Банк задач по математике

Задача 5.1.1

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы матрицы $A$ размера $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \\ -\cos (\theta ) & \sin (\theta ) \end{pmatrix}.

Ортогональны ли собственные векторы друг другу?

(ii)

Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы матрицы размера $2 \times 2$

\begin{pmatrix} \cos (\theta ) & -e^{i\phi }\sin (\theta ) \\ e^{-i\phi }\sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{pmatrix}.

(iii)

Рассмотрим нормированный вектор в $\mathbb {C}^{3}$

\overrightarrow {n} = \begin{pmatrix} \sin (\theta )\cos (\phi ) \\ \sin (\theta )\sin (\phi ) \\ \cos (\theta ) \end{pmatrix}.

Вычислите матрицу $U(\theta ,\phi ) = \overrightarrow {n} \cdot \overrightarrow {\sigma } \equiv n_{1}\sigma_{1} + n_{2}\sigma_{2} + n_{3}\sigma_{3}$ размера $2 \times 2$ , где $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ — матрицы спина Паули. Является ли матрица $U(\theta ,\phi )$ унитарной? Найдите след и определитель. Является ли матрица $U(\theta ,\phi )$ эрмитовой? Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы $U(\theta ,\phi )$ .

Задача 5.1.2

Найдите все решения линейного уравнения

\begin{pmatrix} \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \\ -\sin (\theta ) & -\cos (\theta ) \end{pmatrix}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {x}, \qquad \theta \in \mathbb {R} \tag {1}

при условии, что $\overrightarrow {x} \in \mathbb {R}^{2}$ и $\overrightarrow {x}^{T}\overrightarrow {x}=1$ , т.е. вектор $\overrightarrow {x}$ должен быть нормирован. Какого типа уравнение (1)?

?

Задача 5.1.3

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы $A(\epsilon )$ размера $2 \times 2$

A(\epsilon ) = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon ^{2}}}\begin{pmatrix} \epsilon & 1 \\ 1 & -\epsilon \end{pmatrix}.

При $\epsilon =0$ получаем матрицу спина Паули $\sigma_{1}$ , при $\epsilon =1$ имеем матрицу Адамара, а при $\epsilon \rightarrow \infty$ получаем матрицу спина Паули $\sigma_{3}$ .

(ii)

Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы $B(\epsilon )$ размера $2 \times 2$

B(\epsilon ) = \begin{pmatrix} \tanh (\epsilon ) & 1/\cosh (\epsilon ) \\ 1/\cosh (\epsilon ) & -\tanh (\epsilon ) \end{pmatrix}.

Матрицы $A(\epsilon )$ и $B(\epsilon )$ связаны обратимым преобразованием $\epsilon \rightarrow \sinh (\epsilon )$ .

Задача 5.1.4

Пусть $A$ — матрица размера $2 \times 2$ . Предположим, что $\operatorname {det}\left(A\right)=0$ и $\operatorname {tr}(A)=0$ . Что можно сказать о собственных значениях $A$ ?

?

Задача 5.1.5

Найдите все матрицы $A$ размера $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ , которые допускают нормированные собственные векторы

\overrightarrow {v}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}

с соответствующими собственными значениями $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ .

?

Задача 5.1.6

Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы матрицы $M(\theta )$ размера $2 \times 2$

M(\theta ) = \begin{pmatrix} \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \\ \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \end{pmatrix}.

Обобщите задачу на матрицу

\begin{pmatrix} \sin (\theta ) & e^{i\phi }\cos (\theta ) \\ e^{-i\phi }\cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \end{pmatrix}.

Эта матрица содержит матрицы спина Паули $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ при $\theta =0, \phi =0$ ; $\theta =0, \phi =3\pi /2$ ; $\theta =\pi /2, \phi =0$ .

?

Задача 5.1.7

(i)(ii)

Пусть $\mu_{1}, \mu_{2} \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим матрицу $A(\mu_{1}^{2},\mu_{2}^{2})$ размера $2 \times 2$

A(\mu _{1}^{2},\mu _{2}^{2}) = \begin{pmatrix} \mu _{1}^{2}\cos ^{2}(\theta )+\mu _{2}^{2}\sin ^{2}(\theta ) & (\mu _{2}^{2}-\mu _{1}^{2})\cos (\theta )\sin (\theta ) \\ (\mu _{2}^{2}-\mu _{1}^{2})\sin (\theta )\cos (\theta ) & \mu _{1}^{2}\sin ^{2}(\theta )+\mu _{2}^{2}\cos ^{2}(\theta ) \end{pmatrix}.

?

(i)

Найдите след и определитель $A(\mu_{1}^{2},\mu_{2}^{2})$ .

(ii)

Найдите собственные значения $A(\mu_{1}^{2},\mu_{2}^{2})$ .

Примечание.

?

Любая положительно полуопределённая матрица размера $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ может быть записана в этом виде. Попробуйте матрицу размера $2 \times 2$ со всеми элементами $+1$ .

Задача 5.1.8

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим матрицы

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}, \qquad B(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & \sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & -\cos (\alpha ) \end{pmatrix}.

Найдите след и определитель этих матриц. Покажите, что для матрицы $A(\alpha )$ собственные значения зависят от $\alpha$ , а собственные векторы — нет. Покажите, что для матрицы $B(\alpha )$ собственные значения не зависят от $\alpha$ , а собственные векторы зависят.

(ii)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим матрицы

C(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cosh (\alpha ) & \sinh (\alpha ) \\ \sinh (\alpha ) & \cosh (\alpha ) \end{pmatrix}, \qquad D(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cosh (\alpha ) & -\sinh (\alpha ) \\ \sinh (\alpha ) & -\cosh (\alpha ) \end{pmatrix}.

Найдите след и определитель этих матриц. Покажите, что для матрицы $C(\alpha )$ собственные значения зависят от $\alpha$ , а собственные векторы — нет. Покажите, что для матрицы $D(\alpha )$ собственные значения не зависят от $\alpha$ , а собственные векторы зависят.

Задача 5.1.9

Пусть $a_{11}, a_{22} \in \mathbb {R}$ и $a_{12} \in \mathbb {C}$ . Рассмотрим эрмитову матрицу $2 \times 2$

H = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ \overline{a}_{12} & a_{22} \end{pmatrix}

с вещественными собственными значениями $\lambda_{+}$ и $\lambda_{-}$ . Какие условия накладываются на элементы матрицы $H$ , если $\lambda_{+}=\lambda_{-}$ ?

?

Задача 5.1.10

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Пусть $A^{T}=(1/2,1/2)^{T}$ . Найдите собственные значения матрицы $2 \times 2$ $AA^{T}$ и матрицы $1 \times 1$ $A^{T}A$ .

(ii)

Пусть $\overrightarrow {x}$ — ненулевой вектор-столбец в $\mathbb {R}^{n}$ . Тогда $\overrightarrow {x}\overrightarrow {x}^{T}$ — матрица $n \times n$ , а $\overrightarrow {x}^{T}\overrightarrow {x}$ — вещественное число. Покажите, что $\overrightarrow {x}^{T}\overrightarrow {x}$ является собственным значением матрицы $\overrightarrow {x}\overrightarrow {x}^{T}$ , а $\overrightarrow {x}$ — соответствующим собственным вектором.

(iii)

Пусть $\overrightarrow {x}$ — ненулевой вектор-столбец в $\mathbb {R}^{n}$ и $n \geq 2$ . Рассмотрим матрицу $n \times n$ $\overrightarrow {x}\overrightarrow {x}^{T}$ . Найдите одно ненулевое собственное значение и соответствующий собственный вектор этой матрицы.

Задача 5.1.11

Рассмотрим матрицу Паули $\sigma_{1}$ с собственными значениями $+1$ и $-1$ и соответствующими нормированными собственными векторами

\overrightarrow {v}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.

С помощью этих двух нормированных собственных векторов образуем унитарную матрицу

U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}(\sigma _{3}+\sigma _{1}).

Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы матрицы $U$ .

?

Задача 5.1.12

Пусть $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ — матрицы Паули. Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы ненормальной матрицы $2 \times 2$

\sigma _{3}+i\sigma _{1} = \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}.

?

Задача 5.1.13

(i)(ii)

?

(i)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ , допускающие только один собственный вектор.

(ii)

Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

A(\epsilon ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \epsilon & 1 \end{pmatrix}, \qquad \epsilon \in \mathbb {R}.

Можно ли найти условие на параметр $\epsilon$ , при котором $A(\epsilon )$ имеет только один собственный вектор?

Задача 5.1.14

Найдите все матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ , которые коммутируют с

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Какова связь между собственными векторами этих матриц?

?

Задача 5.1.15

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ и векторы $\overrightarrow {x}$ , $\overrightarrow {y}$ в $\mathbb {R}^{2}$ такие, что $A\overrightarrow {x}=\overrightarrow {y}$ , $B\overrightarrow {y}=\overrightarrow {x}$ , $\overrightarrow {x}^{T}\overrightarrow {y}=0$ и $\overrightarrow {x}^{T}\overrightarrow {x}=1$ , $\overrightarrow {y}^{T}\overrightarrow {y}=1$ . Покажите, что $AB$ и $BA$ имеют собственное значение $+1$ .

(ii)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ , $B$ , удовлетворяющие условиям, приведённым в (i). Используйте

\overrightarrow {x} = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {y} = \begin{pmatrix} -\sin (\alpha ) \\ \cos (\alpha ) \end{pmatrix}.

Задача 5.1.16

Пусть $A=(a_{jk})$ — нормальная несимметричная матрица $3 \times 3$ над вещественными числами. Покажите, что

\overrightarrow {a} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{23}-a_{32} \\ a_{31}-a_{13} \\ a_{12}-a_{21} \end{pmatrix}

является собственным вектором матрицы $A$ .

?

Задача 5.1.17

Пусть $c \in \mathbb {R}$ и рассмотрим симметричную матрицу $3 \times 3$

A(c) = \begin{pmatrix} c & 1 & 0 \\ 1 & c & 1 \\ 0 & 1 & c \end{pmatrix}.

Покажите, что $c$ является собственным значением матрицы $A$ , и найдите соответствующий собственный вектор. Найдите два других собственных значения и нормированные собственные векторы.

?

Задача 5.1.18

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Найдите собственные значения матрицы

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} 0 & \alpha & 0 \\ \alpha & 0 & \alpha \\ 0 & \alpha & 0 \end{pmatrix}.

Пересекаются ли собственные значения как функции $\alpha$ ?

(ii)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы $3 \times 3$

B(\alpha ) = \begin{pmatrix} -1 & \alpha & 0 \\ \alpha & 0 & \alpha \\ 0 & \alpha & 1 \end{pmatrix}.

Обсудите зависимость собственных значений и собственных векторов от $\alpha$ .

(iii)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Найдите собственные значения симметричной матрицы $4 \times 4$

C(\alpha ) = \begin{pmatrix} -1 & \alpha & 0 & 0 \\ \alpha & -1/2 & \alpha & 0 \\ 0 & \alpha & 1/2 & \alpha \\ 0 & 0 & \alpha & 1 \end{pmatrix}.

Обсудите собственные значения $\lambda_{j}(\alpha )$ как функции $\alpha$ .

Задача 5.1.19

Рассмотрим следующую матрицу $A$ размера $3 \times 3$ и вектор $\overrightarrow {v}$ в $\mathbb {R}^{3}$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v} = \begin{pmatrix} \sin (\alpha ) \\ \sin (2\alpha ) \\ \sin (3\alpha ) \end{pmatrix}

где $\alpha \in \mathbb {R}$ и $\alpha \neq n\pi$ при $n \in \mathbb {Z}$ . Покажите, что с помощью этого вектора можно найти собственные значения и собственные векторы $A$ . Начните с $A\overrightarrow {v}=\lambda \overrightarrow {v}$ .

?

Задача 5.1.20

Рассмотрим симметричную матрицу над $\mathbb {R}$

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Найдите обратимую матрицу $B$ такую, что $B^{-1}AB$ является диагональной матрицей. Постройте матрицу $B$ из нормированных собственных векторов $A$ .

?

Задача 5.1.21

Найдите собственные значения симметричной матрицы $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}

используя след и определитель матрицы, а также информацию о том, что два собственных значения совпадают.

?

Задача 5.1.22

Рассмотрим симметричную матрицу

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix}

над $\mathbb {R}$ . Запишите характеристический многочлен $\operatorname {det}\left(\lambda I_{3}-A\right)$ и выразите его через след и определитель $A$ .

?

Задача 5.1.23

Рассмотрим квадратичную форму

7x_{1}^{2}+6x_{2}^{2}+5x_{3}^{2}-4x_{1}x_{2}-4x_{2}x_{3}+14x_{1}-8x_{2}+10x_{3}+6 = 0.

Запишите это уравнение в матричной форме и найдите собственные значения и нормированные собственные векторы матрицы $3 \times 3$ .

?

Задача 5.1.24

(i)(ii)(iii)(iv)

?

(i)

Пусть $H$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $H$ эрмитова и унитарна. Что можно сказать о собственных значениях $H$ ?

(ii)

Матрица $A$ размера $n \times n$ такая, что $A^{2}=A$ , называется идемпотентной. Что можно сказать о собственных значениях такой матрицы?

(iii)

Матрица $A$ размера $n \times n$ , для которой $A^{p}=0_{n}$ , где $p$ — положительное целое число, называется нильпотентной. Что можно сказать о собственных значениях такой матрицы?

(iv)

Матрица $A$ размера $n \times n$ такая, что $A^{2}=I_{n}$ , называется инволютивной. Что можно сказать о собственных значениях такой матрицы?

Задача 5.1.25

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Покажите, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

(ii)

Покажите, что собственные векторы нормальной матрицы $M$ , соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Задача 5.1.26

Пусть $A$ — эрмитова матрица размера $n \times n$ , т.е. $A=A^{*}$ . Предположим, что все $n$ собственных значений различны. Тогда нормированные собственные векторы $\left\{ \overrightarrow {v}_{j} : j=1,\ldots ,n\right\}$ образуют ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{n}$ . Рассмотрим

\beta := (A\overrightarrow {x}-\mu \overrightarrow {x}, A\overrightarrow {x}-\nu \overrightarrow {x}) \equiv (A\overrightarrow {x}-\mu \overrightarrow {x})^{*}(A\overrightarrow {x}-\nu \overrightarrow {x})

где $(\, , \, )$ обозначает скалярное произведение в $\mathbb {C}^{n}$ , а $\mu , \nu$ — действительные константы с $\mu < \nu$ . Покажите, что если ни одно собственное значение не лежит между $\mu$ и $\nu$ , то $\beta \geq 0$ .

?

Задача 5.1.27

(i)(ii)

Пусть $A$ — произвольная матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть

H := \frac{A+A^{*}}{2}, \qquad S := \frac{A-A^{*}}{2i}.

Пусть $\lambda$ — собственное значение матрицы $A$ , а $\overrightarrow {x}$ — соответствующий нормированный собственный вектор (вектор-столбец).

?

(i)

Покажите, что $\lambda = \overrightarrow {x}^{*}H\overrightarrow {x}+i\overrightarrow {x}^{*}S\overrightarrow {x}$ .

(ii)

Покажите, что вещественная часть $\lambda_{r}$ собственного значения $\lambda$ равна $\lambda_{r}=\overrightarrow {x}^{*}H\overrightarrow {x}$ , а мнимая часть $\lambda_{i}$ равна $\lambda_{i}=\overrightarrow {x}^{*}S\overrightarrow {x}$ .

Задача 5.1.28

Пусть $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ и $\lambda_{3}$ — собственные значения матрицы

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Найдите $\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}$ , не вычисляя собственные значения $A$ или $A^{2}$ .

?

Задача 5.1.29

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим векторы-столбцы $\overrightarrow {u}$ и $\overrightarrow {v}$ в $\mathbb {R}^{n}$

\overrightarrow {u} = \begin{pmatrix} \cos (\theta ) \\ \cos (2\theta ) \\ \vdots \\ \cos (n\theta ) \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v} = \begin{pmatrix} \sin (\theta ) \\ \sin (2\theta ) \\ \vdots \\ \sin (n\theta ) \end{pmatrix}

где $n \geq 3$ и $\theta =2\pi /n$ .

?

(i)

Вычислите $\overrightarrow {u}^{T}\overrightarrow {u}+\overrightarrow {v}^{T}\overrightarrow {v}$ .

(ii)

Вычислите $\overrightarrow {u}^{T}\overrightarrow {u}-\overrightarrow {v}^{T}\overrightarrow {v}+2i\overrightarrow {u}^{T}\overrightarrow {v}$ .

(iii)

Вычислите матрицу $A=\overrightarrow {u}\overrightarrow {u}^{T}-\overrightarrow {v}\overrightarrow {v}^{T}$ , а также $A\overrightarrow {u}$ и $A\overrightarrow {v}$ . Обсудите результат.

Задача 5.1.30

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $\overrightarrow {u}$ — ненулевой вектор-столбец в $\mathbb {R}^{n}$ . Рассмотрим матрицу $n \times n$

A = \overrightarrow {u}\overrightarrow {u}^{T} - \overrightarrow {u}^{T}\overrightarrow {u}I_{n}.

Является ли $\overrightarrow {u}$ собственным вектором этой матрицы? Если да, чему равно собственное значение?

(ii)

Пусть $\overrightarrow {u}, \overrightarrow {v}$ — ненулевые векторы-столбцы в $\mathbb {R}^{n}$ и $\overrightarrow {u} \neq \overrightarrow {v}$ . Рассмотрим матрицу $A$ размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$

A = \overrightarrow {u}\overrightarrow {u}^{T} + \overrightarrow {u}\overrightarrow {v}^{T} - \overrightarrow {v}\overrightarrow {u}^{T} - \overrightarrow {v}\overrightarrow {v}^{T}.

Найдите ненулевые собственные значения $A$ и соответствующий собственный вектор. Заметьте, что $\overrightarrow {u}^{T}\overrightarrow {v}=\overrightarrow {v}^{T}\overrightarrow {u}$ .

Задача 5.1.31

(i)(ii)(iii)

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Определим

r_{j} := \sum _{\substack {k=1 \\ k \neq j}}^{n} \left|a_{jk}\right|, \qquad j=1,\ldots ,n.

?

(i)

Покажите, что каждое собственное значение $\lambda$ матрицы $A$ удовлетворяет хотя бы одному из следующих неравенств

\left|\lambda -a_{jj}\right| \leq r_{j}, \qquad j=1,\ldots ,n.

Иными словами, покажите, что все собственные значения $A$ находятся в объединении дисков

\left\{ z : \left|z-a_{jj}\right| \leq r_{j}, \; j=1,\ldots ,n\right\} .

Это теорема о кругах Гершгорина.

(ii)

Примените эту теорему к унитарной матрице $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix}.

(iii)

Примените эту теорему к ненормальной матрице $3 \times 3$

B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 9 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Задача 5.1.32

Пусть $A$ — нормальная матрица над $\mathbb {C}$ , т.е. $A^{*}A=AA^{*}$ . Покажите, что если $\overrightarrow {x}$ — собственный вектор $A$ с собственным значением $\lambda$ , то $\overrightarrow {x}$ является собственным вектором $A^{*}$ с собственным значением $\overline{\lambda }$ .

?

Задача 5.1.33

(i)(ii)

?

(i)

Покажите, что матрица $A$ размера $n \times n$ вырождена тогда и только тогда, когда хотя бы одно собственное значение равно $0$ .

(ii)

Пусть $B$ — обратимая матрица размера $n \times n$ . Покажите, что если $\overrightarrow {x}$ — собственный вектор $B$ с собственным значением $\lambda$ , то $\overrightarrow {x}$ является собственным вектором $B^{-1}$ с собственным значением $\lambda^{-1}$ .

Задача 5.1.34

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Покажите, что $A$ и $A^{T}$ имеют одинаковые собственные значения.

?

Задача 5.1.35

Пусть $A$ — вещественная симметричная матрица размера $n \times n$ и

Q(\overrightarrow {x}) := \overrightarrow {x}^{T}A\overrightarrow {x}.

Справедливы следующие утверждения (принцип максимума)

$\lambda_{1} = \max_{\left\| \overrightarrow {x}\right\| =1}(Q(\overrightarrow {x})) = Q(\overrightarrow {x}_{1})$ является наибольшим собственным значением матрицы $A$ , а $\overrightarrow {x}_{1}$ — собственный вектор, соответствующий собственному значению $\lambda_{1}$ .
(индуктивное утверждение). Пусть $\lambda_{k} = \max Q(\overrightarrow {x})$ при ограничениях
1. $\overrightarrow {x}^{T}\overrightarrow {x}_{j}=0$ , $j=1,\ldots ,k-1$ .
2. $\left\| \overrightarrow {x}\right\| =1$ .
Тогда $\lambda_{k}=Q(\overrightarrow {x}_{k})$ является $k$ -м собственным значением $A$ , $\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{k}$ , а $\overrightarrow {x}_{k}$ — соответствующий собственный вектор $A$ . Примените принцип максимума к симметричной матрице $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}.

?

Задача 5.1.36

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ . Матрица $n \times n$ может иметь не более $n$ линейно независимых собственных векторов. Теперь предположим, что $A$ имеет $n+1$ собственных векторов (по крайней мере один из них должен быть линейно зависим), таких что любые $n$ из них линейно независимы. Покажите, что $A$ является скалярным кратным единичной матрицы $I_{n}$ .

?

Задача 5.1.37

Стохастическая матрица $P$ размера $n \times n$ удовлетворяет следующим условиям

p_{ij} \geq 0 \quad \text{для всех } i,j=1,2,\ldots ,n

и

\sum _{i=1}^{n} p_{ij} = 1 \quad \text{для всех } j=1,2,\ldots ,n.

Покажите, что стохастическая матрица всегда имеет хотя бы одно собственное значение, равное единице.

?

Задача 5.1.38

(i)(ii)(iii)(iv)

Матричное разностное уравнение

\overrightarrow {p}(t+1) = M\overrightarrow {p}(t), \qquad t=0,1,2,\ldots

со столбцовым вектором (вектором вероятностей)

\overrightarrow {p}(t) = (p_{1}(t), p_{2}(t), \ldots , p_{n}(t))^{T}

и $n \times n$ матрицей

M = \begin{pmatrix} (1-w) & 0.5w & 0 & & 0.5w \\ 0.5w & (1-w) & 0.5w & & 0 \\ 0 & 0.5w & (1-w) & & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0.5w & 0 & 0 & & (1-w) \end{pmatrix}

играет роль в одномерном случайном блуждании. $M$ называется матрицей вероятностей перехода, а $w$ обозначает вероятность $w \in [0,1]$ того, что на данном временном шаге частица перескакивает на один из ближайших соседних узлов, а вероятность того, что частица не перескакивает ни вправо, ни влево, равна $(1-w)$ . Матрица $M$ относится к типу, известному как циркулянтная матрица. Такая $n \times n$ матрица имеет вид

C = \begin{pmatrix} c_{0} & c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{n-1} \\ c_{n-1} & c_{0} & c_{1} & \cdots & c_{n-2} \\ c_{n-2} & c_{n-1} & c_{0} & \cdots & c_{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} & & c_{0} \end{pmatrix}

с нормированными собственными векторами

\overrightarrow {e}_{j} = \frac{1}{\sqrt{n}}\begin{pmatrix} 1 \\ e^{2\pi ij/n} \\ \vdots \\ e^{2(n-1)\pi ij/n} \end{pmatrix}, \qquad j=1,\ldots ,n.

?

(i)

Используя этот результат, найдите собственные значения матрицы $C$ .

(ii)

Используя (i), найдите собственные значения матрицы $M$ .

(iii)

Используя (ii), найдите $\overrightarrow {p}(t)$ ( $t=0,1,2,\ldots$ ), разложив вектор начального распределения $\overrightarrow {p}(0)$ по собственным векторам

\overrightarrow {p}(0) = \sum _{k=1}^{n} a_{k}\overrightarrow {e}_{k} \quad \text{с} \quad \sum _{j=1}^{n} p_{j}(0) = 1.

(iv)

Предположим, что $\overrightarrow {p}(0) = \frac{1}{n}\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix}^{T}$ . Приведите временную эволюцию $\overrightarrow {p}(0)$ .

Задача 5.1.39

Пусть $n$ — положительное целое число. Рассмотрим $3 \times 3$ матрицу, у которой суммы элементов строк равны единице

M = \frac{1}{n}\begin{pmatrix} n-a-b & a & b \\ a & n-2a-c & a+c \\ c & a & n-a-c \end{pmatrix}

где значения $a, b, c$ таковы, что $0 \leq a$ , $0 \leq b$ , $a+b \leq n$ , $2a+c \leq n$ . Таким образом, матрица является стохастической матрицей. Найдите собственные значения $M$ .

?

Задача 5.1.40

(i)(ii)

Пусть $U$ — унитарная матрица, а $\overrightarrow {x}$ — собственный вектор $U$ с соответствующим собственным значением $\lambda$ , т.е. $U\overrightarrow {x}=\lambda \overrightarrow {x}$ .

?

(i)

Покажите, что $U^{*}\overrightarrow {x}=\overline{\lambda }\overrightarrow {x}$ .

(ii)

Пусть $\lambda , \mu$ — различные собственные значения унитарной матрицы $U$ с соответствующими собственными векторами $\overrightarrow {x}$ и $\overrightarrow {y}$ , т.е. $U\overrightarrow {x}=\lambda \overrightarrow {x}$ , $U\overrightarrow {y}=\mu \overrightarrow {y}$ . Покажите, что $\overrightarrow {x}^{*}\overrightarrow {y}=0$ .

Задача 5.1.41

Пусть $H, H_{0}, V$ — $n \times n$ матрицы над $\mathbb {C}$ и $H=H_{0}+V$ . Пусть $z \in \mathbb {C}$ , и предположим, что $z$ выбрано так, что $(H_{0}-zI_{n})^{-1}$ и $(H-zI_{n})^{-1}$ существуют. Покажите, что

(H-zI_{n})^{-1} = (H_{0}-zI_{n})^{-1} - (H_{0}-zI_{n})^{-1}V(H-zI_{n})^{-1}.

Это называется вторым резольвентным тождеством.

?

Задача 5.1.42

$n \times n$ матрица $A$ называется матрицей Адамара, если каждый элемент $A$ равен $1$ или $-1$ и если строки или столбцы $A$ ортогональны, т.е.

AA^{T} = nI_{n} \quad \text{или} \quad A^{T}A = nI_{n}.

Отметим, что $AA^{T}=nI_{n}$ и $A^{T}A=nI_{n}$ эквивалентны. Матрицы Адамара $H_{n}$ порядка $2^{n}$ можно построить рекурсивно, определив

H_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad H_{n} = \begin{pmatrix} H_{n-1} & H_{n-1} \\ H_{n-1} & -H_{n-1} \end{pmatrix}

при $n \geq 2$ . Покажите, что собственные значения $H_{n}$ равны $+2^{n/2}$ и $-2^{n/2}$ , каждое кратности $2^{n-1}$ .

?

Задача 5.1.43

$n \times n$ матрица $A$ над комплексными числами называется положительно полуопределённой (записывается как $A \geq 0$ ), если

\overrightarrow {x}^{*}A\overrightarrow {x} \geq 0 \quad \text{для всех } \overrightarrow {x} \in \mathbb {C}^{n}.

Покажите, что для каждой $A \geq 0$ существует единственная $B \geq 0$ такая, что $B^{2}=A$ . Таким образом, $B$ является квадратным корнем из $A$ .

?

Задача 5.1.44

(i)(ii)

?

(i)

Рассмотрим многочлен $p(x)=x^{2}-sx+d$ , $s,d \in \mathbb {C}$ . Найдите $2 \times 2$ матрицу $A$ такую, что её характеристический многочлен равен $p$ .

(ii)

Рассмотрим многочлен $q(x)=-x^{3}+sx^{2}-qx+d$ , $s,q,d \in \mathbb {C}$ . Найдите $3 \times 3$ матрицу $B$ такую, что её характеристический многочлен равен $q$ .

Задача 5.1.45

Вычислите собственные значения $4 \times 4$ матрицы

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

вычислив собственные значения $A^{2}$ .

?

Задача 5.1.46

Если $\left\{ A_{j}\right\}_{j=1}^{m}$ — коммутирующее семейство матриц, то есть $A_{j}A_{k}=A_{k}A_{j}$ для каждой пары из множества, то существует унитарная матрица $V$ такая, что для всех $A_{j}$ из этого множества матрица $\widetilde{A}_{j}=V^{*}A_{j}V$ верхнетреугольная. Примените это к матрицам

A_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A_{2} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.

?

Задача 5.1.47

(i)(ii)

Пусть $A$ — $n \times n$ матрица над $\mathbb {C}$ . Спектральный радиус матрицы $A$ — это неотрицательное число, определяемое как

\rho (A) := \max \left\{ \left|\lambda _{j}(A)\right| : 1 \leq j \leq n\right\}

где $\lambda_{j}(A)$ — собственные значения $A$ . Определим норму $A$ как

\left\| A\right\| := \sup _{\left\| \overrightarrow {x}\right\| =1} \left\| A\overrightarrow {x}\right\|

где $\left\| A\overrightarrow {x}\right\|$ обозначает евклидову норму вектора $A\overrightarrow {x}$ .

?

(i)

Покажите, что $\rho (A) \leq \left\| A\right\|$ .

(ii)

Рассмотрим $2 \times 2$ матрицу

A = \begin{pmatrix} 1/4 & 1/2 \\ 1/2 & 1/4 \end{pmatrix}.

Теперь $\rho (A) < 1$ . Если $\rho (A) < 1$ , то $(I_{2}-A)^{-1} = I_{2}+A+A^{2}+\cdots$ . Вычислите $(I_{2}-A)^{-1}$ . Вычислите $(I_{2}-A)(I_{2}+A+A^{2}+\cdots +A^{k})$ .

Задача 5.1.48

Пусть $A$ — $n \times n$ матрица с элементами $a_{jk} \geq 0$ и положительным спектральным радиусом $\rho$ . Тогда существует (столбцовый) вектор $\overrightarrow {x}$ с $x_{j} \geq 0$ и (столбцовый) вектор $\overrightarrow {y}$ такие, что выполняются следующие условия

A\overrightarrow {x} = \rho \overrightarrow {x}, \qquad \overrightarrow {y}^{T}A = \rho \overrightarrow {y}, \qquad \overrightarrow {y}^{T}\overrightarrow {x} = 1.

Рассмотрим $2 \times 2$ симметричную матрицу

B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.

Покажите, что $B$ имеет положительный спектральный радиус. Найдите векторы $\overrightarrow {x}$ и $\overrightarrow {y}$ .

?

Задача 5.1.49

Рассмотрим симметричную матрицу $A$ размера $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ такую, что $a_{11}>0$ , $a_{22}>0$ , $a_{12}<0$ и $a_{jj}>\left|a_{12}\right|$ при $j=1,2$ . Является ли матрица $A$ положительно определённой?

?

Задача 5.1.50

Пусть $A$ — положительно определённая матрица размера $n \times n$ . Покажите, что $A^{-1}$ существует и также положительно определена.

?

Задача 5.1.51

Найдите собственные значения симметричных матриц

A_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_{4} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_{5} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

?

Задача 5.1.52

Рассмотрим циклическую матрицу размера $n \times n$

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & \cdots & a_{1,n-1} & a_{1n} \\ a_{1n} & a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1,n-2} & a_{1,n-1} \\ a_{1,n-1} & a_{1n} & a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} & \cdots & a_{1n} & a_{11} \end{pmatrix}

где $a_{jk} \in \mathbb {R}$ . Покажите, что

\overrightarrow {v} = \frac{1}{\sqrt{n}}\begin{pmatrix} \epsilon ^{2k} \\ \epsilon ^{4k} \\ \vdots \\ \epsilon ^{2(n-1)k} \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \epsilon \equiv e^{i\pi /n}, \qquad 1 \leq k \leq n

является нормированным собственным вектором матрицы $A$ . Найдите собственные значения.

?

Задача 5.1.53

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $a,b \in \mathbb {R}$ . Найдите путём осмотра два собственных вектора и соответствующие им собственные значения симметричной матрицы $4 \times 4$

\begin{pmatrix} a & 0 & 0 & b \\ 0 & a & 0 & b \\ 0 & 0 & a & b \\ b & b & b & 0 \end{pmatrix}.

(ii)

Пусть $a,b \in \mathbb {R}$ . Найдите путём осмотра два собственных вектора и соответствующие им собственные значения матрицы $4 \times 4$

\begin{pmatrix} a & 0 & 0 & b \\ 0 & a & 0 & b \\ 0 & 0 & -a & b \\ b & b & b & 0 \end{pmatrix}.

Задача 5.1.54

Рассмотрим две матрицы перестановок $4 \times 4$

S = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Покажите, что обе матрицы имеют одинаковые (нормированные) собственные векторы. Найдите коммутатор $\left[S,T\right]$ .

?

Задача 5.1.55

(i)(ii)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим симметричную матрицу $4 \times 4$

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 0 & 0 \\ \alpha & 2 & 2\alpha & 0 \\ 0 & 2\alpha & 3 & \alpha \\ 0 & 0 & \alpha & 4 \end{pmatrix}.

?

(i)

Найдите характеристическое уравнение.

(ii)

Покажите, что

\begin{align} \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}+\lambda _{4} & = 10 \\ \lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{1}\lambda _{3}+\lambda _{1}\lambda _{4}+\lambda _{2}\lambda _{3}+\lambda _{2}\lambda _{4}+\lambda _{3}\lambda _{4} & = 35-6\alpha ^{2} \\ \lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}+\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{4}+\lambda _{1}\lambda _{3}\lambda _{4}+\lambda _{2}\lambda _{3}\lambda _{4} & = 50-30\alpha ^{2} \\ \lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\lambda _{4} & = 24-30\alpha ^{2}+\alpha ^{4} \end{align}

где $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ обозначают собственные значения.

Задача 5.1.56

Пусть $B$ — матрица $2 \times 2$ с собственными значениями $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ . Найдите собственные значения матрицы $4 \times 4$

X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ b_{11} & b_{12} & 0 & 0 \\ b_{21} & b_{22} & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Пусть $\overrightarrow {v}$ — собственный вектор $B$ с собственным значением $\lambda$ . Что можно сказать о собственном векторе матрицы $4 \times 4$ $X$ , заданном собственным вектором $\overrightarrow {v}$ и собственным значением $B$ ?

?

Задача 5.1.57

Пусть $A, B$ — две матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Множество всех матриц вида $A-\lambda B$ с $\lambda \in \mathbb {C}$ называется пучком. Собственные значения пучка — это элементы множества $\lambda (A,B)$ , определённого как

\lambda (A,B) := \left\{ z \in \mathbb {C} : \operatorname {det}\left(A-zB\right)=0\right\} .

Если $\lambda \in \lambda (A,B)$ и $A\overrightarrow {v}=\lambda B\overrightarrow {v}$ , $\overrightarrow {v} \neq \overrightarrow {0}$ , то $\overrightarrow {v}$ называется собственным вектором $A-\lambda B$ . Заметим, что $\lambda$ может быть конечным, пустым или бесконечным. Пусть

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Найдите собственное значение пучка.

?

Задача 5.1.58

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ с собственными значениями $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ . Пусть $c \in \mathbb {C} \setminus \left\{ 0\right\}$ . Каковы собственные значения $cA$ ?

?

Задача 5.1.59

Пусть $A, B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $\alpha , \beta \in \mathbb {C}$ . Предположим, что $A^{2}=I_{n}$ и $B^{2}=I_{n}$ и $AB+BA=0_{n}$ . Что можно сказать о собственных значениях $\alpha A+\beta B$ ?

?

Задача 5.1.60

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A, B$ — матрицы $n \times n$ . Покажите, что $AB$ и $BA$ имеют одинаковые собственные значения.

(ii)

Можно ли заключить, что каждый собственный вектор $AB$ также является собственным вектором $BA$ ?

Задача 5.1.61

(i)(ii)

?

(i)

Покажите, что если $A$ — матрица размера $n \times m$ , а $B$ — матрица размера $m \times n$ , то $\lambda \neq 0$ является собственным значением матрицы $AB$ размера $n \times n$ тогда и только тогда, когда $\lambda$ является собственным значением матрицы $BA$ размера $m \times m$ . Покажите, что при $m=n$ утверждение верно даже для $\lambda =0$ .

(ii)

Пусть $M$ — матрица размера $m \times n$ ( $m<n$ ) над $\mathbb {R}$ . Покажите, что по крайней мере одно собственное значение матрицы $M^{T}M$ размера $n \times n$ равно $0$ . Покажите, что собственные значения матрицы $MM^{T}$ размера $m \times m$ также являются собственными значениями $M^{T}M$ .

Задача 5.1.62

Мы знаем, что эрмитова матрица имеет только вещественные собственные значения. Можем ли мы заключить, что матрица, имеющая только вещественные собственные значения, является эрмитовой?

?

Задача 5.1.63

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Покажите, что собственные значения $A^{*}A$ неотрицательны.

?

Задача 5.1.64

Пусть $n$ — положительное целое число. Рассмотрим матрицу размера $2 \times 2$

T_{n} = \begin{pmatrix} 2n & 4n^{2}-1 \\ 1 & 2n \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \operatorname {det}\left(T_{n}\right) = 1.

Покажите, что собственные значения $T_{n}$ вещественны и не равны по модулю $1$ .

?

Задача 5.1.65

Пусть $L_{n}$ — матрица размера $n \times n$

L_{n} = \begin{pmatrix} n-1 & -1 & -1 & & -1 \\ -1 & n-1 & -1 & & -1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & & \vdots \\ -1 & -1 & -1 & \ddots & -1 \\ -1 & -1 & -1 & \cdots & n-1 \end{pmatrix}.

Найдите собственные значения.

?

Задача 5.1.66

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $A^{2}=-I_{n}$ . Что можно сказать о собственных значениях $A$ ?

?

Задача 5.1.67

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим симметричную матрицу размера $6 \times 6$ над $\mathbb {R}$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Эта матрица играет роль в построении икосаэдра, который является правильным многогранником с $20$ одинаковыми равносторонними треугольными гранями, $30$ рёбрами и $12$ вершинами.

?

(i)

Найдите собственные значения этой матрицы.

(ii)

Рассмотрим матрицу $A+\sqrt{5}I_{6}$ . Найдите собственные значения.

(iii)

Матрица $A+\sqrt{5}I_{6}$ индуцирует евклидову структуру на факторпространстве $\mathbb {R}^{6}/\ker (A+\sqrt{5}I_{6})$ . Найдите размерность $\ker (A+\sqrt{5}I_{6})$ .

Задача 5.1.68

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}^{n}$ . Пусть $\lambda$ — собственное значение $A$ . Обобщённый собственный вектор $\overrightarrow {x} \in \mathbb {C}^{n}$ матрицы $A$ , соответствующий собственному значению $\lambda$ , — это нетривиальное решение уравнения

(A-\lambda I_{n})^{j}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}_{n}

для некоторого $j \in \left\{ 1,2,\ldots \right\}$ , где $\overrightarrow {0}_{n}$ — $n$ -мерный нулевой вектор. При $j=1$ мы находим собственные векторы. Отсюда следует, что $\overrightarrow {x}$ является обобщённым собственным вектором $A$ , соответствующим $\lambda$ , тогда и только тогда, когда

(A-\lambda I_{n})^{n}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}_{n}.

Найдите собственные векторы и обобщённые собственные векторы ненормальной матрицы

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.

?

Задача 5.1.69

(i)(ii)(iii)(iv)

Рассмотрим матрицу размера $2n \times 2n$

J := \begin{pmatrix} 0_{n} & I_{n} \\ -I_{n} & 0_{n} \end{pmatrix} \in \mathbb {R}^{2n \times 2n}.

Матрица $S \in \mathbb {R}^{2n \times 2n}$ называется симплектической матрицей, если $S^{T}JS=J$ .

?

(i)

Покажите, что симплектические матрицы невырождены.

(ii)

Покажите, что произведение двух симплектических матриц $S_{1}$ и $S_{2}$ также является симплектическим.

(iii)

Покажите, что если $S$ симплектична, то $S^{-1}$ и $S^{T}$ также симплектичны.

(iv)

Пусть $S$ — симплектическая матрица. Покажите, что если $\lambda \in \sigma (S)$ , то $\lambda^{-1} \in \sigma (S)$ , где $\sigma (S)$ обозначает спектр $S$ .

Задача 5.1.70

Пусть $A, B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ и $\overrightarrow {u}$ — ненулевой вектор в $\mathbb {C}^{n}$ . Предположим, что $\left[A,B\right]=A$ и $A\overrightarrow {v}=\lambda \overrightarrow {v}$ . Найдите $(AB)\overrightarrow {v}$ .

?

Задача 5.1.71

Пусть $A, B$ — матрицы размера $n \times n$ над $c \in \mathbb {C}$ с $\left[A,B\right]=0_{n}$ . Тогда $\left[A+cI_{n}, B+cI_{n}\right]=0_{n}$ , где $c \in \mathbb {C}$ . Пусть $\overrightarrow {v}$ — собственный вектор матрицы $A$ размера $n \times n$ с собственным значением $\lambda$ . Покажите, что $\overrightarrow {v}$ также является собственным вектором $A+cI_{n}$ , где $c \in \mathbb {C}$ .

?

Задача 5.1.72

Пусть $A$ — нормальная матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Как можно применить генетические алгоритмы для нахождения собственных значений $A$ ? Это означает, что нам нужно построить функцию приспособленности $f$ с минимумами в собственных значениях. Уравнение на собственные значения имеет вид $A\overrightarrow {x}=z\overrightarrow {x}$ ( $z \in \mathbb {C}$ и $\overrightarrow {x} \in \mathbb {C}^{n}$ с $\overrightarrow {x} \neq \overrightarrow {0}$ ). Характеристическое уравнение имеет вид $p(z) \equiv \operatorname {det}\left(A-zI_{n}\right)=0$ . Какой была бы функция приспособленности? Примените её к матрицам

B = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

?

Задача 5.1.73

Пусть $\overrightarrow {v}$ — ненулевой вектор-столбец в $\mathbb {R}^{n}$ . Умножение матриц ассоциативно. Тогда мы имеем $(\overrightarrow {v}\overrightarrow {v}^{T})\overrightarrow {v} = \overrightarrow {v}(\overrightarrow {v}^{T}\overrightarrow {v})$ . Обсудите.

?

Задача 5.1.74

Пусть $n \geq 2$ и чётно. Рассмотрим эрмитову $n \times n$ матрицу $A$ . Таким образом, собственные значения вещественны. Предположим, у нас есть информация, что если $\lambda$ — собственное значение, то $-\lambda$ также является собственным значением $A$ . Как эта информация может упростить вычисление собственных значений?

?

Задача 5.1.75

Пусть $A, B$ — две ненулевые $n \times n$ матрицы над $\mathbb {C}$ . Пусть $A\overrightarrow {v}=\lambda \overrightarrow {v}$ — уравнение на собственные значения для $A$ . Предположим, что $\left[A,B\right]=0_{n}$ . Тогда из $\left[A,B\right]\overrightarrow {v}=\overrightarrow {0}$ следует, что

\left[A,B\right]\overrightarrow {v} = (AB-BA)\overrightarrow {v} = A(B\overrightarrow {v})-B(A\overrightarrow {v}) = \overrightarrow {0}.

Следовательно, $A(B\overrightarrow {v})=\lambda (B\overrightarrow {v})$ . Если $B\overrightarrow {v} \neq \overrightarrow {0}$ , то мы находим, что $B\overrightarrow {v}$ является собственным вектором $A$ с собственным значением $\lambda$ . Примените это к $A=\sigma_{1} \otimes \sigma_{2}$ и $B=\sigma_{3} \otimes \sigma_{3}$ .

?

Задача 5.1.76

Пусть $A, B$ — две ненулевые $n \times n$ матрицы над $\mathbb {C}$ . Пусть $A\overrightarrow {v}=\lambda \overrightarrow {v}$ — уравнение на собственные значения для $A$ . Предположим, что $\left[A,B\right]_{+}=0_{n}$ . Тогда из $\left[A,B\right]_{+}\overrightarrow {v}=\overrightarrow {0}$ следует, что

\left[A,B\right]_{+}\overrightarrow {v} = (AB+BA)\overrightarrow {v} = A(B\overrightarrow {v})+B(A\overrightarrow {v}) = \overrightarrow {0}.

Следовательно, $A(B\overrightarrow {v})=-\lambda (B\overrightarrow {v})$ . Если $B\overrightarrow {v} \neq \overrightarrow {0}$ , мы получаем уравнение на собственные значения с собственным значением $-\lambda$ . Примените это к $A=\sigma_{1}$ и $B=\sigma_{2}$ , где $\left[\sigma_{1},\sigma_{2}\right]_{+}=0_{2}$ .

?

Задача 5.1.77

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим вещественные симметричные $3 \times 3$ матрицы

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

?

(i)

Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы для матриц $A$ и $B$ .

(ii)

Найдите коммутатор $\left[A,B\right]$ .

(iii)

Обсудите результаты из (ii) и (i) в отношении собственных векторов.

Задача 5.1.78

Рассмотрим матрицу Паули $\sigma_{2}$ с собственными значениями $+1, -1$ и соответствующими нормированными собственными векторами

\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}.

Тогда $\sigma_{2} \otimes \sigma_{2}$ допускает собственные значения $+1$ (дважды) и $-1$ (дважды). Покажите, что среди собственных векторов $\sigma_{2} \otimes \sigma_{2}$ есть произведения состояний и два набора запутанных собственных векторов.

?

Задача 5.1.79

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A$ — обратимая $n \times n$ матрица. Даны собственные значения и собственные векторы $A$ . Что можно сказать о собственных значениях $A \otimes A^{-1}+A^{-1} \otimes A$ ?

(ii)

Пусть $c \in \mathbb {R}$ и $A$ — нормальная $n \times n$ матрица. Предположим, что $A$ обратима. Уравнение на собственные значения задаётся как $A\overrightarrow {v}_{j}=\lambda_{j}\overrightarrow {v}_{j}$ для $j=1,\ldots ,n$ и $\lambda_{j} \neq 0$ для всех $j=1,\ldots ,n$ . Найдите все собственные значения и собственные векторы матрицы

A \otimes A^{-1} + c(A^{-1} \otimes A).

Найдите $\operatorname {det}\left(A \otimes A^{-1}\right)$ и $\operatorname {tr}(A \otimes A^{-1})$ .

Задача 5.1.80

Пусть $M$ — $n \times n$ матрица над $\mathbb {R}$ , заданная как

M = D + \overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v}^{T}

где $D$ — диагональная матрица над $\mathbb {R}$ , а $\overrightarrow {u}, \overrightarrow {v}$ — вектор-столбцы в $\mathbb {R}^{n}$ . Уравнение на собственные значения задаётся как

M\overrightarrow {x} \equiv (D+\overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v}^{T})\overrightarrow {x} = \lambda \overrightarrow {x}.

Предположим, что $\sum_{j=1}^{n} u_{j}v_{j} \neq 0$ . Покажите, что

\sum _{k=1}^{n} \frac{u_{k}v_{k}}{(d_{k}-\lambda )} + 1 = 0

где $d_{k}$ — диагональные элементы $D$ .

?

Задача 5.1.81

Пусть $A$ — $n \times n$ матрица над $\mathbb {R}$ с собственными значениями $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ . Найдите собственные значения $2n \times 2n$ матрицы

\begin{pmatrix} 0_{n} & A \\ -A & 0_{n} \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \otimes A.

Является ли эта матрица кососимметричной над $\mathbb {R}$ ?

?

Задача 5.1.82

Рассмотрим ненормальную $2 \times 2$ матрицу

A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}.

Для $j \geq 1$ пусть $d_{j}$ — наибольший общий делитель элементов $A^{j}-I_{2}$ . Покажите, что

\lim _{j \rightarrow \infty } d_{j} = \infty .

Используйте собственные значения $A$ и характеристический многочлен.

?

Задача 5.1.83

(i)(ii)(iii)

Матрица $2 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

является исходной матрицей при построении кривой Хиронаки с использованием произведения Кронекера.

?

(i)

Найдите $A^{T}$ и ранг $A$ и $A^{T}$ .

(ii)

Найдите $AA^{T}$ и собственные значения $AA^{T}$ . Найдите $A^{T}A$ и собственные значения $A^{T}A$ . Сравните собственные значения $AA^{T}$ и $A^{T}A$ . Обсудите.

(iii)

Вычислите $A \otimes A$ и $A^{T} \otimes A^{T}$ . Вычислите собственные значения

(A \otimes A)(A^{T} \otimes A^{T}), \qquad (A^{T} \otimes A^{T})(A \otimes A).

Задача 5.1.84

(i)(ii)

Рассмотрим унитарную матрицу $4 \times 4$

U = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -i\sigma _{2} \otimes I_{2}.

?

(i)

Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы $U$ .

(ii)

Можно ли записать нормированные собственные векторы $U$ в виде произведения Кронекера двух нормированных векторов из $\mathbb {C}^{2}$ ? Если да, то они не запутаны.

Задача 5.1.85

Рассмотрим гильбертово пространство $\mathbb {C}^{n}$ . Пусть $A, B, C$ — матрицы $n \times n$ , действующие в $\mathbb {C}^{n}$ . Рассмотрим нелинейную задачу на собственные значения

A\overrightarrow {v} = \lambda B\overrightarrow {v} + \lambda ^{2}C\overrightarrow {v}

где $\overrightarrow {v} \in \mathbb {C}^{n}$ и $\overrightarrow {v} \neq \overrightarrow {0}$ . Пусть $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ — матрицы спина Паули. Найдите решения нелинейной задачи на собственные значения

\sigma _{1}\overrightarrow {v} = \lambda \sigma _{2}\overrightarrow {v} + \lambda ^{2}\sigma _{3}\overrightarrow {v}

где $\overrightarrow {v} \in \mathbb {C}^{2}$ и $\overrightarrow {v} \neq \overrightarrow {0}$ .

?

Задача 5.1.86

Пусть $A$ — симметричная матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Поскольку $A$ симметрична над $\mathbb {R}$ , существует набор ортонормированных собственных векторов $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}, \ldots , \overrightarrow {v}_{n}$ , образующих ортонормированный базис в $\mathbb {R}^{n}$ . Пусть $\overrightarrow {x} \in \mathbb {R}^{n}$ — достаточно хорошее приближение к собственному вектору, скажем, $\overrightarrow {v}_{1}$ . Вычислите

R := \frac{\overrightarrow {x}^{T}A\overrightarrow {x}}{\overrightarrow {x}^{T}\overrightarrow {x}}.

Это отношение называется отношением Рэлея. Обсудите.

?

Задачи главы