23.2

Дополнительные задачи

[2/0%]
LaTeX
Задача 23.2.1

Рассмотрим модель Лотки-Вольтерры

du1dt=f1(u1,u2)=u1−u1u2,du2dt=f2(u1,u2)=−u2+u1u2 \frac{du_{1}}{dt} = f_{1}(u_{1}, u_{2}) = u_{1} - u_{1}u_{2}, \qquad \frac{du_{2}}{dt} = f_{2}(u_{1}, u_{2}) = -u_{2} + u_{1}u_{2}

с неподвижной точкой (u1∗=1,u2∗=1)(u_{1}^{*} = 1, u_{2}^{*} = 1). Линеаризованное уравнение (уравнение в вариациях) с

∂f1∂x1=1−u2,∂f1∂x2=−u1,∂f2∂x1=u2,∂f2∂x2=−1+u1 \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} = 1 - u_{2}, \quad \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} = -u_{1}, \quad \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} = u_{2}, \quad \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} = -1 + u_{1}

задаётся формулой

(dy1/dtdy2/dt)=(0−110)(y1y2). \begin{pmatrix} dy_{1}/dt \\ dy_{2}/dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \end{pmatrix} .

Решите эту систему линейных дифференциальных уравнений. Сначала покажите, что собственные значения матрицы 2×22 \times 2 равны ±i\pm i.

?
Задача 23.2.2

Рассмотрим задачу Коши для матричного дифференциального уравнения

dXdt=A(t)X,X(0)=In \frac{dX}{dt} = A(t)X, \qquad X(0) = I_{n}

где A(t)A(t) — матрица размера n×nn \times n, гладко зависящая от tt. Известно, что решение этого матричного дифференциального уравнения локально можно записать в виде

X(t)=exp⁡(Ω(t)) X(t) = \exp (\Omega (t))

где Ω(t)\Omega (t) получается как бесконечный ряд

Ω(t)=∑k=1∞Ωk(t). \Omega (t) = \sum _{k=1}^{\infty } \Omega _{k}(t) .

Это так называемое разложение Магнуса. Реализуйте эту рекурсию в SymbolicC++ и примените её к

A(t)=(cos⁡(ωt)−sin⁡(ωt)sin⁡(ωt)cos⁡(ωt)) A(t) = \begin{pmatrix} \cos (\omega t) & -\sin (\omega t) \\ \sin (\omega t) & \cos (\omega t) \end{pmatrix}

где ω\omega — постоянная частота.

?