j=1,2,3,4$ . Рассмотрим трёхдиагональную эрмитову матрицу

H(\epsilon _{j}) = \begin{pmatrix} \epsilon _{1} & 1 & 0 & 0 \\ 1 & \epsilon _{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \epsilon _{3} & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \epsilon _{4} \end{pmatrix}.

Найдите собственные значения и собственные векторы. Пусть $\overrightarrow {v}=\begin{pmatrix} v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4} \end{pmatrix}^{T}$ — собственный вектор. Найдите $v_{1}/v_{2}$ , $v_{2}/v_{3}$ , $v_{3}/v_{4}$ .

?

Задача 5.2.27

Пусть $M$ — обратимая $n \times n$ матрица с собственными значениями $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ (с учётом кратности). Найдите собственные значения

M_{+} = \frac{1}{2}(M+M^{-1}) \quad \text{и} \quad M_{-} = \frac{1}{2}(M-M^{-1}).

?

Задача 5.2.28

Пусть $A=(a_{jk})$ — полуположительно определённая $n \times n$ матрица с $\sum_{k=1}^{n} a_{jk} < 1$ при $j=1,\ldots ,n$ . Покажите, что $0 \leq \lambda < 1$ для всех собственных значений $\lambda$ матрицы $A$ .

?

Задача 5.2.29

(i)(ii)

Дана $n \times n$ матрица перестановки $P$ .

?

(i)

Предположим, что $n$ чётно и $\operatorname {tr}(P)=0$ . Можем ли мы заключить, что половина собственных значений такой матрицы равна $+1$ , а другая половина равна $-1$ ?

(ii)

Предположим, что $n$ нечётно и $\operatorname {tr}(P)=0$ . Можем ли мы заключить, что собственные значения задаются $n$ решениями уравнения $\lambda^{n}=1$ ?

Задача 5.2.30

Пусть $A$ — $n \times n$ матрица над $\mathbb {C}$ . Характеристический многочлен матрицы $A$ определяется как

\Delta (\lambda ) := \operatorname {det}\left(\lambda I_{n}-A\right) = \lambda ^{n}+\sum _{k=1}^{n} (-1)^{k}\sigma (k)\lambda ^{n-k}.

Собственные значения $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ матрицы $A$ являются решениями характеристического уравнения $\Delta (\lambda )=0$ . Коэффициенты $\sigma (j)$ ( $j=1,\ldots ,n$ ) задаются как

\begin{align} \sigma (1) & = \sum _{j=1}^{n} \lambda _{j} = \operatorname {tr}(A) \\ \sigma (2) & = \sum _{j<k} \lambda _{j}\lambda _{k} \\ & \vdots \\ \sigma (n) & = \prod _{j=1}^{n} \lambda _{j} = \operatorname {det}\left(A\right). \end{align}

Другой набор симметрических многочленов задаётся следами степеней матрицы $A$ , а именно

s(j) = \sum _{k=1}^{n} (\lambda _{k})^{j} = \operatorname {tr}(A^{j}), \qquad j=1,\ldots ,n.

Имеет место (так называемое соотношение Ньютона)

j\sigma (j)-s(1)\sigma (j-1)+\cdots +(-1)^{j-1}s(j-1)\sigma (1)+(-1)^{j}s(j) = 0

где $j=1,\ldots ,n$ . Рассмотрим $3 \times 3$ матрицу

A = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/\sqrt{2} & 0 & -1/\sqrt{2} \end{pmatrix}.

Вычислите $s(1), s(2), s(3)$ из следов степеней $A$ . Затем примените соотношение Ньютона, чтобы найти $\sigma (1), \sigma (2), \sigma (3)$ .

?

Задача 5.2.31

(i)(ii)(iii)(iv)

?

(i)

Диагонализуема ли $3 \times 3$ стохастическая матрица

\begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 2/3 & 0 & 1/3 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}

? Сначала найдите собственные значения и нормированные собственные векторы.

(ii)

Найдите собственные значения и собственные векторы стохастической матрицы

\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

(iii)

Найдите собственные значения и собственные векторы стохастической матрицы

\begin{pmatrix} p_{AA} & p_{AB} & p_{AC} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ p_{DA} & p_{DB} & p_{DC} & 0 \end{pmatrix}

где $p_{AA}=p_{DA}=2-\sqrt{3}$ , $p_{AB}=p_{DB}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$ , $p_{AC}=p_{DC}=\sqrt{2}-1$ .

(iv)

Найдите собственные значения дважды стохастических матриц

\begin{pmatrix} \sin ^{2}(\theta ) & \cos ^{2}(\theta ) \\ \cos ^{2}(\theta ) & \sin ^{2}(\theta ) \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} \sin ^{2}(\theta ) & 0 & \cos ^{2}(\theta ) \\ \cos ^{2}(\theta ) & \sin ^{2}(\theta ) & 0 \\ 0 & \cos ^{2}(\theta ) & \sin ^{2}(\theta ) \end{pmatrix},

\begin{pmatrix} \sin ^{2}(\theta ) & 0 & 0 & \cos ^{2}(\theta ) \\ \cos ^{2}(\theta ) & \sin ^{2}(\theta ) & 0 & 0 \\ 0 & \cos ^{2}(\theta ) & \sin ^{2}(\theta ) & 0 \\ 0 & 0 & \cos ^{2}(\theta ) & \sin ^{2}(\theta ) \end{pmatrix}.

Задача 5.2.32

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $c_{j} \in \mathbb {R}$ . Найдите собственные значения матриц

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ c_{1} & c_{2} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} & c_{4} \end{pmatrix}.

Обобщите на случай $n \times n$ . Заметьте, что для $2 \times 2$ матрицы мы получаем

\lambda _{1,2} = \frac{c_{2}}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{4c_{1}+c_{2}^{2}}.

(ii)

Покажите, что собственные значения $4 \times 4$ матрицы

A = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{12} & 0 & 0 & 0 \\ a_{13} & 0 & 0 & 0 \\ a_{14} & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

задаются $0$ (дважды) и $\sqrt{a_{12}^{2}+a_{13}^{2}+a_{14}^{2}}, -\sqrt{a_{12}^{2}+a_{13}^{2}+a_{14}^{2}}$ . Найдите собственные векторы.

Задача 5.2.33

Рассмотрим $3 \times 3$ матрицы

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите собственные значения $A$ и $B$ , а также собственные значения коммутатора $\left[A,B\right]$ . Подобны ли матрицы $A$ и $B$ ?

?

Задача 5.2.34

Что можно сказать о собственных значениях и собственных векторах ненулевой эрмитовой $n \times n$ матрицы $A$ с $\operatorname {det}\left(A\right)=0$ и $\operatorname {tr}(A)=0$ . Приведите одно собственное значение $A$ . Приведите одно собственное значение $A \otimes A$ . Рассмотрите случай $n=3$ для матрицы $A$ . Найдите все собственные значения и собственные векторы.

?

Задача 5.2.35

Пусть $A$ — $n \times n$ матрица над $\mathbb {C}$ . Покажите, что матрица $A$ обладает обратной матрицей $A^{-1}$ тогда и только тогда, когда из $A\overrightarrow {v}=\overrightarrow {0}$ следует $\overrightarrow {v}=\overrightarrow {0}$ . Заметьте, что из $A\overrightarrow {v}=\overrightarrow {0}$ следует $A^{-1}(A\overrightarrow {v})=\overrightarrow {0}$ , а затем $\overrightarrow {v}=\overrightarrow {0}$ .

?

Задача 5.2.36

Пусть $S$ и $Q$ — $n \times n$ матрицы и

(S-\lambda I_{n})\overrightarrow {u} = \overrightarrow {0}, \qquad (Q-\mu I_{n})\overrightarrow {v} = \overrightarrow {0}.

Это уравнения на собственные значения. Покажите, что

(S \otimes Q - \lambda \mu (I_{n} \otimes I_{n}))(\overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v}) = \overrightarrow {0}_{n^{2}}

и

(S \oplus Q - \lambda \mu (I_{n} \oplus I_{n}))\begin{pmatrix} \overrightarrow {u} \\ \overrightarrow {v} \end{pmatrix} = \overrightarrow {0}_{2n}.

?

Задача 5.2.37

Пусть $\gamma \in \mathbb {R}$ и $\gamma^{2}<1$ . Рассмотрим $2 \times 2$ матрицу

K = \sigma _{1}-i\gamma \sigma _{3}.

Покажите, что собственные значения $K$ и $K^{*}$ задаются как $\pm \sqrt{1-\gamma^{2}}$ . Найдите нормированные собственные векторы.

?

Задача 5.2.38

Пусть $n \geq 2$ . Рассмотрим $(n-1) \times n$ матрицу $A$ над $\mathbb {R}$ . Тогда $AA^{T}$ является $(n-1) \times (n-1)$ матрицей над $\mathbb {R}$ , а $A^{T}A$ — $n \times n$ матрицей над $\mathbb {R}$ . Покажите, что $(n-1)$ собственных значений матрицы $AA^{T}$ также являются собственными значениями $A^{T}A$ , причём $A^{T}A$ дополнительно обладает собственным значением $0$ .

?

Задача 5.2.39

Пусть $A, B$ — $3 \times 3$ матрицы. Определим композицию

A \diamond B := \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & a_{12} & 0 & a_{13} \\ 0 & b_{11} & b_{12} & b_{13} & 0 \\ a_{21} & b_{21} & a_{22}b_{22} & b_{23} & a_{23} \\ 0 & b_{31} & b_{32} & b_{33} & 0 \\ a_{31} & 0 & a_{32} & 0 & a_{33} \end{pmatrix}.

Пусть

M = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/\sqrt{2} & 0 & -1/\sqrt{2} \end{pmatrix}.

Найдите собственные значения $M$ и $M \diamond M$ .

?

Задача 5.2.40

Пусть $j,k \in \left\{ 0,1\right\}$ . Найдите собственные значения $2 \times 2$ матрицы $M=(M_{jk})$ с $M_{jk}=e^{i\pi (j \cdot k)}$ .

?

Задача 5.2.41

Сравните наименьшие собственные значения двух $6 \times 6$ матриц

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

?

Задача 5.2.42

(i)(ii)(iii)(iv)

Пусть $A_{n}$ — матрицы размера $n \times n$ вида

A_{2} = \begin{pmatrix} 0 & t \\ t & r \end{pmatrix}, \qquad A_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & t \\ 0 & 1 & 0 \\ t & 0 & r \end{pmatrix}, \qquad A_{4} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & t \\ 0 & 0 & t & 0 \\ 0 & t & r & 0 \\ t & 0 & 0 & r \end{pmatrix},

A_{5} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & t \\ 0 & 0 & 0 & t & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & t & 0 & r & 0 \\ t & 0 & 0 & 0 & r \end{pmatrix}.

Таким образом, матрица чётной размерности $A_{2n}$ имеет $t$ вдоль побочной диагонали и $r$ вдоль нижней главной диагонали. В остальном элементы равны $0$ . Матрица нечётной размерности $A_{2n+1}$ имеет $t$ вдоль побочной диагонали, за исключением $1$ в центре, и $r$ вдоль нижней главной диагонали. В остальном элементы равны $0$ . Найдите собственные значения этих матриц.

?

(i)

Покажите, что при $n=2$ собственные значения равны

-\frac{1}{2}\left[\sqrt{4t^{2}+r^{2}}-r\right], \qquad \frac{1}{2}\left[\sqrt{4t^{2}+r^{2}}+r\right].

(ii)

Покажите, что при $n=3$ собственные значения равны

-\frac{1}{2}\left[\sqrt{4t^{2}+r^{2}}-r\right], \qquad \frac{1}{2}\left[\sqrt{4t^{2}+r^{2}}+r\right], \qquad 1.

(iii)

Покажите, что при $n=4$ собственные значения равны

-\frac{1}{2}\left[\sqrt{4t^{2}+r^{2}}-r\right], \qquad \frac{1}{2}\left[\sqrt{4t^{2}+r^{2}}+r\right]

каждое дважды.

(iv)

Покажите, что при $n=5$ мы получаем те же собственные значения, что и при $n=4$ , а также дополнительно собственное значение $1$ . Обобщите на произвольное $n$ .

Задача 5.2.43

Пусть $n \geq 2$ и $j,k=0,1,\ldots ,n-1$ . Рассмотрим

M(j,k) = \begin{cases} 1, & \text{при } j<k, \\ 0, & \text{при } j=k, \\ -1, & \text{при } j>k. \end{cases}

Выпишите матрицу $M$ при $n=2$ и найдите собственные значения и нормированные собственные векторы. Выпишите матрицу $M$ при $n=3$ и найдите собственные значения и нормированные собственные векторы.

?

Задача 5.2.44

Найдите спектр матрицы $A=(a_{jk})$ размера $3 \times 3$ ( $j,k=1,2,3$ )

a_{jk} = \sqrt{j(k-1)}.

?

Задача 5.2.45

(i)(ii)

Пусть $U$ — унитарная матрица размера $4 \times 4$ . Предположим, что каждый вектор-столбец (который, очевидно, нормирован) матрицы $U$ можно записать как кронекерово произведение двух нормированных векторов в $\mathbb {C}^{2}$ .

?

(i)

Можем ли мы заключить, что собственные векторы такой унитарной матрицы также можно записать как кронекерово произведение двух векторов в $\mathbb {C}^{2}$ ?

(ii)

Можно ли записать матрицу $U$ как кронекерово произведение двух матриц размера $2 \times 2$ ?

Задача 5.2.46

Пусть $A_{1}$ — матрица размера $n_{1} \times n_{1}$ , $A_{2}$ — матрица размера $n_{2} \times n_{2}$ , $A_{3}$ — матрица размера $n_{3} \times n_{3}$ , а $I_{n_{j}}$ — матрицы размера $n_{j} \times n_{j}$ ( $j=1,2,3$ ). Пусть $\overrightarrow {u}$ — нормированный собственный вектор $A_{1}$ с собственным значением $\lambda$ , $\overrightarrow {v}$ — нормированный собственный вектор $A_{2}$ с собственным значением $\mu$ , а $\overrightarrow {w}$ — нормированный собственный вектор с собственным значением $\nu$ . Рассмотрим

\begin{align} \hat{H} & = A_{1} \otimes I_{n_{2}} \otimes I_{n_{3}} + I_{n_{1}} \otimes A_{2} \otimes I_{n_{3}} + I_{n_{1}} \otimes I_{n_{2}} \otimes A_{3} \\ & \quad + A_{1} \otimes A_{2} \otimes I + A_{1} \otimes I \otimes A_{3} + I \otimes A_{2} \otimes A_{3} + A_{1} \otimes A_{2} \otimes A_{3}. \end{align}

Покажите, что $\overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v} \otimes \overrightarrow {w}$ является нормированным собственным вектором $\hat{H}$ . Найдите соответствующее собственное значение.

?

Задача 5.2.47

Пусть $\lambda$ — собственное значение матрицы $A$ размера $n \times n$ с нормированным собственным вектором $\overrightarrow {v}$ , а $\mu$ — собственное значение матрицы $B$ размера $n \times n$ с нормированным собственным вектором $\overrightarrow {w}$ . Покажите, что $\lambda \mu -\lambda -\mu$ является собственным значением $A \otimes B - A \otimes I_{n} - I_{n} \otimes B$ с нормированным собственным вектором $\overrightarrow {v} \otimes \overrightarrow {w}$ .

?

Задача 5.2.48

(i)(ii)

Пусть $A, B$ — матрицы размера $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $\lambda$ — собственное значение $A$ с соответствующим нормированным собственным вектором $\overrightarrow {u}$ , а $\mu$ — собственное значение $B$ с соответствующим нормированным собственным вектором $\overrightarrow {v}$ . Пусть $A \otimes B$ — кронекерово произведение $A$ и $B$ . Тогда $\lambda \mu$ является собственным значением $A \otimes B$ с соответствующим нормированным собственным вектором $\overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v}$ . Пусть $A \oplus B$ — прямая сумма $A$ и $B$ . Тогда мы имеем

\begin{pmatrix} A & 0_{2} \\ 0_{2} & B \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} A & 0_{2} \\ 0_{2} & B \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix} = \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix}.

Следовательно

\begin{pmatrix} A & 0_{2} \\ 0_{2} & B \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda u_{1} \\ \lambda u_{2} \\ \mu v_{1} \\ \mu v_{2} \end{pmatrix}.

Таким образом, вектор $\begin{pmatrix} u_{1} & u_{2} & v_{1} & v_{2} \end{pmatrix}^{T}$ был бы собственным вектором $A \oplus B$ , если $\lambda =\mu$ . Пусть $A \star B$ — звёздное произведение

A \star B = \begin{pmatrix} b_{11} & 0 & 0 & b_{12} \\ 0 & a_{11} & a_{12} & 0 \\ 0 & a_{21} & a_{22} & 0 \\ b_{21} & 0 & 0 & b_{22} \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad (A \star B)\begin{pmatrix} v_{1} \\ u_{1} \\ u_{2} \\ v_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mu v_{1} \\ \lambda u_{1} \\ \lambda u_{2} \\ \mu v_{2} \end{pmatrix}.

Таким образом, вектор $\begin{pmatrix} v_{1} & u_{1} & u_{2} & v_{2} \end{pmatrix}^{T}$ был бы собственным вектором $A \star B$ , если $\mu =\lambda$ .

?

(i)

Изучите задачу на собственные значения для $A \otimes B + A \oplus B + A \star B$ .

(ii)

Примените результат к $A=\sigma_{1}$ и $B=\sigma_{2}$ , где $\sigma_{1}, \sigma_{2}$ обозначают спиновые матрицы Паули. Обе допускают собственные значения $+1, -1$ .

Задача 5.2.49

(i)(ii)

?

(i)

Даны собственные значения матрицы $M$ размера $n \times n$ . Найдите собственные значения

e^{-M} \otimes I_{n} + I_{n} \otimes e^{M}.

(ii)

Пусть $A$ и $B$ — нормальные матрицы размера $n \times n$ с собственными значениями $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ и $\mu_{1}, \ldots , \mu_{n}$ соответственно. Найдите собственные значения $e^{i\phi }A \otimes I_{n}+e^{-i\phi }I_{n} \otimes B$ .

Задача 5.2.50

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим симметричную матрицу размера $4 \times 4$

A(\alpha ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1+\alpha & 0 & 1-\alpha & 0 \\ 0 & 1+\alpha & 0 & 1-\alpha \\ 1-\alpha & 0 & 1+\alpha & 0 \\ 0 & 1-\alpha & 0 & 1+\alpha \end{pmatrix}.

Покажите, что обратимая матрица $B$ и диагональная матрица $D$ , такие что $A(\alpha )=B^{-1}DB$ , задаются формулами

B = B^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad D = \sqrt{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix}.

?

Задача 5.2.51

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ с собственным значением $\lambda$ и собственным вектором $\overrightarrow {u}$ , т.е. $A\overrightarrow {u}=\lambda \overrightarrow {u}$ , $\overrightarrow {u} \neq \overrightarrow {0}$ . Рассмотрим матрицу $K$ размера $n^{n} \times n^{n}$

K = A \otimes I_{n} \otimes \cdots \otimes I_{n} + I_{n} \otimes A \otimes I_{n} \otimes \cdots \otimes I_{n} + \cdots + I_{n} \otimes \cdots \otimes I_{n} \otimes A

где каждое слагаемое содержит $n$ кронекеровых произведений. Покажите, что

K(\overrightarrow {u} \otimes \cdots \otimes \overrightarrow {u}) = \lambda (\overrightarrow {u} \otimes \cdots \otimes \overrightarrow {u}) + \cdots + \lambda (\overrightarrow {u} \otimes \cdots \otimes \overrightarrow {u}) = n\lambda (\overrightarrow {u} \otimes \cdots \otimes \overrightarrow {u})

т.е. $n\lambda$ является собственным значением.

?

Задача 5.2.52

Рассмотрим матрицу $A$ размера $(n+1) \times (n+1)$

A = \begin{pmatrix} 0 & \overrightarrow {s}^{*} \\ \overrightarrow {r} & 0_{n \times n} \end{pmatrix}

где $\overrightarrow {r}$ и $\overrightarrow {s}$ — векторы размера $n \times 1$ с комплексными элементами, а $\overrightarrow {s}^{*}$ обозначает сопряжённо-транспонированный вектор к $\overrightarrow {s}$ . Покажите, что характеристический многочлен задаётся формулой

\operatorname {det}\left(B-\lambda I_{n+1}\right) = (-\lambda )^{n-1}(\lambda ^{2}-\overrightarrow {s}^{*}\overrightarrow {r}).

?

Задача 5.2.53

Пусть $n \geq 2$ и $n$ чётно. Найдите собственные значения матриц $A$ размера $n \times n$

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -1 & & & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & & & \vdots \\ \vdots & & & & & 0 \\ 0 & & \ddots & \ddots & & -1 \\ -1 & 0 & & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

?

Задача 5.2.54

Пусть $j,k=0,1,2,3$ . Выпишите матрицу $A$ размера $4 \times 4$ с элементами

a_{jk} = \cos \left[\frac{\pi j-\pi k}{2}\right]

и найдите собственные значения.

?

Задача 5.2.55

(i)(ii)(iii)(iv)

Пусть $H$ — эрмитова матрица размера $n \times n$ , а $U$ — унитарная матрица размера $n \times n$ , такая что $UHU^{*}=H$ . Мы называем $H$ инвариантной относительно $U$ . Из $UHU^{*}=H$ следует, что $\left[H,U\right]=0_{n}$ . Если $\overrightarrow {v}$ — собственный вектор $H$ , т.е. $H\overrightarrow {v}=\lambda \overrightarrow {v}$ , то $U\overrightarrow {v}$ также является собственным вектором $H$ , поскольку

H(U\overrightarrow {v}) = (HU)\overrightarrow {v} = U(H\overrightarrow {v}) = \lambda (U\overrightarrow {v}).

Множество всех унитарных матриц $U_{j}$ ( $j=1,\ldots ,m$ ), оставляющих данную эрмитову матрицу инвариантной, т.е. $U_{j}HU_{j}^{*}=H$ ( $j=1,\ldots ,m$ ), образует группу относительно умножения матриц.

?

(i)

Найдите все эрмитовы матрицы $H$ размера $2 \times 2$ , такие что $\left[H,U\right]=0_{2}$ , где $U=\sigma_{1}$ .

(ii)

Найдите все эрмитовы матрицы $H$ размера $2 \times 2$ , такие что $\left[H,U\right]=0_{2}$ , где $U=\sigma_{2}$ .

(iii)

Найдите все эрмитовы матрицы $H$ размера $4 \times 4$ , такие что $\left[H,U\right]=0_{4}$ , где $U=\sigma_{1} \otimes \sigma_{1}$ .

(iv)

Найдите все эрмитовы матрицы $H$ размера $4 \times 4$ , такие что $\left[H,U\right]=0_{4}$ , где $U=\sigma_{2} \otimes \sigma_{2}$ .

Задача 5.2.56

(i)(ii)(iii)

Матрица Картана $A$ ранга $r$ системы корней полупростой алгебры Ли — это матрица размера $r \times r$ , элементы которой определяются простыми корнями. Элементы матрицы Картана задаются формулой

a_{jk} = 2\frac{(\alpha _{j},\alpha _{k})}{\alpha _{j},\alpha _{j}}

где $(\, , \, )$ — евклидово скалярное произведение, а $\alpha_{j}$ — простые корни. Элементы не зависят от выбора простых корней (с точностью до порядка).

?

(i)

Матрица Картана алгебры Ли $e_{8}$ задаётся матрицей $8 \times 8$

\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

Покажите, что след равен $16$ . Покажите, что определитель равен $1$ . Найдите собственные значения и собственные векторы этой матрицы.

(ii)

Алгебра Ли $\mathfrak {sl}(3,\mathbb {R})$ — это алгебра Ли ранга $2$ с матрицей Картана

C = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.

Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы матрицы $C$ .

(iii)

Пусть $\tau =2\cos (\pi /5)$ . Найдите собственные значения и собственные векторы трёх матриц Картана

A_{2} = \begin{pmatrix} 2 & -\tau \\ -\tau & 2 \end{pmatrix}, \qquad A_{3} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -\tau \\ 0 & -\tau & 2 \end{pmatrix}, \qquad A_{4} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -\tau \\ 0 & 0 & -\tau & 2 \end{pmatrix}.

Задача 5.2.57

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ . Пусть $J$ — матрица размера $n \times n$ с единицами на побочной диагонали и нулями во всех остальных местах. Пусть $\operatorname {tr}(A)=0$ , $\operatorname {tr}(JA)=0$ . Что можно сказать о собственных значениях матрицы $A$ ? Рассмотрите сначала случаи $n=2$ и $n=3$ .

?

Задача 5.2.58

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $n \geq 1$ . Определим

\Delta (A^{n}) := \sum _{j=0}^{n} \binom {n}{j} A^{k} \otimes A^{n-k}.

Даны собственные значения матрицы $A$ . Что можно сказать о собственных значениях $\Delta (A^{n})$ ?

?

Задача 5.2.59

Пусть $A, B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что нам известны собственные значения и собственные векторы $A$ и $B$ . Что можно сказать о собственных значениях и собственных векторах $A \otimes B - B \otimes A$ и $A \otimes B + B \otimes A$ ?

?

Задача 5.2.60

Пусть $U$ — унитарная матрица размера $4 \times 4$ . Предположим, что каждый столбец (вектор) можно записать как произведение Кронекера двух векторов из $\mathbb {C}^{2}$ . Можно ли заключить, что собственные векторы такой унитарной матрицы также можно записать как произведение Кронекера двух векторов из $\mathbb {C}^{2}$ ?

?

Задача 5.2.61

Пусть $A, B$ — нормальные матрицы размера $n \times n$ . Рассмотрим нормальные матрицы

H = A \otimes I_{n} + I_{n} \otimes B + A \otimes B, \qquad K = A \otimes I_{n} + I_{n} \otimes B + B \otimes A.

Даны собственные значения и собственные векторы $A$ , то есть $\lambda_{j}, \overrightarrow {u}_{j}$ ( $j=1,\ldots ,n$ ), а также собственные значения и собственные векторы $B$ , то есть $\mu_{j}, \overrightarrow {v}_{j}$ ( $j=1,\ldots ,n$ ). Тогда собственные значения и собственные векторы $H$ задаются как $\lambda_{j}+\mu_{k}+\lambda_{j}\mu_{k}$ , $\overrightarrow {u}_{j} \otimes \overrightarrow {v}_{k}$ . Предположим, что

\operatorname {tr}(AB^{*}) = 0

то есть, рассматривая гильбертово пространство матриц размера $n \times n$ со скалярным произведением $\left\langle X, Y \right\rangle := \operatorname {tr}(XY^{*})$ , матрицы $A$ и $B$ ортогональны. Что можно сказать о собственных значениях и собственных векторах $K$ ?

?

Задача 5.2.62

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $a,b,c \in \mathbb {R}$ . Покажите, что четыре собственных значения матрицы $4 \times 4$

A = \begin{pmatrix} 0 & -a & -b & -c \\ a & 0 & -ic & ib \\ b & ic & 0 & -ia \\ c & -ib & ia & 0 \end{pmatrix}

задаются как $\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}, \pm i\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ .

(ii)

Пусть $x \in \mathbb {R}$ . Покажите, что наименьшее собственное значение симметричной матрицы $4 \times 4$ ( $x \in \mathbb {R}$ )

\begin{pmatrix} 0 & -x\sqrt{5} & 0 & 0 \\ -x\sqrt{5} & 4 & -2x & -2x \\ 0 & -2x & 4-2x & -x \\ 0 & -2x & -x & 8-2x \end{pmatrix}

задаётся формулой

\lambda _{0} = 4-x-2\sqrt{1+x^{2}+2x\cos (2\pi /5)}-2\sqrt{1+x^{2}+2x\cos (4\pi /5)}.

Задача 5.2.63

Пусть $A$ — нормальная матрица размера $n \times n$ , то есть $AA^{*}=A^{*}A$ . Пусть $\overrightarrow {u}$ — собственный вектор $A$ , то есть $A\overrightarrow {u}=\lambda \overrightarrow {u}$ . Покажите, что $\overrightarrow {u}$ также является собственным вектором $A^{*}$ с собственным значением $\overline{\lambda }$ , то есть

A^{*}\overrightarrow {u} = \overline{\lambda }\overrightarrow {u}.

Примените $(A\overrightarrow {u})^{*}A\overrightarrow {u} = (A^{*}\overrightarrow {u})^{*}A^{*}\overrightarrow {u}$ .

?

Задача 5.2.64

Пусть $A$ — нормальная матрица размера $n \times n$ . Предположим, что $\lambda_{j}$ ( $j=1,\ldots ,n$ ) — собственные значения $A$ . Вычислите

\prod _{k=1}^{n} (1+\lambda _{k})

не используя собственные значения. Примените тождество

\prod _{k=1}^{n} (1+\lambda _{k}) \equiv \operatorname {det}\left(I_{n}+A\right).

?

Задача 5.2.65

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ , удовлетворяющая условию $A^{2} \equiv AA = cA$ , где $c \in \mathbb {C}$ — константа. Очевидно, что этому уравнению удовлетворяет нулевая матрица. Предположим, что $A \neq 0_{n}$ . Тогда мы имеем «своего рода уравнение на собственные значения».

?

(i)

Является ли $c$ собственным значением $A$ ?

(ii)

Возьмите определитель от обеих частей уравнения. Обсудите. Изучите случаи, когда $A$ обратима и необратима. Если матрица $A$ обратима, то из этого следует, что $A=cI_{n}$ и $c \neq 0$ . Взяв определитель, получаем

(\operatorname {det}\left(A\right))^{2} = c^{n}\operatorname {det}\left(A\right).

(iii)

Изучите случай

A(z) = \begin{pmatrix} e^{-z} & 1 \\ 1 & e^{z} \end{pmatrix}, \qquad z \in \mathbb {C}

и покажите, что

A^{2}(z) = (e^{z}+e^{-z})A(z)

где $e^{z}+e^{-z}$ вместе с $0$ являются собственными значениями $A(z)$ .

(iv)

Изучите $(A \otimes A)^{2}=c(A \otimes A)$ .

(v)

Пусть $A$ — матрица размера $2 \times 2$ , а $A \star A$ — звёздное произведение. Изучите случай $(A \star A)^{2}=c(A \star A)$ .

(vi)

Изучите случай $A^{3}=cA$ .

Задача 5.2.66

Аддитивная обратная задача о собственных значениях формулируется следующим образом: пусть $A$ — симметричная матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ с $a_{jj}=0$ при $j=1,\ldots ,n$ . Найдите вещественную диагональную матрицу $D$ размера $n \times n$ такую, что матрица $A+D$ имеет заданные собственные значения $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ . Число решений для вещественной матрицы $D$ варьируется от $0$ до $n!$ . Рассмотрите матрицу $2 \times 2$ $A=\sigma_{1}$ и заданные собственные значения $\lambda_{1}=2$ , $\lambda_{2}=3$ . Можно ли найти $D$ ? Имеем

A+D = \begin{pmatrix} d_{11} & 1 \\ 1 & d_{22} \end{pmatrix}.

?

Задача 5.2.67

Пусть $A$ — нормальная матрица размера $n \times n$ с попарно различными собственными значениями. Являются ли матрицы

\Pi _{j} = \prod _{k=1,j \neq k}^{n} \frac{A-\lambda _{k}I_{n}}{\lambda _{j}-\lambda _{k}}

проекционными матрицами?

?

Задача 5.2.68

Рассмотрим эрмитову матрицу $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите $A^{2}$ и $A^{3}$ . Мы знаем, что

\operatorname {tr}(A) = \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}, \qquad \operatorname {tr}(A^{2}) = \lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}, \qquad \operatorname {tr}(A^{3}) = \lambda _{1}^{3}+\lambda _{2}^{3}+\lambda _{3}^{3}.

Используйте метод Ньютона для решения этой системы трёх уравнений, чтобы найти собственные значения $A$ .

?

Задача 5.2.69

Рассмотрим матрицу перестановки $P$ размера $n \times n$ . Очевидно, что $+1$ всегда является собственным значением, поскольку вектор-столбец, все $n$ элементов которого равны $+1$ , является собственным вектором. Примените метод грубой силы и приведите реализацию на C++ для того, чтобы выяснить, является ли $-1$ собственным значением. Мы перебираем все вектор-столбцы $\overrightarrow {v}$ длины $n$ , элементы которых могут быть только $+1$ или $-1$ , при этом случаи, когда все элементы равны $+1$ или все элементы равны $-1$ , разумеется, можно опустить. Таким образом, число вектор-столбцов, которые нужно перебрать, равно $2^{n}-2$ . Проверяемое условие имеет вид $P\overrightarrow {v}=-\overrightarrow {v}$ . Если оно выполняется, то мы имеем собственное значение $-1$ с соответствующим собственным вектором $\overrightarrow {v}$ .

?

Задача 5.2.70

(i)(ii)(iii)

Степенной метод — простейший алгоритм вычисления собственных векторов и собственных значений. Рассмотрим векторное пространство $\mathbb {R}^{n}$ с евклидовой нормой $\left\| \overrightarrow {x}\right\|$ вектора $\overrightarrow {x} \in \mathbb {R}^{n}$ . Итерация выглядит следующим образом: даны невырожденная матрица $M$ размера $n \times n$ и вектор $\overrightarrow {x}_{0}$ с $\left\| \overrightarrow {x}_{0}\right\| =1$ . Определим

\overrightarrow {x}_{t+1} = \frac{M\overrightarrow {x}_{t}}{\left\| M\overrightarrow {x}_{t}\right\| }, \qquad t=0,1,\ldots

Это определяет динамическую систему на сфере $S^{n-1}$ . Поскольку $M$ обратима, имеем

\overrightarrow {x}_{t} = \frac{M^{-1}\overrightarrow {x}_{t+1}}{\left\| M^{-1}\overrightarrow {x}_{t+1}\right\| }, \qquad t=0,1,\ldots

?

(i)

Примените степенной метод к ненормальной матрице

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{и} \quad \overrightarrow {x}_{0} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.

(ii)

Примените степенной метод к матрице Белла

B = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \quad \text{и} \quad \overrightarrow {x}_{0} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.

(iii)

Рассмотрим симметричную матрицу $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

Найдите наибольшее собственное значение и соответствующий собственный вектор с помощью степенного метода. Начните с вектора

\overrightarrow {v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad A\overrightarrow {v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad A^{2}\overrightarrow {v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}.

Наибольшее собственное значение равно $\lambda =2+\sqrt{2}$ , а соответствующий собственный вектор — $\begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{2} & 1 \end{pmatrix}^{T}$ .

Задача 5.2.71

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Тогда любое собственное значение $A$ удовлетворяет неравенству

\left|\lambda \right| \leq \max _{1 \leq j \leq n} \sum _{k=1}^{n} \left|a_{jk}\right|.

Напишите программу на C++, вычисляющую правую часть неравенства для заданной матрицы. Примените класс complex из STL. Примените её к матрице

A = \begin{pmatrix} i & 0 & 0 & i \\ 0 & 2i & 2i & 0 \\ 0 & 3i & 3i & 0 \\ 4i & 0 & 0 & 4i \end{pmatrix}.

?

Дополнительные задачи