Банк задач по математике

Задача 23.1.1

Решите задачу Коши для $d\overrightarrow {x}/dt = A\overrightarrow {x}$ , где

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} .

?

Задача 23.1.2

(i)(ii)

?

(i)

Решите задачу Коши для $d\overrightarrow {x}/dt = A\overrightarrow {x}$ , где

A = \begin{pmatrix} a & c \\ 0 & b \end{pmatrix}, \quad a, b, c \in \mathbb {R} .

(ii)

Пусть

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} .

Вычислите $\exp (tA)$ , где $t \in \mathbb {R}$ . Найдите решение задачи Коши для дифференциального уравнения

\begin{pmatrix} du_{1}/dt \\ du_{2}/dt \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} u_{1} \\ u_{2} \end{pmatrix}

с начальными условиями $u_{1}(t=0) = u_{10}$ , $u_{2}(t=0) = u_{20}$ . Используйте результат из (i).

Задача 23.1.3

Покажите, что дифференциальное уравнение $n$ -го порядка

\frac{d^{n}x}{dt^{n}} = c_{0}x + c_{1}\frac{dx}{dt} + \cdots + c_{n-1}\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}, \quad c_{j} \in \mathbb {R}

может быть записано в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка.

?

Задача 23.1.4

Пусть $A$ , $X$ , $F$ — матрицы $n \times n$ . Предположим, что элементы матриц $X$ и $F$ являются дифференцируемыми функциями от $t$ . Рассмотрим линейное матричное дифференциальное уравнение с начальным условием и неоднородной частью

\frac{dX(t)}{dt} = AX(t) + F(t), \quad X(t_{0}) = C .

Найдите решение этого матричного дифференциального уравнения.

?

Задача 23.1.5

Пусть $A$ , $B$ , $C$ , $Y$ — матрицы $n \times n$ . Известно, что уравнение $AY + YB = C$ можно записать в виде

((I_{n} \otimes A) + (B^{T} \otimes I_{n}))\operatorname {vec}(Y) = \operatorname {vec}(C)

где $\otimes$ обозначает кронекерово произведение. Операция vec определяется как

\operatorname {vec}(Y) := (y_{11}, \ldots , y_{n1}, y_{12}, \ldots , y_{n2}, \ldots , y_{1n}, \ldots , y_{nn})^{T} .

Примените операцию vec к матричному дифференциальному уравнению

\frac{d}{dt}X(t) = AX(t) + X(t)B

где $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ , а начальная матрица $X(t=0) \equiv X(0)$ задана. Найдите решение этого дифференциального уравнения.

?

Задача 23.1.6

Движение заряда $q$ в электромагнитном поле задаётся уравнением

m\frac{d\overrightarrow {v}}{dt} = q(\overrightarrow {E} + \overrightarrow {v} \times \overrightarrow {B})

где $m$ обозначает массу, а $\overrightarrow {v}$ — скорость. Предположим, что

\overrightarrow {E} = \begin{pmatrix} E_{1} \\ E_{2} \\ E_{3} \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {B} = \begin{pmatrix} B_{1} \\ B_{2} \\ B_{3} \end{pmatrix}

— постоянные поля. Найдите решение задачи Коши.

?

Задача 23.1.7

Рассмотрим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

\frac{d\overrightarrow {u}}{dt} = A(t)\overrightarrow {u}

где $A(t)$ — матрица $n \times n$ периодических функций с периодом $T$ . Из теории Флоке известно, что любая фундаментальная матрица $\Phi (t)$ размера $n \times n$ , определяемая как невырожденная матрица, удовлетворяющая матричному дифференциальному уравнению

\frac{d\Phi (t)}{dt} = A(t)\Phi (t)

может быть представлена в виде

\Phi (t) = P(t)\exp (tR) .

Здесь $P(t)$ — невырожденная матрица $n \times n$ периодических функций с тем же периодом $T$ , а $R$ — постоянная матрица, собственные значения которой называются характеристическими показателями периодической системы. Пусть

\overrightarrow {v}(t) = P^{-1}(t)\overrightarrow {u}(t) .

Покажите, что $\overrightarrow {v}$ удовлетворяет системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

\frac{d\overrightarrow {v}(t)}{dt} = R\overrightarrow {v}(t) .

?

Задача 23.1.8

Рассмотрим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

\frac{d\overrightarrow {u}}{dt} = A(t)\overrightarrow {u}, \qquad \overrightarrow {u} = \begin{pmatrix} u_{2} \\ u_{2} \end{pmatrix}

где $A(t)$ — матрица $2 \times 2$ периодических функций с периодом $T$ . Согласно классической теории Флоке, любая фундаментальная матрица $\Phi (t)$ , определяемая как невырожденная матрица, удовлетворяющая матричному дифференциальному уравнению

\frac{d\Phi }{dt} = A(t)\Phi (t)

может быть представлена в виде

\Phi (t) = P(t)\exp (TR) .

Здесь $P(t)$ — невырожденная матрица периодических функций с тем же периодом $T$ , а $R$ — постоянная матрица, собственные значения которой $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ называются характеристическими показателями периодической системы. При заданном выборе фундаментальной матрицы $\Phi (t)$ имеем

\exp (TR) = \Phi (t_{0})\Phi (t_{0} + T)

что не зависит от начального момента времени $t_{0}$ . Матрица $\exp (TR)$ называется матрицей монодромии периодической системы. Вычислите

\operatorname {tr}(\exp (TR)) .

?

Задача 23.1.9

(i)(ii)

Рассмотрим автономную систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

\begin{align} \frac{dx_{1}}{dt} & = a(x_{2} - x_{1}) = f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \\ \frac{dx_{2}}{dt} & = (c-a)x_{1} + cx_{2} - x_{1}x_{3} = f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \\ \frac{dx_{3}}{dt} & = -bx_{3} + x_{1}x_{2} = f_{3}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \end{align}

где $a > 0$ , $b > 0$ и $c$ — вещественные постоянные, причём $2c > a$ .

?

(i)

Неподвижные точки определяются как решения системы уравнений

\begin{align} f_{1}(x_{1}^{*}, x_{2}^{*}, x_{3}^{*}) & = a(x_{2}^{*} - x_{1}^{*}) = 0 \\ f_{2}(x_{1}^{*}, x_{2}^{*}, x_{3}^{*}) & = (c-a)x_{1}^{*} + cx_{2}^{*} - x_{1}^{*}x_{3}^{*} = 0 \\ f_{3}(x_{1}^{*}, x_{2}^{*}, x_{3}^{*}) & = -bx_{3}^{*} + x_{1}^{*}x_{2}^{*} = 0 . \end{align}

Найдите неподвижные точки. Очевидно, что $(0,0,0)$ является неподвижной точкой.

(ii)

Линеаризованное уравнение (или уравнение в вариациях) задаётся выражением

\begin{pmatrix} dy_{1}/dt \\ dy_{2}/dt \\ dy_{3}/dt \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{pmatrix}

где матрица $A$ размера $3 \times 3$ задаётся выражением

A_{\overrightarrow {x}=\overrightarrow {x}^{*}} = \begin{pmatrix} \partial f_{1}/\partial x_{1} & \partial f_{1}/\partial x_{2} & \partial f_{1}/\partial x_{3} \\ \partial f_{2}/\partial x_{1} & \partial f_{2}/\partial x_{2} & \partial f_{2}/\partial x_{3} \\ \partial f_{3}/\partial x_{1} & \partial f_{3}/\partial x_{2} & \partial f_{3}/\partial x_{3} \end{pmatrix}_{\overrightarrow {x}=\overrightarrow {x}^{*}}

где $\overrightarrow {x} = \overrightarrow {x}^{*}$ означает подстановку одной из неподвижных точек в $A$ . Вычислите $A$ и подставьте первую неподвижную точку $(0,0,0)$ . Вычислите собственные значения $A$ . Если все собственные значения имеют отрицательную вещественную часть, то неподвижная точка устойчива. Исследуйте, таким образом, устойчивость неподвижной точки.

Задача 23.1.10

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Рассмотрим задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений

\frac{d\overrightarrow {u}(t)}{dt} + A\overrightarrow {u}(t) = \overrightarrow {g}(t), \qquad \overrightarrow {u}(0) = \overrightarrow {u}_{0}

где $\overrightarrow {g}(t) = (g_{1}(t), g_{2}(t), \ldots , g_{n}(t))^{T}$ . Решение задачи Коши имеет вид

\overrightarrow {u}(t) = e^{-tA}\overrightarrow {u}_{0} + \int _{0}^{t} e^{-(t-\tau )A}\overrightarrow {g}(\tau )\, d\tau .

Примените это к матрицам $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

с начальными значениями $\overrightarrow {u}_{0} = (1 \ 1 \ 1)^{T}$ и $\overrightarrow {g}(t) = (1 \ 0 \ 1)^{T}$ .

Дискретизируйте систему неявным методом Эйлера с шагом $h$ и $h = 0.1$ . Имеем

(I_{n} + hA)\overrightarrow {u}_{j} = \overrightarrow {u}_{j-1} + h\overrightarrow {g}(t_{j}), \qquad j = 1, \ldots , M

с

(A + hI_{3})^{-1} = \frac{1}{h^{2}(h+1) - h - 1} \begin{pmatrix} h(h+1) & 0 & -h-1 \\ 0 & h^{2}-1 & 0 \\ -h-1 & 0 & h(h^{2}+1) \end{pmatrix} .

Сравните оба решения для матрицы $A$ .

?

Задача 23.1.11

(i)(ii)

Пусть $L$ и $K$ — две матрицы размера $n \times n$ . Предположим, что их элементы зависят от параметра $t$ и дифференцируемы по $t$ . Предположим, что $K^{-1}(t)$ существует для всех $t$ . Предположим, что эволюция во времени матрицы $L$ задаётся формулой

L(t) = K(t)L(0)K^{-1}(t) .

?

(i)

Покажите, что $L(t)$ удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению

\frac{dL}{dt} = [L, B](t)

где $[\, , \, ]$ обозначает коммутатор и

B = -\frac{dK}{dt}K^{-1}(t) .

(ii)

Покажите, что если $L(t)$ эрмитова, а $K(t)$ унитарна, то матрица $B(t)$ кососимметрична (косоэрмитова).

Задача 23.1.12

Решите задачу Коши для матричного дифференциального уравнения

[B, A(\epsilon )] = \frac{dA(\epsilon )}{d\epsilon }

где $A(\epsilon )$ и $B = \sigma_{1}$ — матрицы размера $2 \times 2$ .

?

Задача 23.1.13

Пусть $a, b \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим линейное матричное дифференциальное уравнение

\frac{d^{2}X}{dt^{2}} + a\frac{dX}{dt} + bX = 0 .

Найдите решение задачи Коши.

?

Задача 23.1.14

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Автономная система дифференциальных уравнений первого порядка $d\overrightarrow {u}/dt = A\overrightarrow {u}$ допускает решение задачи Коши $\overrightarrow {u}(t) = \exp (A)\overrightarrow {u}(0)$ . Дифференцирование дифференциальных уравнений даёт систему второго порядка

\frac{d^{2}\overrightarrow {u}}{dt^{2}} = A\frac{d\overrightarrow {u}}{dt} = A^{2}\overrightarrow {u} .

Таким образом можно записать

\frac{d\overrightarrow {u}}{dt} = \overrightarrow {v} = A\overrightarrow {u}, \qquad \frac{d\overrightarrow {v}}{dt} = A^{2}\overrightarrow {u} = A\overrightarrow {v}

или в матричной форме

\begin{pmatrix} d\overrightarrow {u}/dt \\ d\overrightarrow {v}/dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0_{n} & I_{n} \\ A^{2} & 0_{n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \overrightarrow {u}(0) \\ \overrightarrow {v}(0) \end{pmatrix} .

Найдите решение задачи Коши. Предположите, что $A$ обратима.

?

Задача 23.1.15

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $\overrightarrow {u} = (u_{1}, \ldots , u_{n})^{T}$ и $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Решите задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений

\frac{d\overrightarrow {u}}{dt} = A\overrightarrow {u}

используя преобразование Лапласа, где $\overrightarrow {u}(t=0) = \overrightarrow {u}(0)$ . Заметьте (применяя интегрирование по частям), что

\mathcal{L}(d\overrightarrow {u}/dt)(s) = \int _{0}^{\infty } e^{-st}\frac{d\overrightarrow {u}}{dt}\, dt = e^{-st}\overrightarrow {u}(t)\Big|_{t=0}^{t=\infty } + s\int _{0}^{\infty } e^{-st}\overrightarrow {u}(t)\, dt = s\overrightarrow {U}(s) - \overrightarrow {u}(0) .

(ii)

Примените это к матрице Адамара $2 \times 2$

H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} .

Задачи главы